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EVENTI CONDIZIONATI n Si consideri la partizione A 1, A 1, …, A 1, N 2, di. n Si consideri inoltre levento B. n Rappresentazione in termini di diagramma.

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1 EVENTI CONDIZIONATI n Si consideri la partizione A 1, A 1, …, A 1, N 2, di. n Si consideri inoltre levento B. n Rappresentazione in termini di diagramma di Venn A1A1 A2A2 A3A3 ANAN A2BA2B A3BA3B ANBANB A1BA1B B A1BA1B A2BA2B A3BA3B ANBANB

2 EVENTI CONDIZIONATI n Gli eventi A 1 B, A 2 B, …, A N B, costituiscono una partizione dellevento B indotta dalla originaria partizione A 1, A 2, …, A N, di. n Nella restrizione B dello spazio campionario, cioè subordinatamente (condizionatamente) al fatto che si sia verificato (o subordinatamente a questa assunzione) levento B: n la parte A i B di A i, è ancora possibile; n la parte A i B c di A i, non è più possibile. n Si considerino gli eventi: n A i, i=1,2,…,N; n A i B, i=1,2,…,N; n Siano: n P(A i ) la probabilità dellevento eventi A i, i= 1,2,…,N, in quanto incluso in, n scriveremo momentaneamente per evidenziare lo spazio campionario di riferimento: P(A i )= P(A i | ) n P(A i B) la probabilità dellevento eventi A i B, i= 1,2,…,N, in quanto incluso in, n scriveremo momentaneamente per evidenziare lo spazio campionario di riferimento: P(A i B)= P(A i B| ) n A i |B levento A i B nella restrizione B dello spazio campionario, cioè subordinatamente al fatto che si sia verificato (o subordinatamente a questa assunzione) levento B, si avrà: A i |B A i B|B.

3 PROBABILITÀ CONDIZIONALI (O SUBORDINATE) n Denoteremo con: n P(A i |B) P(A i B|B), n la probabilità dellevento eventi A i |B, i= 1,2,…,N, n Le seguenti assunzioni sono equivalenti: n (1) P(A i B|B) = P(A i B| )/P(B| ), i=1,2,…,N; n (2) [P(A i B|B)/P(A j B|B)] = [P(A i B| )/P(A j B| )], i, j = 1,2,…,N. n P(A i |B) è denominata probabilità condizionale o probabilità dellevento condizionato A i |B essendo per definizione pari a: n (3) P(A i |B) = P(A i B)/P(B). n La condizione (1), equivalente alla (3), evidenzia che la probabilità condizionale consiste in una semplice rinormalizzazione della probabilità degli eventi ancor possibili nella restrizione dello spazio campionario. I rapporti tra le probabilità degli eventi ancor possibili nel nuovo (più ristretto) spazio campionario B restano invariati (condizione equivalente (2)). n Linformazione che B (B ) è ora il nuovo spazio campionario, ha leffetto di rendere impossibili molti eventi originariamente tali. Le probabilità degli eventi rimasti ancora (totalmente) possibili cambiano ma per la sola necessità di normalizzazione della probabilità. Cioè cambiano in modo proporzionale al coefficiente di normalizzazione 1/P(B).

4 TEOREMI CHE COINVOLGONO LA PROBABILITÀ CONDIZIONALE n TEOREMI DELLA PROBABILITÀ COMPOSTA n Dati due eventi qualsiasi A e B, dalla (1) segue: n P(AB) = P(B)P(A|B); n P(AB) = P(A)P(B|A); n P( ) = P(B 1 )P(B 2 |B 1 ) P(B 3 | B 1 B 2 )P(B n |B 1 B 2··· B n-1 ). n TEOREMA DELLA PROBABILITÀ TOTALE n Data la partizione A 1, A 2, …., A N, di, considerando B (B ), e risultando: n B = BA 1 BA 2 …. BA N, n si ha: n P(B)= ; n e quindi anche: n P(B) =. n TEOREMA DI BAYES n Data la partizione A 1, A 2, …., A N, di, si ha: n P(A i |B) = [P(A i )P(B|A i )] / [ ].

