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Problemi sui rettangoli con le incognite. Problemi tipo somma e differenza di dimensioni La somma delle 2 dimensioni di un rettangolo è 35 cm la loro.

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Presentazione sul tema: "Problemi sui rettangoli con le incognite. Problemi tipo somma e differenza di dimensioni La somma delle 2 dimensioni di un rettangolo è 35 cm la loro."— Transcript della presentazione:

1 Problemi sui rettangoli con le incognite

2 Problemi tipo somma e differenza di dimensioni La somma delle 2 dimensioni di un rettangolo è 35 cm la loro differenza è 5 cm trovare perimetro ed area del rettangolo b + h = 35 cm b – h = 5 cm Vediamo sulla figura a cosa corrisponde b - h = 5 cm Col compasso puntato su B e apertura h tracciamo un arco AF BF è uguale ad h perciò i 5 cm (il valore con cui la base supera laltezza) sarà pari a al segmento FC A cosa corrisponde b + h? Col compasso puntato su B e apertura h tracciamo un arco AE; il segmento EC è uguale a b + h 5 cm Proviamo a toglierlo, cosa succede? h Rimangono due segmenti uguali ad h EF = EC – FC cioè EF = 35 cm – 5 cm EF = h + h = 2h 2h = 35 cm – 5 cm = 30 cm h = 30 cm : 2 = 15 cm b = 15 cm + 5 cm = 20 cm 2P = (b+ h) x 2 = ( ) cm x 2 = 70 cm A = b x h = 20 cm x 15 cm = 300 cm 2

3 Problemi del tipo una dimensione supera laltra di …. La somma delle 2 dimensioni di un rettangolo è 60 cm una supera laltra di 12 cm trovare perimetro ed area del rettangolo b + h = 60 cm b = h + 12 cm Il segmento FC è esattamente la porzione di b che supera h e sarà uguale a 12 cm Col compasso puntato su B e apertura h tracciamo un arco AF A cosa corrisponde b + h? Col compasso puntato su B e apertura h tracciamo un arco AE; il segmento EC è uguale a b + h 12 cm Proviamo a toglierlo, cosa succede? h Rimangono due segmenti uguali ad h EF = EC – FC cioè EF = 60 cm – 12 cm EF = h + h = 2h 2h = 60 cm – 12 cm = 48 cm h = 48 cm : 2 = 24 cm b = 24 cm + 12 cm = 36 cm 2P = (b + h) x 2 = ( ) cm x 2 = 120 cm A = b x h = 36 cm x 24 cm = 864 cm 2

4 ….. Ma sono uguali!!!! I due problemi che abbiamo appena visto sono perfettamente identici anche se sono scritti in forma diversa Posso scrivere che la somma delle dimensioni di un rettangolo è di 26 cm e la loro differenza è di 6 cm Ma anche la somma delle dimensioni di un rettangolo è di 26 cm e una supera laltra di 6 cm Non cambia assolutamente nulla!!! b + h = 26 cm b – h = 6 cm 6 cm 2 h = 26 cm – 6 cm = 20 cm h = 20 cm : 2 = 10 cm b = 10 cm + 6 cm = 16 cm 10 cm

5 ….variante col perimetro Se abbiamo il perimetro come dato dobbiamo semplicemente dividerlo per 2, in questo caso otteniamo il semiperimetro che altro non è che la somma delle due dimensioni Il perimetro di un rettangolo è di 120 cm, e la differenza delle sue dimensioni è di 20 cm. Trovare larea del rettangolo 20 cm P = 2P : 2 = 120 cm : 2 = 60 cm b + h = 60 cm b – h = 20 cm 2 h = 60 cm – 20 cm = 40 cm h = 40 cm : 2 = 20 cm b = h + 20 cm = ( ) cm = 40 cm A = b x h = 20 x 40 cm 2 = 800 cm 2

