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Fisica dei biliardi e caos Il battito d ali di una farfalla puo scatenare un uragano ?

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Presentazione sul tema: "Fisica dei biliardi e caos Il battito d ali di una farfalla puo scatenare un uragano ?"— Transcript della presentazione:

1 Fisica dei biliardi e caos Il battito d ali di una farfalla puo scatenare un uragano ?

2 Studio della dinamica caotica: una storia recente (XX sec - oggi)

3 La meccanica classica e il determinismo a = F/m ; posizione e velocita iniziale "Noi dobbiamo riguardare il presente stato dell'universo come l'effetto del suo stato precedente e come la causa di quello che seguirà. Ammesso per un istante che una mente possa tener conto di tutte le forze che animano la natura, assieme alla rispettiva situazione degli esseri che la compongono, se tale mente fosse sufficientemente vasta da poter sottoporre questi dati ad analisi, essa abbraccerebbe nella stessa formula i moti dei corpi più grandi dell'universo assieme a quelli degli atomi più leggeri. Per essa niente sarebbe incerto ed il futuro, così come il passato, sarebbe presente ai suoi occhi. Pierre Simon de Laplace ( ) "Essai philosophique sur les probabilites",

4 Sistemi dinamici caotici L evoluzione temporale, anche se governata da equazioni deterministiche, dipende in modo sensibilissimo dalle condizioni iniziali.

5 Semplificare la complessita: biliardi ideali come prototipo di sistemi caotici Dai biliardi reali… … a quelli ideali

6 Il modello boccia puntiforme (nessuna rotazione) tavolo e bordi lisci (zero attrito) urti perfettamente elastici

7 Fisica degli urti Urto elastico conservazione dell energia |v| = |v| Zero attriti forze perpendicolari ai bordi v // = v // => v = - v

8 Fisica degli urti

9

10 L algoritmo dati x,y,v x,v y al tempo t calcolare : –tempo per la prossima collisione –punto di impatto –velocita dopo lurto (riflessione) Iterare N volte (N collisioni)

11 Tempo per la prossima collisione x(t) = x 0 + v x t y(t) = y 0 + v y t parete: f(x,y)=0 al tempo di collisione t c : f(x(t c ),y(t c ))=f(x 0 + v x t c, y 0 + v y t c )=0

12 Esempio (parete rettilinea) x 0 =-0.5, y 0 =0.5, v x =2, v y =2 quando avverra l urto con l asse y=0 ? equazione: y 0 + v y t c =0 da cui t c = - y 0 /v y => t c =

13 Esempio (parete circolare) equazione: [x( t c ) - x c ] 2 + [y ( t c ) - y c ] 2 = 1 ovvero (x 0 + v x t c - x c ) 2 + (y 0 + v y t c - y c ) 2 = 1 => 0, 1 o 2 soluzioni: (0 sol.) non urta (1 sol.) urto tangente (2 sol.) urto (prendere t c maggiore) i

14 Nuova velocita dopo l urto Parete circolare (x - x c ) 2 + y 2 = 1 v x = (y 2 - (x-x c ) 2 ) v x - 2 (x - x c )y v y v y = - 2 (x-x c ) y v x + ((x - x c ) 2 - y 2 ) v y (valida se v x 2 + v y 2 = 1 )


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