5 PROBABILIZZAZIONE DIRETTA, INDIRETTA E INVERSA n In molte applicazioni del calcolo delle probabilità (vedi gli esempi precedenti) sono note direttamente le probabilità degli eventi: n AB e A e si desidera calcolare la probabilità dellevento condizionato B|A. n In questo caso direttamente dalla definizione di probabilità condizionale, seguirà: n P(B|A) = P(AB)/P(A). n In altre situazioni (indirette) ad origine sono note le probabilità dellevento condizionato B|A e dellevento (marginale) A e si desidera calcolare la probabilità dellevento congiunto AB. n In questo caso dal teorema delle probabilità composte seguirà: n P(AB) = P(A)P(B|A). n In altre situazioni (inverse) ad origine sono note le probabilità dellevento condizionato B|A, dellevento (marginale) A e dellevento B e si desidera calcolare la probabilità dellevento condizionato A|B, evento condizionato inverso dellevento condizionato B|A (probabilità dellevento condizionato inverso). n In questo caso prima, utilizzando il teorema delle probabilità composte, si calcolerà la probabilità dellevento congiunto AB risultando : n P(AB) = P(A)P(B|A), n poi, dalla definizione di probabilità condizionale, seguirà: n P(A|B) = P(AB)/P(B).

6 PROBABILITÀ DI EVENTI CONDIZIONATI n Con riferimento ai giochi di sorte si valutino le probabilità dei seguenti eventi: n Esperimento: lancio di un dado da gioco. n Evento: faccia sei sapendo che è uscito un numero pari (1/3). n Esperimento: lancio di due dadi da gioco. n Evento: punteggio somma maggiore di 10 sapendo che sono usciti due numeri uguali (1/6). n Evento: punteggio somma maggiore di 10 sapendo che sono usciti due numeri pari (1/9). n Evento: punteggio somma maggiore di 10 sapendo che sono usciti un numero pari e uno dispari (2/18). n Evento: punteggio somma maggiore di 10 sapendo che nel primo dado è uscito un numero pari (2/18). n Esperimento: lancio di tre dadi da gioco. n Evento: punteggio somma maggiore di 10 sapendo che sono usciti due numeri uguali (non esclude tre numeri uguali) (1/2). n Evento: punteggio somma maggiore di 10 sapendo che sono usciti due numeri pari (non esclude tre numeri pari) (68/108).

7 EVENTI CONDIZIONATI NEL LANCIO DI DUE DADI DA GIOCO

8 PROBABILITÀ DI EVENTI CONGIUNTI: ESTRAZIONI DA UNURNA CAMPIONAMENTO SENZA REINSERIMENTO n Si consideri unurna contenente palline: 4 Bianche e 6 Verdi. n Si prefiguri la successiva estrazione di tre palline. n p(B 1 B 2 B 3 ) = p(B 1 )p(B 2 |B 1 )p(B 3 |B 1 B 2 ) = (4/10)(3/9)(2/8) = 1/30 n p(B 1 B 2 V 3 ) = p(B 1 ) p(B 2 |B 1 )p(V 3 |B 1 B 2 ) = (4/10)(3/9)(6/8) = 3/30 n p(B 1 V 2 B 3 ) = p(B 1 )p(V 2 |B 1 )p(B 3 |B 1 V 2 ) = (4/10)(6/9)(3/8) = 3/30 n p(B 1 V 2 V 3 ) = p(B 1 )p(V 2 |B 1 )p(V 3 |B 1 V 2 ) = (4/10)(6/9)(5/8) = 5/30 n n p(V 1 B 2 B 3 ) = p(V 1 )p(B 2 |V 1 )p(B 3| V 1 B 2 ) = (6/10)(4/9)(3/8) = 3/30 n p(V 1 B 2 V 3 ) = p(V 1 )p(B 2 |V 1 )p(V 3 |V 1 B 2 ) = (6/10)(4/9)(5/8) = 5/30 n p(V 1 V 2 B 3 ) = p(V 1 )p(V 2 |V 1 )p(B 3 |V 1 V 2 ) = (6/10)(5/9)(4/8) = 5/30 n p(V 1 V 2 V 3 ) = p(V 1 )p(V 2 |V 1 )p(V 3 |V 1 V 2 ) = (6/10)(5/9)(4/8) = 5/30

