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Stat 03 - 1 / 43 Lezione 5 Strumenti statistici: campioni e stimatori.

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Presentazione sul tema: "Stat 03 - 1 / 43 Lezione 5 Strumenti statistici: campioni e stimatori."— Transcript della presentazione:

1 Stat / 43 Lezione 5 Strumenti statistici: campioni e stimatori

2 Stat / 43 dalla caratteristica comune di una popolazione al suo modello probabilistico … 1,61m < h < 1,63m X = 162 1,59m < h < 1,61m X = 160 1,57m < h < 1,59m X = 158 una popolazione (distribuita in modo) normale su cui viene definita una variabile casuale continua X con media e varianza 2 può essere modellata mediante una funzione di densità di probabilità f X ( x ) espressa nella forma:

3 Stat / 43 dalla caratteristica comune di una popolazione al suo modello probabilistico …

4 Stat / 43 Nella parte 1... gli stimatori campionari V = v ( X 1, X 2, …, X n ) correttezza: consistenza: efficienza: le strategie di campionamento: - sistematico, - stratificato, - per quote, - a grappolo

5 Stat / 43 Nella parte 2... consistente: La media campionaria: corretto:

6 Stat / 43 Nella parte 2... La varianza campionaria: corretto: La varianza campionaria corretta: Consistente: ??

7 Stat / 43 parte 3 gli stimatori: varianza campionaria corretta

8 Stat / 43 Principali stimatori: varianza campionaria corretta S n 2 definizione 5.8: estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X un campione di n elementi a cui corrisponde linsieme di variabili casuali { X 1, X 2, …, X n } si definiscevarianza campionaria corretta la quantità: con numerosità n del campione maggiore di 1.

9 Stat / 43 Principali stimatori: varianza campionaria corretta S n 2 la varianza campionaria corretta di un campione proveniente da una popolazione su cui è stata definita la variabile casuale X è uno stimatore corretto della varianza 2 della X per lintera popolazione dato che:

10 Stat / 43 Principali stimatori: varianza campionaria corretta S n 2 Per verificare se la varianza campionaria corretta possa essere considerata uno stimatore consistente della varianza della X relativa allintera popolazione si dovrà individuare la sua distribuzione, in modo da poter individuare il limite per n che tende allinfinito della sua varianza. Ricordiamo infatti che si era scritto: consistenza degli stimatori campionari

11 Stat / 43 Principali stimatori: varianza campionaria corretta S n 2 Per ricavare la distribuzione della varianza campionaria corretta si dovranno introdurre tre nuove distribuzioni: - la distribuzione Gamma, - la distribuzione Chi - quadro, - la distribuzione C 2 modificata.

12 Stat / 43 Principali stimatori: varianza campionaria corretta S n 2 Per ricavare la distribuzione della varianza campionaria corretta si dovranno introdurre tre nuove distribuzioni: - la distribuzione Gamma, - la distribuzione Chi - quadro, - la distribuzione della variabile C 2 modificata

13 Stat / 43 la distribuzione Gamma ( )

14 Stat / 43 Distribuzione Gamma ( ) Costruiamo una funzione della variabile X in cui compaiono due parametri p e a cui è possibile assegnare arbitrariamente valori reali positivi: in cui è stata indicata con ( p ) la funzione:

15 Stat / 43 Distribuzione Gamma ( )

16 Stat / 43 Distribuzione Gamma ( )

17 Stat / 43 Distribuzione Gamma ( ) La funzione : può essere presa come funzione di densità di probabilità dato che: –ha dominio in R e codominio in R + ; –il suo integrale è unitario; –rispetta gli assiomi di Kolmogoroff.

18 Stat / 43 Distribuzione Gamma ( ) come funzione di densità di probabilità viene chiamata distribuzione Gamma con parametri p e Una distribuzione per cui si possa adottare la

19 Stat / 43 Media e varianza della distribuzione Gamma Se X è una variabile casuale che ha distribuzione Gamma con parametri p e : si ha :

20 Stat / 43 la distribuzione chi-quadro o distribuzione di Pearson Karl Pearson ( )

21 Stat / 43 Distribuzione chi-quadro La distribuzione Gamma con parametri p = n / 2 e = 1 / 2 assume un particolare interesse: avendo indicato con ( n / 2 ) la funzione definita da:

22 Stat / 43 Distribuzione chi-quadro come funzione di densità di probabilità viene chiamata: distribuzione chi - quadro con n gradi di libertà Una distribuzione per cui si possa adottare la

23 Stat / 43 Distribuzione chi-quadro

24 Stat / 43 Media e varianza della distribuzione chi-quadro Dato che la distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà è un caso particolare della distribuzione Gamma con parametri p = n / 2 e = 1 / 2 la sua media e la sua varianza possono essere dedotte introducendo tali valori nella espressione di media e varianza della generica Gamma : ottenendo:

