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Lezione 5 Strumenti statistici: campioni e stimatori

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Presentazione sul tema: "Lezione 5 Strumenti statistici: campioni e stimatori"— Transcript della presentazione:

1 Lezione 5 Strumenti statistici: campioni e stimatori

2 dalla caratteristica comune di una popolazione al suo modello probabilistico …
una popolazione (distribuita in modo) normale su cui viene definita una variabile casuale continua X con media m e varianza s2 può essere modellata mediante una funzione di densità di probabilità fX ( x ) espressa nella forma: 1,61m < h < 1,63m  X = 162 1,59m < h < 1,61m  X = 160 1,57m < h < 1,59m  X = 158

3 dalla caratteristica comune di una popolazione al suo modello probabilistico …

4 Nella parte 1 ... V = v ( X1, X2, …, Xn )
le strategie di campionamento: - sistematico, - stratificato, - per quote, - a grappolo Nella parte 1 ... gli stimatori campionari V = v ( X1, X2, …, Xn ) correttezza: consistenza: efficienza:

5 Nella parte 2 ... La media campionaria: corretto: consistente:

6 ? Nella parte 2 ... La varianza campionaria:
La varianza campionaria corretta: corretto: Consistente: ? ?

7 parte 3 gli stimatori: “varianza campionaria corretta”

8 Principali stimatori: varianza campionaria corretta Sn 2
definizione 5.8: estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } si definisce “varianza campionaria corretta” la quantità: con numerosità n del campione maggiore di 1.

9 Principali stimatori: varianza campionaria corretta Sn 2
la “varianza campionaria corretta” di un campione proveniente da una popolazione su cui è stata definita la variabile casuale X è uno stimatore corretto della varianza s2 della X per l’intera popolazione dato che:

10 Principali stimatori: varianza campionaria corretta Sn 2
Per verificare se la varianza campionaria corretta possa essere considerata uno stimatore consistente della varianza della X relativa all’intera popolazione si dovrà individuare la sua distribuzione, in modo da poter individuare il limite per n che tende all’infinito della sua varianza. Ricordiamo infatti che si era scritto: consistenza degli stimatori campionari

11 Principali stimatori: varianza campionaria corretta Sn 2
Per ricavare la distribuzione della varianza campionaria corretta si dovranno introdurre tre nuove distribuzioni: - la distribuzione “Gamma”, - la distribuzione “Chi - quadro”, - la distribuzione “C2 modificata”.

12 Principali stimatori: varianza campionaria corretta Sn 2
Per ricavare la distribuzione della varianza campionaria corretta si dovranno introdurre tre nuove distribuzioni: - la distribuzione “Gamma”, - la distribuzione “Chi - quadro”, - la distribuzione della variabile “C2 modificata”

13 la distribuzione Gamma ( G )

14 Distribuzione Gamma ( G )
Costruiamo una funzione della variabile X in cui compaiono due parametri p e l a cui è possibile assegnare arbitrariamente valori reali positivi: in cui è stata indicata con G( p) la funzione:

15 Distribuzione Gamma ( G )

16 Distribuzione Gamma ( G )

17 Distribuzione Gamma ( G )
La funzione : può essere presa come funzione di densità di probabilità dato che: ha dominio in R e codominio in R + ; il suo integrale è unitario; rispetta gli assiomi di Kolmogoroff.

18 Distribuzione Gamma ( G )
Una distribuzione per cui si possa adottare la come funzione di densità di probabilità viene chiamata “distribuzione Gamma con parametri p e l ”

19 Media e varianza della distribuzione Gamma
Se X è una variabile casuale che ha distribuzione Gamma con parametri p e l : si ha :

20 la distribuzione “chi-quadro” o “distribuzione di Pearson”
Karl Pearson ( )

21 Distribuzione chi-quadro
La distribuzione Gamma con parametri p = n / 2 e l = 1 / 2 assume un particolare interesse: avendo indicato con G( n / 2 ) la funzione definita da:

22 Distribuzione chi-quadro
Una distribuzione per cui si possa adottare la come funzione di densità di probabilità viene chiamata: distribuzione chi - quadro con n gradi di libertà

23 Distribuzione chi-quadro

24 Media e varianza della distribuzione chi-quadro
Dato che la distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà è un caso particolare della distribuzione Gamma con parametri p = n / 2 e l = 1 / 2 la sua media e la sua varianza possono essere dedotte introducendo tali valori nella espressione di media e varianza della generica Gamma : ottenendo:

25 Proprietà della distribuzione chi-quadro
teorema 5.5: Se le variabili casuali X1, X2 … , Xn, sono indipendenti e ciascuna ha distribuzione normale con media m j e varianza s2j con j = 1, 2, … , n, allora la variabile casuale: segue una distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà

26 Proprietà della distribuzione chi-quadro
corollario al teorema 5.5: Se le variabili casuali X1, X2 … , Xn, sono indipendenti e ciascuna ha una distribuzione normale con media mj e varianza s2j con j = 1, 2, … , n, allora le variabili casuali Z1, Z2 … , Zn definite come : sono indipendenti e seguono una distribuzione normale standard. Ma allora si può anche affermare che: la somma dei quadrati di n variabili casuali indipendenti, ciascuna distribuita in modo normale standard, segue una distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà !

27 la distribuzione della variabile C2 modificata

28 Distribuzione chi-quadro

29 Media e varianza della distribuzione chi-quadro
Dato che la distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà è un caso particolare della distribuzione Gamma con parametri p = n / 2 e l = 1 / 2 la sua media e la sua varianza possono essere dedotte introducendo tali valori nella espressione di media e varianza della generica Gamma : ottenendo: La distribuzione chi-quadro ha media e varianza che aumentano all’aumentare di n

30 La variabile C 2 Partendo da una variabile casuale c 2 che segue una distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà, definiamo una nuova variabile che indichiamo C 2 : che prende il nome di “variabile modificata di chi-quadro con n g.d.l.” La “variabile modificata di chi-quadro” è quindi una variabile casuale che si ottiene dividendo una variabile casuale distribuita secondo una chi-quadro per il numero dei suoi gradi di libertà.

31 La distribuzione della variabile C 2
Dato che la C 2, “variabile modificata di chi-quadro”, si ottiene dividendo una variabile distribuita secondo una chi-quadro per il numero dei suoi gradi di libertà, il suo valore medio e la sua varianza si possono facilmente ricavare da quelli della corrispondente c 2 : ottenendo:

32 La distribuzione della variabile C 2

33 La distribuzione della variabile C 2
La distribuzione della varianza campionaria corretta

34 Distribuzione della varianza campionaria corretta
Estraendo casualmente da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X, distribuita in modo normale con media m e varianza s2 , un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } è facile vedere che la variabile casuale: segue una distribuzione normale con media nulla. Se definiamo una nuova variabile Z : possiamo affermare che essa segue una distribuzione normale standard.

35 Distribuzione della varianza campionaria corretta
Se ora sommiamo i quadrati delle Z1 , Z2 , … , Zn : possiamo affermare che W segue una distribuzione chi-quadro con n - 1 gradi di libertà in quanto somma dei quadrati di n -1 variabili indipendenti normali standard ( la media introduce un vincolo fra le n variabili Xi )

36 Distribuzione della varianza campionaria corretta
Definiamo ora una nuova variabile V : che, esplicitando Sn2, possiamo anche scrivere come:

37 Distribuzione della varianza campionaria corretta
Se ricordiamo che : possiamo notare che : e, ricordando che W segue una distribuzione chi-quadro possiamo affermare che anche V segue una distribuzione chi-quadro con n - 1 gradi di libertà.

38 Distribuzione della varianza campionaria corretta
Definiamo infine una nuova variabile che indichiamo C 2 : che risulta essere una “variabile modificata di chi-quadro con n - 1 gradi di libertà”

39 La varianza campionaria corretta e la C 2

40 La varianza campionaria corretta e la C 2

41 Lo stimatore varianza campionaria corretta
Estraendo casualmente da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X, distribuita in modo normale con media m e varianza s2 , un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } posto: si ha che la varianza campionaria corretta: è uno stimatore corretto in quanto è uno stimatore consistente in quanto :

42 Lo stimatore varianza campionaria corretta
Estraendo casualmente da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X, distribuita in modo normale con media m e varianza s2 , un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } posto: si ha che : segue una distribuzione C 2 con n-1 gradi di libertà.

43 Lo stimatore varianza campionaria corretta
Il rapporto fra la varianza campionaria corretta dei campioni estratti casualmente da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X, distribuita in modo normale con media m e varianza s2 , e la stessa varianza s2 della X è una variabile casuale che segue una distribuzione C 2 con n-1 gradi di libertà.


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