9 ESTRAZIONI DA UNURNA CAMPIONAMENTO CON ESTRAZIONI IN BLOCCO n Si consideri unurna contenente: n 4 palline Bianche e 6 palline Verdi. n Si prefiguri la successiva estrazione di tre palline. n PROBABILITÀ DEGLI ESITI n p(BBB) = = (4/10)(3/9)(2/8) = 1/30 n p(BBV) = (1/3) = (4/10)(3/9)(6/8) = 3/30 n p(BVB) = (1/3) = (4/10)(6/9)(3/8) = 3/30 n p(BVV) = (1/3) = (4/10)(6/9)(5/8) = 5/30 n n p(VBB) = (1/3) = (6/10)(4/9)(3/8) = 3/30 n p(VBV) = (1/3) = (6/10)(4/9)(5/8) = 5/30 n p(VVB) = (1/3) = (6/10)(5/9)(4/8) = 5/30 n p(VVV) = = (6/10)(5/9)(4/8) = 5/30

10 PROBABILITA DI EVENTI CONGIUNTI: ESTRAZIONI DA UNURNA SCHEMA CONTAGIOSO DI POLYA n Si consideri unurna contenente palline:1 Bianca e 1 Verde. n Si prefiguri la successiva estrazione di tre palline, n reinserendo, volta per volta, oltre alla pallina estratta, n unaltra pallina dello stesso colore. n p(BBB) = (1/2)(2/3)(3/4) = 3/12 n p(BBV) = (1/2)(2/3)(1/4) = 1/12 n p(BVB) = (1/2)(1/3)(2/4) = 1/12 n p(BVV) = (1/2)(1/3)(2/4) = 1/12 n p(VBB) = (1/2)(1/3)(2/4) = 1/12 n p(VBV) = (1/2)(1/3)(2/4) = 1/12 n p(VVB) = (1/2)(2/3)(1/4) = 1/12 n p(VVV) = (1/2)(2/3)(3/4) = 3/12

11 PROBABILITA DI EVENTI CONDIZIONATI INVERSI: INFERENZA SULLA COMPOSIZIONE DI UNURNA CAMPIONAMENTO CON REINSERIMENTO n Sono formulate le seguenti tre ipotesi esaustive valutate equiprobabili di composizione di unurna chiusa in palline Bianche e non Bianche: n H 1 : 30 % Bianche, 70% non Bianche; n H 2 : 50 % Bianche, 50% non Bianche; n H 3 : 80 % Bianche, 20% non Bianche; n Esperimento: Si estraggono con reinserimento tre palline: n Esito: una palline delle tre estratte è Bianca e le altre due sono Non Bianche. n Valgono le probabilità iniziali: P(H 1 ) = P(H 2 ) = P(H 3 ) = 1/3. n Sono determinabili le seguenti probabilità condizionali: n P(E|H 1 ) = 3(0.3)(0.7) 2 = 3(0.147); n P(E|H 2 ) = 3(0.5)(0.5) 2 = 3(0.125); n P(E|H 3 ) = 3(0.8)(0.2) 2 = 3(0.032). n E determinabile la probabilità marginale: n P(E) = P(H 1 ) P(E|H 1 ) + P(H 2 ) P(E|H 2 ) + P(H 3 ) P(E|H 3 ) = n Sono determinabili le probabilità finali (condizionali inverse): n P(H 1 |E) = P(H 1 ) P(E| H 1 )/P(E) = 0.147/ = ; n P(H 2 |E) = P(H 2 ) P(E| H 2 )/P(E) = 0.125/ = ; n P(H 3 |E) = P(H 3 ) P(E| H 3 )/P(E) = 0.032/ =

