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LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio.

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1 LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio

2 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 1.CHE COSÈ LA PARABOLA DEFINIZIONE Parabola Scegliamo sul piano un punto F e una retta d. Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da F e da d. Il luogo geometrico di questi punti è detto parabola. Il punto F e la retta d sono detti, rispettivamente, fuoco e direttrice della parabola.

3 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio 2.LEQUAZIONE DELLA PARABOLA LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE Fissiamo il fuoco nel punto F(0; f) e la direttrice nella retta d di equazione y = – f. Un punto generico P(x; y) è equidistante da F e da d se cioè:. Da cui,,. Eq. della parabola con vertice nellorigine e asse verticale:y = ax 2. Equazione della direttrice:. Coordinate del fuoco:.

4 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE ESEMPIO Rappresentiamo nel piano cartesiano la parabola di equazione: 00 –13 13 –212 2 xy Inoltre:, fuoco, eq. della direttrice. y = 3x 2.

5 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio 4.IL SEGNO DI a E LA CONCAVITÀ DELLA PARABOLA LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE a > 0 y = ax 2 è positiva o nulla, la distanza focale è f > 0, F ha ordinata positiva. a < 0 y = ax 2 è negativa o nulla, la distanza focale è f < 0, F ha ordinata negativa. Concavità rivolta verso lalto. Concavità rivolta verso il basso.

6 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 5.IL VALORE DI a E LAPERTURA DELLA PARABOLA a = a = 2 Per a > 0, allaumentare di a diminuisce lapertura della parabola.

7 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio 6.LEQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALLASSE y LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE La trasformazione trasla i punti del piano. Sotto questa trasformazione, la parabola di equazione y = ax 2 diventa: y – y V = a(x – x V ) 2. In particolare, le coordinate del vertice diventano: V(x V ; y V ). Possiamo riscriverePossiamo riscrivere lequazione della parabola come y = ax 2 + bx + c. Ascissa del vertice:; ordinata del vertice:.

8 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio RITORNA otteniamo y = ax 2 + bx + c. oy = ax 2 – 2ax v x + (ax v 2 + y v ). cioè y – y v = ax 2 – 2axx v + ax v 2 6.LEQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALLASSE y LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE Equazione generica della parabola con asse parallelo allasse y La parabola con vertice V(x v ; y v ) ha equazione y – y v = a(x – x v ) 2, Ponendo b = – 2ax v, c = ax v 2 + y v,, cioè. Per le coordinate di V(x v ; y v ) vale:

9 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio REGOLA Lasse di simmetria ha equazione:, 7. LEQUAZIONE y = ax 2 + bx + c LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE TEOREMA A ogni parabola con asse parallelo allasse y corrisponde unequazione del tipo y = ax 2 + bx + c, con a 0, e viceversa. il vertice è il punto:, il fuoco è il punto:, la direttrice ha equazione:.

10 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio 7.ALCUNI CASI PARTICOLARI LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE b = 0 Lequazione diventa: y = ax 2 + c. c = 0 Lequazione diventa: y = ax 2 + bx. b = 0, c = 0 Lequazione diventa: y = ax 2. La parabola ha vertice V(0; c) e il suo asse di simmetria è lasse y. La parabola passa per lorigine O. La parabola ha il vertice nellorigine O.

11 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 8.ESERCIZI: LEQUAZIONE y = ax 2

12 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio 9.ESERCIZI: DALLEQUAZIONE y = ax 2 AL GRAFICO LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE

13 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio 10. ESERCIZI: LEQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALLASSE y LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE

14 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio 11. ESERCIZI: LEQUAZIONE y = ax 2 + bx + c LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE


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