6 Problemi La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 84 cm una supera laltra di 18 cm trovare perimetro ed area La somma della base e dellaltezza di un triangolo è di 324 cm, la base supera laltezza di 38 cm trovare perimetro ed area La somma della base e dellaltezza di un rettangolo è di 129 cm, la loro differenza è di 65 cm trovare perimetro ed area La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 145 m la loro differenza è di 47 m. trovare perimetro ed area

7 Problemi del tipo la somma di due dimensioni è …. una multipla di unaltra La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 44 cm una è il triplo dellaltra. Trovare larea Col compasso puntiamo in B e con apertura h tracciamo larco AE b + h = 44 cm b = 3h Il segmento EC sarà uguale alla somma delle due dimensioni Se osserviamo attentamente vediamo che EC può essere suddivisa in 4 parti uguali ad h h h Questo significa che b + h può essere suddivisa in 4 parti uguali ad h perciò 4 h = 44 cm 4 h = 44 cm; h = 44 cm : 4; h = 11 cm b = 3 x h = 3 x 11 cm = 33 cm A = b x h = 33 cm x 11 cm = 363 cm

8 Osserviamo i seguenti casi La somma delle due dimensioni è 33 cm una è il doppia dellaltra b = 2h EC = 3 h EC = 33 cm EC = 3 h 3h = 33 cm : 3 = 11 cm hh h La somma delle due dimensioni è di 48 cm una è il triplo dellaltra b = 3h EC = 4h EC = 48 cm EC = 4 h 4h = 48 cm h = 48 cm : 4 = 12 cm La somma delle due dimensioni è di 60 cm, una è il quadruplo dellaltra b = 4 h EC = 5h hh h h h hhhh EC = 60 cm EC = 5 h 5h = 60 cm h = 60 cm : 5 h = 12 cm Come possiamo vedere per trovare una dimensione basta dividere la somma delle dimensioni per «una unità superiore a quella del multiplo» Infatti seb + h = 60 cm b = 3 h sostituiamo 3 h + h = 60 cm; 4 h = 60 cm

9 …. varianti col perimetro Se abbiamo il perimetro come dato dobbiamo semplicemente dividerlo per 2, in questo caso otteniamo il semiperimetro che altro non è che la somma delle due dimensioni Il perimetro di un rettangolo è di 90 cm, e una dimensione è il doppio dellaltra. Trovare larea del rettangolo P = 2P : 2 = 90 cm : 2 = 45 cm b + h = 45 cm b = 2h 3 h = 45 cm h = 45 cm : 3 = 15 cm b = 2 x h = 15 cm x 2 = 30 cm A = b x h = 15 x 30 cm 2 = 450 cm 2 h

10 Problemi del tipo la somma di due dimensioni è …. una supera di …. il multiplo dellaltra La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 61 cm, una supera di 13 cm il triplo dellaltra. Trovare larea Col compasso puntiamo in B e con apertura h tracciamo larco AE b + h = 61 cm b = 3h + 13 cm Il segmento EC sarà uguale alla somma delle due dimensioni Se osserviamo attentamente vediamo che EC può essere suddivisa in 4 parti uguali ad h più un pezzo che misura 13 cm h h 13 cm Se io tolgo questo pezzo ottengo una lunghezza che sarà il triplo della dimensione più piccola In pratica io ho che: h + b = 4h + 13 cm = 61 cm Da cui ricavo che 4h = 61 cm – 13 cm = 48 cm h = 48 cm : 4 = 12 cm b = 3h + 13 cm sostituiamo b = 3 x 12 cm + 13 cm = 36 cm + 13 cm = 49 cm A = b x h = 12 cm x 49 cm = 588 cm 2

11 Problemi La somma delle due dimensioni di un rettangolo è 45 cm, una è il doppio dellaltra. Trovare larea del rettangolo La somma della base e dellaltezza di un rettangolo è 144 cm. Laltezza è il triplo della base. Trovare larea La somma della dimensioni di un rettangolo è di 91 cm, una dimensione è il sestuplo dellaltra. Trovare larea del rettangolo La base e laltezza di un rettangolo sono una il doppio dellaltra. La loro somma è di 96 cm. Trovare larea. La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 149 cm, una supera di 13 cm il triplo dellaltra. Trovare larea