12 PROBABILITA DI EVENTI CONDIZIONATI INVERSI: INFERENZA SULLA COMPOSIZIONE DI UNURNA CAMPIONAMENTO CON REINSERIMENTO n Si osservi che ciascuno dei tre esiti (BNN), (NBN) e (NNB) che implicano levento E porterebbe al medesimo risultato finale. n Coerentemente con le probabilità condizionali del risultato sperimentale E che risultano ordinate come segue: n P(E|H 1 ) P(E|H 2 ) P(E|H 3 ); n data la valutazione equiprobabile delle tre ipotesi di composizione dellurna, si hanno: n P(H 1 |E) P(H 2 |E) P(H 3 |E). n Diverso ordinamento finale è ottenibile se le probabilità iniziali delle tre ipotesi di composizione dellurna sono in contrasto con le valutazioni condizionali del risultato sperimentale. n Con: P(H 1 ) = 0.1; P(H 2 ) = 0.2; P(H 3 ) = 0.7; n osservando che in questo caso risulta: n P(E) = P(H 1 ) P(E|H 1 ) + P(H 2 ) P(E|H 2 ) + P(H 3 ) P(E|H 3 ) = 3(0.0621) n si ottengono: n P(H 1 |E) = P(H 1 ) P(E| H 1 )/P(E) = (0.1)3(0.147)/ [3( )] = / ; n P(H 2 |E) = P(H 2 ) P(E| H 2 )/P(E) = (0.2)3(0.125)/ [3( )] = / ; n P(H 3 |E) = P(H 3 ) P(E| H 3 )/P(E) = (0.7)3(0.032)/ [3( )] = /

13 PROBABILITA DI EVENTI CONDIZIONATI INVERSI: INFERENZA SULLA COMPOSIZIONE DI UNURNA CAMPIONAMENTO SENZA REINSERIMENTO n Sono formulate le seguenti tre ipotesi esaustive valutate equiprobabili di composizione di unurna chiusa contenente complessivamente N = 10 palline, distinguibili per colore in palline Bianche e non Bianche: –H 1 : 30 % Bianche, 70% non Bianche; –H 2 : 50 % Bianche, 50% non Bianche; –H 3 : 80 % Bianche, 20% non Bianche; n Esperimento: Si estraggono senza reinserimento tre palline: n Esito: una palline delle tre estratte è Bianca e le altre due sono Non Bianche. n Valgono le probabilità iniziali: P(H 1 ) = P(H 2 ) = P(H 3 ) = 1/3. n Sono determinabili le seguenti probabilità condizionali: –P(E|H 1 ) = 3(3/10)(7/9)(6/8) = 3(0.1750); –P(E|H 2 ) = 3(5/10)(5/9)(4/8) = 3(0.1389); –P(E|H 3 ) = 3(8/10)(2/9)(1/8) = 3(0.0222). n E determinabile la probabilità marginale: –P(E) = P(H 1 ) P(E|H 1 ) + P(H 2 ) P(E|H 2 ) + P(H 3 ) P(E|H 3 ) = n Sono determinabili le probabilità finali (condizionali inverse): –P(H 1 |E) = P(H 1 ) P(E| H 1 )/P(E) = / = ; –P(H 2 |E) = P(H 2 ) P(E| H 2 )/P(E) = / = ; –P(H 3 |E) = P(H 3 ) P(E| H 3 )/P(E) = / =