25 Stat / 43 Proprietà della distribuzione chi-quadro teorema 5.5: Se le variabili casuali X 1, X 2 …, X n, sono indipendenti e ciascuna ha distribuzione normale con media j e varianza 2 j con j = 1, 2, …, n, allora la variabile casuale: segue una distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà

26 Stat / 43 la somma dei quadrati di n variabili casuali indipendenti, ciascuna distribuita in modo normale standard, segue una distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà ! Proprietà della distribuzione chi-quadro corollario al teorema 5.5: Se le variabili casuali X 1, X 2 …, X n, sono indipendenti e ciascuna ha una distribuzione normale con media j e varianza 2 j con j = 1, 2, …, n, allora le variabili casuali Z 1, Z 2 …, Z n definite come : sono indipendenti e seguono una distribuzione normale standard. Ma allora si può anche affermare che:

27 Stat / 43 la distribuzione della variabile C 2 modificata

28 Stat / 43 Distribuzione chi-quadro

29 Stat / 43 Media e varianza della distribuzione chi-quadro Dato che la distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà è un caso particolare della distribuzione Gamma con parametri p = n / 2 e = 1 / 2 la sua media e la sua varianza possono essere dedotte introducendo tali valori nella espressione di media e varianza della generica Gamma : ottenendo: La distribuzione chi-quadro ha media e varianza che aumentano allaumentare di n

30 Stat / 43 La variabile C 2 Partendo da una variabile casuale 2 che segue una distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà, definiamo una nuova variabile che indichiamo C 2 : che prende il nome di variabile modificata di chi-quadro con n g.d.l. La variabile modificata di chi-quadro è quindi una variabile casuale che si ottiene dividendo una variabile casuale distribuita secondo una chi-quadro per il numero dei suoi gradi di libertà.

31 Stat / 43 La distribuzione della variabile C 2 Dato che la C 2, variabile modificata di chi-quadro, si ottiene dividendo una variabile distribuita secondo una chi-quadro per il numero dei suoi gradi di libertà, il suo valore medio e la sua varianza si possono facilmente ricavare da quelli della corrispondente 2 : ottenendo:

32 Stat / 43 La distribuzione della variabile C 2

33 Stat / 43 La distribuzione della variabile C 2 La distribuzione della varianza campionaria corretta

34 Stat / 43 Distribuzione della varianza campionaria corretta Estraendo casualmente da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X, distribuita in modo normale con media e varianza 2, un campione di n elementi a cui corrisponde linsieme di variabili casuali { X 1, X 2, …, X n } è facile vedere che la variabile casuale: segue una distribuzione normale con media nulla. Se definiamo una nuova variabile Z : possiamo affermare che essa segue una distribuzione normale standard.

35 Stat / 43 possiamo affermare che W segue una distribuzione chi-quadro con n - 1 gradi di libertà in quanto somma dei quadrati di n - 1 variabili indipendenti normali standard ( la media introduce un vincolo fra le n variabili X i ) Se ora sommiamo i quadrati delle Z 1, Z 2, …, Z n : Distribuzione della varianza campionaria corretta

36 Stat / 43 Definiamo ora una nuova variabile V : che, esplicitando S n 2, possiamo anche scrivere come: Distribuzione della varianza campionaria corretta

37 Stat / 43 Se ricordiamo che : possiamo notare che : e, ricordando che W segue una distribuzione chi-quadro possiamo affermare che anche V segue una distribuzione chi-quadro con n - 1 gradi di libertà. Distribuzione della varianza campionaria corretta

38 Stat / 43 Definiamo infine una nuova variabile che indichiamo C 2 : che risulta essere unavariabile modificata di chi-quadro con n - 1 gradi di libertà Distribuzione della varianza campionaria corretta

39 Stat / 43 La varianza campionaria corretta e la C 2

40 Stat / 43 La varianza campionaria corretta e la C 2

41 Stat / 43 Lo stimatore varianza campionaria corretta Estraendo casualmente da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X, distribuita in modo normale con media e varianza 2, un campione di n elementi a cui corrisponde linsieme di variabili casuali { X 1, X 2, …, X n } posto: si ha che la varianza campionaria corretta: –è uno stimatore corretto in quanto –è uno stimatore consistente in quanto :

42 Stat / 43 Lo stimatore varianza campionaria corretta Estraendo casualmente da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X, distribuita in modo normale con media e varianza 2, un campione di n elementi a cui corrisponde linsieme di variabili casuali { X 1, X 2, …, X n } posto: si ha che : –segue una distribuzione C 2 con n-1 gradi di libertà.

43 Stat / 43 Lo stimatore varianza campionaria corretta Il rapporto fra la varianza campionaria corretta dei campioni estratti casualmente da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X, distribuita in modo normale con media e varianza 2, e la stessa varianza 2 della X è una variabile casuale che segue una distribuzione C 2 con n-1 gradi di libertà.


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