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Il progetto dei regolatori Ing. Giuseppe Fedele Dip. Elettronica, Informatica e Sistemistica Università degli Studi della Calabria

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Presentazione sul tema: "Il progetto dei regolatori Ing. Giuseppe Fedele Dip. Elettronica, Informatica e Sistemistica Università degli Studi della Calabria"— Transcript della presentazione:

1 Il progetto dei regolatori Ing. Giuseppe Fedele Dip. Elettronica, Informatica e Sistemistica Università degli Studi della Calabria

2 C(s)G(s) H(s) + - R(s) Y(s) E(s)U(s) Un sistema di controllo ad anello chiuso deve soddisfare delle specifiche assegnate nel dominio del tempo e della frequenza: precisione stabilità velocità di risposta

3 precisione errori a regime in risposta ai segnali tipici sensibilità ai disturbi additivi e parametrici stabilità massima sovraelongazione nella risposta al gradino picco di risonanza margini di ampiezza e di fase coefficiente di smorzamento dei poli dominanti Intesa in senso lato di comportamento dinamico soddisfacente in quanto la stabilità in senso stretto è sempre sottintesa velocità di risposta tempo di ritardo tempo di salita tempo di assestamento banda passante

4 Alcune specifiche sono relative alla risposta a segnali tipici, altri alla risposta armonica; molti delluno e dellaltro sono, grosso modo, equivalenti. Lunico modo per porre in relazione, sia pure in modo approssimato, i parametri che riguardano la risposta armonica e quelli che riguardano la risposta a un segnale tipico è ipotizzare che il sistema in retroazione si comporti approssimativamente come un sistema del secondo ordine o comunque abbia un numero limitato di poli dominanti.

5 KG(s) H(s) + - R(s) Y(s) E(s)U(s) Errore a regime E un indice di quanto la risposta a regime si discosta dal valore desiderato. Ma:

6 G(s) H(s) + - R(s) Y(s) E(s) Errore a regime Da un punto di vista teorico lobiettivo non può essere mai raggiunto. Infatti se per assurdo E(s)=0, allora Y(s)=G(s)E(s)=0 e H(s)Y(s)=0. Per cui E(s)=R(s)-H(s)Y(s)=R(s) contro lipotesi che E(s)=0.

7 Più il diagramma di Nyquist di un sistema stabile ad anello aperto si mantiene distante dal punto critico (-1,0), tanto più grande risulterà il margine di sicurezza per la stabilità del sistema ad anello chiuso. Si introducono pertanto due parametri detti margine di guadagno e margine di fase, atti a misurare la stabilità relativa di un sistema di controllo retroazionato. Margini di stabilità

8 G(s) H(s) + - R(s) Y(s) E(s) Margine di fase Rappresenta il massimo aumento di sfasamento in ritardo che può tollerare la funzione danello L(s)=G(s)H(s) prima che si raggiunga la condizione di instabilità. Langolo che manca alla fase della funzione danello per raggiungere π in corrispondenza della pulsazione di cross-over, cioè della pulsazione in cui il modulo di L(iω) è unitario. Il diagramma polare di L(iω) passa per il punto critico Il diagramma polare di L(iω) contiene il punto critico

9 G(s) H(s) + - R(s) Y(s) E(s) Margine di guadagno Rappresenta il massimo aumento di guadagno che può tollerare la funzione danello L(s)=G(s)H(s) prima che si raggiunga la condizione di instabilità. Il sistema è stabile Rappresenta di quanto lordinata sul diagramma di Bode del modulo di L(iω) sta al di sotto dellasse ω in corrispondenza della pulsazione.

10 Criterio di stabilità di Bode CNES affinché un sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che il modulo della fdt ad anello aperto L(s), valutato alla pulsazione sia minore dellunità, ovvero, ragionando in db, minore di 0.

11 CNES affinché un sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che la fase della fdt ad anello aperto L(s), valutata alla pulsazione di cross over, per cui il modulo di L(s) risulta unitario, cioè nullo in db, e misurata in senso antiorario, sia in valore assoluto minore di π. Criterio di stabilità di Bode

12 Coefficienti di sensibilitàVariazioni parametriche su G

13 Coefficienti di sensibilitàVariazioni parametriche su H

14 Funzione di sensibilità

15 Banda passante Dai diagrammi di Bode dei moduli, abbiamo visto tipologie di sistemi come: Sistama PASSA-BASSO Attenua tutte le sinusoidi con ; lascia invariate quelle con. 2 Sistama PASSA-BANDA Attenua tutte le sinusoidi con e. 3 Sistama ARRESTA-BANDA Attenua tutte le sinusoidi con.

16 Banda passante Si definisce LARGHEZZA DI BANDA lintervallo di frequenze in cui il modulo della funzione di trasferimento ad anello chiuso non è mai inferiore a 3db del valore che esso assume quando ω=0 rad/sec.