14 PROBABILITA DI EVENTI CONDIZIONATI INVERSI: INFERENZA SULLA COMPOSIZIONE DI UNURNA CAMPIONAMENTO CON CONTAGIO n Sono formulate le seguenti tre ipotesi esaustive valutate equiprobabili di composizione di unurna chiusa contenente complessivamente N = 10 palline, distinguibili per colore in palline Bianche e non Bianche: –H 1 : 30 % Bianche, 70% non Bianche; –H 2 : 50 % Bianche, 50% non Bianche; –H 3 : 80 % Bianche, 20% non Bianche; n Esperimento: Si estraggono con contagio tre palline Il contagio avviene reinserendo volta per volta, oltre alla pallina estratta, unaltra dello stesso colore: n Esito: una palline delle tre estratte è Bianca e le altre due sono Non Bianche. n Valgono le probabilità iniziali: P(H 1 ) = P(H 2 ) = P(H 3 ) = 1/3. n Sono determinabili le seguenti probabilità condizionali: –P(E|H 1 ) = 3(3/10)(7/11)(8/12) = 3( ); –P(E|H 2 ) = 3(5/10)(5/11)(6/12) = 3( ); –P(E|H 3 ) = 3(8/10)(2/11)(3/12) = 3( ). n E determinabile la probabilità marginale: –P(E) = P(H 1 ) P(E|H 1 ) + P(H 2 ) P(E|H 2 ) + P(H 3 ) P(E|H 3 ) = n Sono determinabili le probabilità finali (condizionali inverse): –P(H 1 |E) = P(H 1 ) P(E| H 1 )/P(E) = / = ; –P(H 2 |E) = P(H 2 ) P(E| H 2 )/P(E) = / = ; –P(H 3 |E) = P(H 3 ) P(E| H 3 )/P(E) = / =

15 PROBABILITA DI EVENTI CONDIZIONATI INVERSI: INFERENZA SULLA COMPOSIZIONE DI UNURNA DIPENDENZA DELLA PROBABILITA DEL RISULTATO CAMPIONARIO DALLA COMPOSIZIONE DELLURNA n Si noti che si hanno: n P(E|H 1 ) P(E); n P(E|H 2 ) P(E); n P(E|H 3 ) P(E). n Risultando: n P(E) = P(H 1 )P(E|H 1 ) + P(H 2 )P(E|H 2 ) + P(H 3 )P(E|H 3 ).

16 PROBABILITA DI EVENTI CONDIZIONATI INVERSI: INFERENZA SULLA PROVENIENZA DI UNA CARTOLINA n Giorgia ha deciso di prendersi una vacanza di una settimana. n E incerta se andare a Londra a trovare degli amici o partire per le Galapagos. Decide di lasciare la scelta al caso. n Lancia un dado da gioco e, se esce un numero maggiore-uguale a 5, parte per le Galapagos nonostante il poco tempo a disposizione e lalto costo, diversamente va a Londra. n Il tempo in questo periodo è: n a Londra: alle Galapagos: n Brutto con probabilità P(Br|L) = 0.5 Brutto con probabilità P(Br|G) = 0.2 n Incerto con probabilità P(In|L) = 0.3 Incerto con probabilità P(In|G) = 0.2 n Bello con probabilità P(Be|L) = 0.2 Bello con probabilità P(Be|G) = 0.6 n Dopo 5 giorni dalla partenza arriva una cartolina di provenienza indecifrabile con scritto: QUI IL TEMPO E BELLO. Dove sarà andata Giorgia? n Si hanno: n P(L) = 4/6; P(G) = 2/6; P(Be) = (4/6)(0.2)+(2/6)(0.6) =20/60=1/3 n P(L|Be) = P(L)P(Be|L)/P(Be) = (4/6)(0.2)/ 20/60 = 8/20. n P(G|Be) = 1 - P(L|Be) = 12/20. n Se fosse stato scritto: QUI IL TEMPO NON E BELLO, cosa avremmo pensato?

17 PROBABILITA DI EVENTI CONDIZIONATI INVERSI: VALE LA PENA DI ASPETTARE? n Giorgio ha una fidanzata di nome Francesca che segue il corso di Calcolo delle probabilità a Venezia e vive a Venezia. n Nella mattina Francesca telefona a Giorgio che vive a Padova dicendogli: n LANCIO UNA MONETA E SE ESCE TESTA PRENDO UN TRENO E VENGO A TROVARTI. n SE PARTO CI SONO SEI SUCCESSIVI TRENI CHE PARTIRANNO PER PADOVA, UNO OGNI MEZZORA. LANCIO UN DADO DA GIOCO E PRENDERO IL TRENO CON ORDINE DI PARTENZA PARI AL NUMERO CHE PRESENTERA LA FACCIA DEL DADO. n VIENI A PRENDERMI IN STAZIONE! n Giorgio si precipita alla stazione di Padova e aspetta larrivo dei treni. n Dai primi quattro treni previsti Francesca non scende. n Quanto valuta Giorgio la probabilità che Francesca arrivi con gli ultimi due treni previsti? NO 1° treno 6° treno 5° treno 4° treno 3° treno 2° treno