12 Problemi del tipo la differenza di due dimensioni è …. una multipla di unaltra La differenza delle dimensioni di un rettangolo è di 44 cm una è il triplo dellaltra. Trovare perimetro ed area b – h = 44 cm b = 3h Col compasso puntiamo in B e con apertura h tracciamo larco AE Per definizione BE = h h A questo punto EC sarà proprio la differenza fra b ed h Se prima BC era formato da tre segmenti uguali ad h, ora, dopo la sottrazione, ne resteranno solo 2 hh EC = b – h EC = 2h 2h = 44 cm h = 44 cm : 2 = 22 cm b = h x 3 Sostituisco ad h il suo valore b = 22 cm x 3 = 66 cm 2P = (b + h) x 2 = ( ) cm x 2 2P = 88 cm x 2 = 176 cm A = b x h = 22 x 66 cm 2 = 1452 cm 2

13 Osserviamo i seguenti casi La differenza delle due dimensioni è 33 cm una è il doppia dellaltra b = 2h EC = h EC = 33 cm h = 33 cm b = 33 cm x 2 = 66 cm La differenza delle due dimensioni è di 48 cm una è il triplo dellaltra b = 3h EC = 2h EC = 48 cm EC = 2 h 2h = 48 cm h = 48 cm : 2 = 24 cm La differenza delle due dimensioni è di 60 cm, una è il quadruplo dellaltra b = 4 h EC = 3h EC = 60 cm EC = 3 h 3h = 60 cm h = 60 cm : 3 h = 20 cm Come possiamo vedere per trovare una dimensione basta dividere la differenza delle dimensioni per «una unità inferiore a quella del multiplo» Infatti seb – h = 60 cm b = 3 h sostituiamo 3 h – h = 60 cm; 2 h = 60 cm hh h hh h hhh

14 Problemi La differenza delle due dimensioni di un rettangolo è 45 cm, una è il doppio dellaltra. Trovare perimetro ed area del rettangolo La differenza della base e dellaltezza di un rettangolo è 144 cm. Laltezza è il triplo della base. Trovare perimetro ed area La differenza delle dimensioni di un rettangolo è di 91 cm, una dimensione è il sestuplo dellaltra. Trovare perimetro ed area del rettangolo La base e laltezza di un rettangolo sono una il doppio dellaltra. La loro differenza è di 96 cm. Trovare perimetro ed area.

15 Problemi del tipo la somma di due dimensioni è… una è una frazione di unaltra La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 104 cm una è i 3/5 dellaltra. Trovare larea del rettangolo Analizziamo la situazione che propone il problema, la dimensione maggiore viene divisa in 5 parti uguali mentre quella minore è lunga quanto 3 di queste parti Col compasso puntiamo in B e con apertura h tracciamo larco AE Il segmento EC sarà uguale alla somma delle due dimensioni Se osserviamo attentamente vediamo che EC può essere suddivisa in 8 parti uguali ad Questo significa che b + h può essere suddivisa in 8 parti uguali ad perciò 8 = 104 cm = 104 cm : 8 = 13 cm h è costituita da 3 perciò: h = 13 cm x 3 = 39 cm b è costituita da 5 perciò: h = 13 cm x 5 = 65 cm A = b x h = 13 x 65 cm2 = 845 cm 2

16 …. varianti col perimetro Il perimetro di un rettangolo è di 216 cm, e la base è i 4/5 dellaltezza. Trovare larea del rettangolo Il segmento EC = b + h altro non è che il semiperimetro e questo risulta suddiviso in 9 EC = P = 2P : 2 = 216 cm : 2 = 108 cm 9 = 108 cm = 108 cm : 9 = 12 cm Con b = 4 e h = 5 b = 4 x = 4 x 12 cm = 48 cm h = 5 x = 5 x 12 cm = 60 cm