17 Osservazione: La retroazione aumenta la larghezza di banda (ma diminuisce il guadagno a centro banda).

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19 Banda passante e coefficiente di smorzamento Lunica soluzione accettabile è quella positiva.

20 Banda passante e coefficiente di smorzamento La banda passante è dunque proporzionale alla pulsazione naturale ed è funzione del coefficiente di smorzamento. Diminuisce allaumentare del coefficiente di smorzamento.

21 Banda passante e tempo di salita Abbiamo già visto che il tempo di salita aumenta allaumentare del coefficiente di smorzamento: Esiste quindi un certo legame tra la banda passante e la prontezza del sistema (intesa come tempo di salita). Più la banda passante del sistema è grande, più il sistema è pronto (cioè i tempi di salita sono piccoli). Esiste una relazione empirica tra tempo di salita e banda passante:

22 Correlazione tra coefficiente di smorzamento e margini di stabilità G(s) + - R(s) Y(s) E(s) Abbiamo visto che: Pulsazione di risonanza Picco di risonanza Un picco di risonanza elevato, indica la presenza di una coppia di poli dominanti, a ciclo chiuso, con un basso coefficiente di smorzamento, che potrebbero generare una risposta transitoria non desiderata.

23 Correlazione tra coefficiente di smorzamento e margini di stabilità

24 Correlazione tra coefficiente di smorzamento e margini di stabilità Altrimenti non inseguirei il segnale di ingresso. Un buon margine di ampiezza assicura un buon coefficiente di smorzamento.

25 Correlazione tra coefficiente di smorzamento e margini di stabilità Un buon margine di fase assicura un buon coefficiente di smorzamento.

26 Correlazione tra coefficiente di smorzamento e margini di stabilità Margini di stabilità piccoli W(iω) ha un massimo

27 Correlazione tra risposta transitoria al gradino e risposta in frequenza per un sistema del secondo ordine G(s) + - R(s) Y(s) E(s) La funzione di trasferimento G(s) assume modulo unitario in corrispondenza della pulsazione In corrispondenza di tale pulsazione, la fase vale Quindi il margine di fase del sistema è

28 Correlazione tra risposta transitoria al gradino e risposta in frequenza per un sistema del secondo ordine

29 Cancellazione SI/NO? Non si può mai cancellare un polo instabile!!!

30 Reti correttrici Quando il progettista deve soddisfare le specifiche assegnate, deve modificare la configurazione del sistema introducendo, in punti opportuni della catena, reti elettriche di tipo passivo o attivo al fine di migliorare le prestazioni statiche e dinamiche del sistema.

31 Rete ritardatrice

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33 Posto: Viene prima il polo e poi lo zero.

34 Rete ritardatrice Effetto utile: Attenuazione alle alte frequenze con sfasamento, praticamente trascurabile

35 Rete ritardatrice Per simmetria è centrale rispetto a e, ma poiché la scala è logaritmica:

36 Rete ritardatrice

37 Il massimo ritardo di fase che si può ottenere dalla rete è langolo che la tangente al cerchio forma con lasse reale:

38 Rete ritardatrice Lo stesso risultato si ottiene anche per via analitica:

39 Rete ritardatrice Il progetto della rete ritardatrice può praticamente essere eseguito imponendo lattraversamento ad una pulsazione desiderata senza alterare di troppo la fase. Tuning pratico della rete 1)Dai diagrammi di Bode della fdt di anello L(iω) si calcola la pulsazione ω* a cui corrisponde un margine di fase pari al margine di fase desiderato (φ m *), aumentato di un margine di sicurezza (5-10°) per compensare le approssimazioni 2)La rete deve far sì che a questa pulsazione il guadagno danello diventi unitario e quindi si impone che il fattore di attenuazione introdotto sia 3)Affinché lo sfasamento della rete non influenzi in modo apprezzabile la pulsazione di attraversamento, si pone 4)Si ricava

40 Rete ritardatrice Se mettessi lo zero della rete proprio nel punto in cui voglio avere la nuova intersezione, lo sfasamento introdotto dalla rete peggiorerebbe il margine di fase. Posso però spostare lo zero una decade prima del punto che ho scelto in modo che lo sfasamento intervenga prima. Osservazioni:

41 Linconveniente della rete è la riduzione del guadagno alle alte frequenze, cioè della larghezza di banda che si traduce in una risposta transitoria meno pronta. Rete ritardatrice Osservazioni:

42 Lobiettivo è identificare delle formule per il progetto dei gradi di libertà al fine di assegnare una certa pulsazione di attraversamento e un certo margine di fase desiderati. Dati valori desiderati identificare delle formule per trovare i parametri (α,τ) della rete che alla pulsazione ω= ω c * attenui di M* e sfasi di φ*. Rete ritardatriceFormule di inversione

43 Rete ritardatriceFormule di inversione

44 Rete ritardatriceFormule di inversione Mentre è facile verificare che il range dei parametri garantisce α 0, per avere α>0, occorre che M*

45 Rete ritardatriceFormule di inversione

46 Rete ritardatriceFormule di inversione Dati del problema funzione danello L(s) pulsazione di attraversamento desiderata ω c * e margine di fase desiderato φ m * Algoritmo per il progetto della rete ritardatrice Step1: Calcolare Step2: Calcolare verificando Step3: Calcolare (α,τ) mediante le formule di inversione.