18 COME SI APPRENDE DALLESPERIENZA? I TRE PRIGIONIERI CAMPIONAMENTO CON RISPOSTA CENSURATA n Negli esempi visti lesperienza si realizza con una riduzione dello spazio campionario. E sempre così? Si consideri il seguente esempio: n Ci sono tre prigionieri A,B e C due di essi sono stati condannati a morte. n Il prigioniero A si rivolge alla Guardia che conosce la situazione e che è tenuta al massimo riserbo chiedendo chi degli altri due prigionieri è condannato a morte. n La Guardia può rispondere il vero dando: n 1) una risposta non censurata, n 2) una risposta censurata. n La distinzione e sapere qual è il comportamento della guardia è importante per la lettura corretta delle informazioni contenute nella risposta (esperienza: risultato sperimentale o osservazione)

19 I TRE PRIGIONIERI: RISPOSTA NON CENSURATA n Violando lordine di riservatezza la guardia potrebbe rispondere: –E 1 = tutti e due sono condannati a morte; –E 2 = uno dei due è condannato a morte non escludendo che possano esserlo entrambi; –E 3 = B è condannato a morte; n Se denotiamo con: –A c levento A è stato condannato a morte; –A levento A è stato graziato; n e analogamente per B e C; n sono distinguibili le seguenti tre alternative giudicabili equiprobabili: n AB c C c, A c BC c, A c B c C. n Levento E 1 rende possibile solo lalternativa AB c C c ; n Levento E 2 non esclude alcuna alternativa; n Levento E 3 rende possibile solo le due alternativa: AB c C c e A c B c C. n Gli eventi A|E i : A è stato graziato dato levento E i, i=1,2,3, avranno probabilità rispettivamente: n P(A|E 1 ) = P(AE 1 )/P(E 1 ) = P(AB c C c )/P(AB c C c ) = 1; n P(A|E 2 ) = P(AE 2 )/P(E 2 ) = P(AB c C c )/[P(AB c C c )+P(A c BC c )+P(A c B c C)] = 1/3; n P(A|E 3 ) = P(AE 3 )/P(E 3 ) = P(AB c C c )/[P(AB c C c )+P(A c B c C)] = 1/2.

20 I TRE PRIGIONIERI: RISPOSTA CENSURATA n Alla domanda di A la Guardia distingue due alternative di risposta per ogni possibile situazione delle tre inizialmente definite: n a AB c C c, b A c BC c, c A c B c C, n e precisamente: n data la situazione (a) può rispondere in alternativa: –(1) B è condannato a morte; –(2) C è condannato a morte; n data la situazione (b) può rispondere in alternativa: –(3) A è condannato a morte; –(4) C è condannato a morte; n data la situazione (c) può rispondere in alternativa: –(5) A è condannato a morte; –(6) B è condannato a morte. n Se le risposte (3) e (5) sono censurate per motivi caritatevoli, si valutano: n P(1|a) = 1/2; n P(2|a) = 1/2; n P(4|b) = 1; n P(6|c) = 1. n Ne seguono: n P(B è condannato a morte) = P(a)P(1|a) + P©P(6|c) = (1/3)(1/2) + (1/3)(1) =3/6; n P(a|E 3 ) = P(a,1)/P(E 3 ) = P(a)P(1|a) /P(E 3 ) = (1/3)(1/2)/(3/6) = 1/3.