17 Problemi Il perimetro di un rettangolo è di 210 cm; laltezza è i 2/5 della base. Trovare larea La somme delle dimensioni di un rettangolo è di 234 cm, laltezza è i 5/8 della base. Trovare larea del rettangolo La somma delle dimensioni di un rettangolo vale 854 cm, una è i 3/11 dellaltra. Trovare larea del rettangolo Il perimetro di un rettangolo è di 960 dm, laltezza è i 7/8 della base. Trovare larea del rettangolo

18 Problemi del tipo la differenza di due dimensioni è… una è una frazione di unaltra La differenza delle dimensioni di un rettangolo è di 104 cm una è i 3/5 dellaltra. Trovare larea del rettangolo Analizziamo la situazione che propone il problema, la dimensione maggiore viene divisa in 5 parti uguali mentre quella minore è lunga quanto 3 di queste parti Col compasso puntiamo in B e con apertura h tracciamo larco AE Il segmento EC sarà uguale alla differenza delle due dimensioni Se osserviamo attentamente vediamo che EC risulta composta di 2 sole parti uguali ad (5 - 3 = 2 ) Questo significa che b - h può essere suddivisa in 2 parti uguali ad perciò 2 = 104 cm = 104 cm : 2 = 52 cm h è costituita da 3 perciò: h = 52 cm x 3 = 156 cm b è costituita da 5 perciò: h = 52 cm x 5 = 260 cm h Perché BE, per costruzione, è uguale ad h

19 Problemi La differenza delle dimensioni di un rettangolo è di 42 cm, una dimensione è i 4/7 dellaltra, trovare perimetro ed area del rettangolo La differenza fra la base e laltezza di un rettangolo è di 160 cm. La prima è gli 8/3 della seconda. Trovare perimetro ed area del rettangolo In un rettangolo la base è i 2/9 dellaltezza, la differenza fra le due dimensioni è di 84 cm. Trovare perimetro ed area del rettangolo La differenza delle dimensioni di un rettangolo è di 12 cm, una è gli 8/9 dellaltra. Trovare perimetro ed area del rettangolo

20 Problemi del tipo larea è… una dimensione è una frazione di unaltra Larea di un rettangolo e di 2880 cm 2, una dimensione è i 4/5 dellaltra. Trova il perimetro del rettangolo Come al solito le dimensioni risultano suddivise in parti uguali a, la base 5 e laltezza 4 Però non posso trattarle come le ho trattare fino adesso perché non ho una lunghezza ma ho unarea. Devo fa riferimento ad unarea unitaria, formata un quadrato il cui lato sia A questo punto posso ottenere semplicemente facendo la radice quadrata dellarea di questo quadrato. Se moltiplico 5 x 4 (i termini del rapporto) mi rendo conto che larea può essere suddivisa in 20 quadratini unitari 5 x 4 = 20 2 A = 20 2 = 2880 cm 2 Per trovare larea di 2 debbo perciò dividere larea per 20 2 = 2880 cm 2 : 20 = 144 cm cm 2 = 144 cm 2 = 12 cm b = 12 cm x 5 = 60 cm h = 12 cm x 4 = 48 cm 2P = (b + h) x 2 = ( ) cm x 2 = 216 cm

21 problemi Un rettangolo ha larea di1690 cm 2. Le sue dimensioni sono una i 2/5 dellaltra. Trovare il perimetro del rettangolo Un rettangolo ha larea di 8092 cm 2. Le sue dimensioni sono una i 4/7 dellaltra. Trovare il perimetro del rettangolo Un rettangolo ha larea di 2904 cm 2. la base è i 3/8 dellaltezza. Trovare il perimetro del rettangolo Un rettangolo ha larea di 154,35 m 2. la base è i 7/5 dellaltezza. Trovare il perimetro del rettangolo


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