47 Esempio (Rete ritardatrice) G(s) + - R(s) Y(s) E(s) Determinare il valore di K ed i parametri di una rete ritardatrice da inserire in modo da soddisfare le seguenti specifiche: - Errore a regime al gradino unitario minore del 1% - Margine di fase di circa 45°

48 Esempio (Rete ritardatrice) G(s) + - R(s) Y(s) E(s)

49 Esempio (Rete ritardatrice) Verifichiamo la stabilità al variare di K

50 Esempio (Rete ritardatrice)

51 Esempio (Rete ritardatrice) Calcoliamo la pulsazione ω c * in cui la fase vale -135° In corrispondenza di ω c * il modulo della funzione di anello vale Si impone quindi che il fattore di attenuazione della rete sia

52 Esempio (Rete ritardatrice) Si ricava

53 Esempio (Rete ritardatrice) Sistema non compensato

54 Esempio (Rete ritardatrice) Sistema compensato

55 Esempio (Rete ritardatrice)

56 Rete ritardatrice (mfile 1)

57 Rete ritardatrice (mfile 1)

58 Rete ritardatrice (mfile 1)

59 Rete ritardatrice (mfile 1)

60 Rete ritardatrice (mfile 1)

61 Rete ritardatrice (mfile 1)

62 Rete ritardatrice (mfile 2)

63 Rete ritardatrice (mfile 2)

64 Rete anticipatrice

65 Posto: Viene prima lo zero e poi il polo.

66 Effetto utile: Sfasamento positivo; purtroppo il picco di fase è associato ad una amplificazione Rete anticipatrice Si è introdotta una correzione di guadagno pari a 1/α.

67 Per simmetria è centrale rispetto a e, ma poiché la scala è logaritmica: Rete anticipatrice

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69 La rete anticipatrice ha leffetto di aumentare il guadagno alle alte frequenze e quindi la larghezza di banda del sistema in retroazione. Produce, cioè, uno sfasamento in anticipo che fa sì che il diagramma di Nyquist della funzione danello si allontani dal punto critico. Maggiore guadagno complessivo che tende a destabilizzare il sistema anche se consente di ottenere risposte più pronte.

70 Il massimo anticipo di fase che si può ottenere dalla rete è langolo che la tangente al cerchio forma con lasse reale: Rete anticipatrice

71 Vediamo come si effettua la compensazione mediante rete anticipatrice. Tuning pratico della rete Rete anticipatrice G(s) + - R(s) Y(s) E(s) Consideriamo il sistema già visto in precedenza, dove si è posto K=10 per soddisfare la specifica relativa al grado di precisione.

72 Tuning pratico della rete Rete anticipatrice Si aumenta la pendenza di L(iω) da -40dB/dec a - 20dB/dec in prossimità di una pulsazione ω 1 situata sufficientemente a sinistra di ω c, in modo da poter prevedere che alla nuova pulsazione di cross-over ω c, a cui il diagramma del modulo così modificato taglierà lasse 0dB, la fase si aumentata della quantità sufficiente a garantire il margine di fase richiesto.

73 Tuning pratico della rete Rete anticipatrice 1)Dai diagrammi di Bode della fdt di anello L(iω) si calcola la pulsazione ω c di cross-over ed il margine di fase corrispondente M φ. 2)Si calcola lanticipo di fase φ m necessario per avere un margine di fase pari a quello desiderato più una quantità di sicurezza: φ m viene sommata alla fase di L(s) in corrispondenza della nuova pulsazione di cross-over ω c del sistema compensato e tale fase risulta inferiore a quella valutata in ω c, essendo ω c > ω c. Specifica

74 Tuning pratico della rete Rete anticipatrice 3)Si calcola il valore del parametro α della rete:

75 Tuning pratico della rete Rete anticipatrice 4)Dal diagramma si determina la nuova pulsazione di cross-over 5)Si ricavano le costanti di tempo della rete

76 Tuning pratico della rete Rete anticipatrice Per la fdt L(s) scelta come esempio, essendo il margine di fase circa 11° e volendo aumentarlo a 45°, si deve scegliere per α un valore da garantire un anticipo di fase di 45°-11°=34°. Si calcola quindi la pulsazione ω c imponendo che il modulo di L(iω) in ω c valga

77 Tuning pratico della rete Rete anticipatrice Si ricavano quindi le costanti di tempo della rete

78 Rete anticipatrice (mfile 1)

79 Rete anticipatrice (mfile 1)

80 Rete anticipatrice (mfile 1)

81 Rete anticipatrice (mfile 1)

82 Rete anticipatrice (mfile 1)

83 Rete anticipatrice (mfile 1)

84 Rete anticipatrice (mfile 1)


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