21 ESITI ED EVENTI DEFINITI DA UNA DUPLICE PARTIZIONE DELLO SPAZIO CAMPIONARIO: NOZIONE DI INDIPENDENZA STOCASTICA n Si consideri unurna contenente palline:1 Bianca e 1 Verde. n Si prefiguri la successiva estrazione di due palline con contagio. n Si reinserisce, volta per volta, oltre alla pallina estratta, unaltra pallina dello stesso colore. n Si hanno: n p(B 1 B 2 ) = p(B 1 ) p(B 2 |B 1 ) =(1/2)(2/3) = 2/6 n p(B 1 V 2 ) = p(B 1 ) p(V 2 |B 1 ) =(1/2)(1/3) = 1/6 n p(V 1 B 2 ) = p(V 1 ) p(B 2 |V 1 ) =(1/2)(1/3) = 1/6 n p(V 1 V 2 ) = p(V 1 ) p(V 2 |V 1 ) =(1/2)(2/3) = 2/6 n Con riferimento al risultato della prima estrazione lo spazio campionario viene ripartito in due parti: = {B 1, V 1 }, con P(B 1 ) = P(V 1 ) = 1/2. n Con riferimento al risultato della prima estrazione lo spazio campionario viene ripartito in due parti: = {B 2, V 2 }, con P(B 2 ) = P(V 2 ) = 1/2. n Si noti che risulta: n P(B 2 |B 1 ) P(B 2 ).

22 ESITI ED EVENTI DEFINITI DA UNA DUPLICE PARTIZIONE DELLO SPAZIO CAMPIONARIO: NOZIONE DI INDIPENDENZA STOCASTICA n Si consideri unurna contenente palline:1 Bianca e 1 Verde. n Si prefiguri la successiva estrazione di due palline con ripristino della composizione iniziale dellurna. n Si reinserisce, volta per volta, la pallina estratta. n Si hanno: n p(B 1 B 2 ) = p(B 1 ) p(B 2 |B 1 ) =(1/2)(1/2) = 1/4 n p(B 1 V 2 ) = p(B 1 ) p(V 2 |B 1 ) =(1/2)(1/2) = 1/4 n p(V 1 B 2 ) = p(V 1 ) p(B 2 |V 1 ) =(1/2)(1/2) = 1/4 n p(V 1 V 2 ) = p(V 1 ) p(V 2 |V 1 ) =(1/2)(1/2) = 1/4 n Con riferimento al risultato della prima estrazione lo spazio campionario viene ripartito in due parti: = {B 1, V 1 }, con P(B 1 ) = P(V 1 ) = 1/2. n Con riferimento al risultato della prima estrazione lo spazio campionario viene ripartito in due parti: = {B 2, V 2 }, con P(B 2 ) = P(V 2 ) = 1/2. n Si noti che risulta: n P(B 2 |B 1 ) = P(B 2 ).

23 ANCORA SU INFORMAZIONI CAMPIONARIE DIFFERENTI n Si consideri unurna contenente palline:N 1 Bianche ed N-N 1 Verdi. n Si prefiguri la successiva estrazione di due palline con: n reinserimento; n senza reinserimento; n contagio. n Si considerino i seguenti eventi: n E 1 = una delle due palline estratte è bianca (potendo esserlo anche entrambe); n E 2 = la prima pallina estratta è risultata bianca. n Si valutino le probabilità dei seguenti eventi condizionati: n E 3 |E 1 = entrambe le palline estratte sono bianche essendo una delle due bianca n E 4 |E 2 = la seconda pallina estratta è bianca essendo bianca la prima estratta n BB VB BV VV

24 CAMPIONAMENTO CON RISPOSTE CASUALIZZATE: ALLA RICERCA DELLA CARTA VINCENTE n Un primo giocatore che tiene il banco ha a disposizione tre carte (un Re e due Cavalli) che vengono disposte coperte su un tavolo da gioco. n Un secondo giocatore che non ha nessunaltra informazione viene invitato a scegliere una carta senza scoprirla. n Il primo giocatore scopre una delle due carte non scelte e appare un Cavallo. n A questo punto invita il secondo giocatore a scambiare, se lo valuta conveniente, la carta inizialmente scelta con quella delle due non scelte rimasta ancora coperta. n Dei due giocatori vince chi avrà il Re. n Domanda: Conviene al secondo giocatore scambiare la carta? n Si dia una risposta motivata dalle valutazioni di probabilità di vincita nelle seguenti situazioni: n (a) il primo giocatore sa sempre dove finisce il Re e scopre sempre il Cavallo; n (b) il primo giocatore non sa dove finisce il Re e sceglie a caso quale carta scoprire delle due. n

25 UNA DUPLICE PARTIZIONE DELLO SPAZIO CAMPIONARIO: INDIPENDENZA STOCASTICA n Si considerino le seguenti due partizioni dello spazio campionario : n 1) H 1, H 2, …, H r, e dunque: H i H j =, i j; H i = ; n 2) B 1, B 2, …, B s, e dunque: B i B j =, i j; B i = ; n Diremo che vale la condizione di indipendenza stocastica se si ha: n (i) P(B i |H j ) = P(B i ), i=1,2,…s, j=1,2,…r. n Diversamente, se si ha: n P(B i |H j ) P(B i ), per un qualche i o un qualche j, n diremo che sussiste una situazione di dipendenza stocastica. n La (i) è equivalente alle: n (ii) P(B i H j ) = P(B i )P(H j ), i=1,2,…s, j=1,2,…r; n (iii) P(H j |B i ) = P(H j ), i=1,2,…s, j=1,2,…r.

26 UNA DUPLICE PARTIZIONE DELLO SPAZIO CAMPIONARIO: INDIPENDENZA STOCASTICA n Si considerino le seguenti due partizioni dello spazio campionario : n 1) H, H c, e dunque: H H c =, H H c = ; n 2) B, B c, e dunque: B B c =, B B i =. n Nel caso di indipendenza stocastica si ha: n (i) P(B|H) = P(B). n La (i) è equivalente alle: n (ii) P(BH) = P(B)P(H); n (iii) P(H|B) = P(H). n Seguono: n P(B c H) = P(B c )P(H); n P(BH c ) = P(B)P(H c ); n P(B c H c ) = P(B c )P(H c ).

27 VALUTAZIONE DELLA PROBABILITÀ DI EVENTI NEL CASO DI INDIPENDENZA STOCASTICA n Esempio n. 7 n Lanciando successivamente una moneta con ad ogni lancio esiti Testa e Croce, assumendo allo i-esimo lancio: P(T i ) = p, (0

28 STRUTTURAZIONE DEL PROCESSO DI INFERENZA STATISTICA n Un usuale schema per condurre un processo di inferenza statistica su un fenomeno di interesse, cioè, in generale, per apprendere con lesperienza, circa le leggi che regolano ciò che è rilevabile, quale risultato di uno o più esperimenti (di seguito semplicemente esperimento) o come semplice osservazione, di seguito in entrambi i casi denominato losservabile, consiste: n inizialmente nel: n (i) considerare le ipotesi teoriche alternative ed esaustive (non osservabili) : H 1, H 2, …, H r, a spiegazione dellosservabile, definendo e misurando il proprio stato di incertezza in termini di valutazione di probabilità iniziale di ciascuna di esse: n P(H j ), j =1,2,…r; n (ii) considerare una partizione: B 1, B 2, …, B s, dello spazio campionario, connesso allesperimento e dunque una partizione (la più fine possibile) dellosservabile definendo la connessione dellosservabile con le singole ipotesi teoriche formulate a spiegazione dellosservabile in termini di valutazione di probabilità condizionale degli esiti (parti) possibili: n P(B i |H j ), i=1,2,…,s; n e cioè per ognuna delle ipotesi teoriche assunte a spiegazione: j=1,2,…,r.

29 INFERENZA STATISTICA: APPRENDIMENTO CON IL TEOREMA DI BAYES n Successivamente a risultato sperimentale ottenuto ad esempio B i (o ad osservazione conseguita) lapprendimento consiste in: n (iii) aggiornare la valutazione di probabilità delle alternative ipotesi assunte a spiegazione dellosservabile passando dalla valutazione di probabilità iniziale: n P(H j ), j =1,2,…r; n alla valutazione di probabilità finale (successiva): n P(H j |B i ), j =1,2,…r; n applicando il teorema di Bayes. n Si pone quale condizione di coerenza espressa dal teorema di Bayes: n P(H j |B i ) = P(H j ), j=1,2,…,r.


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