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Campi magnetici nella materia 30 ottobre 2012 Campo B nella materia Correnti di magnetizzazione, modello di Ampère Momenti angolari e magnetici dellelettrone.

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1 Campi magnetici nella materia 30 ottobre 2012 Campo B nella materia Correnti di magnetizzazione, modello di Ampère Momenti angolari e magnetici dellelettrone Teorema di Larmor Momento magnetico atomico indotto e permanente Diamagnetismo, paramagnetismo, ferromagnetismo Intensità di magnetizzazione M, campo H Eqq. di Maxwell nella materia Campi sulla superficie di separazione tra due materiali Campi B e H in un magnete permanente e in un elettromagnete

2 2 Campo B nella materia Consideriamo un circuito percorso da corrente nel vuoto, che generi un campo induzione magnetica B 0 (r) Il circuito venga poi immerso in una sostanza, che supporremo per semplicità omogenea e isotropa, il campo induzione magnetica generato sia ora B(r) Il rapporto è una grandezza adimensionale detta permeabilità magnetica relativa (al vuoto) della sostanza considerata Se la sostanza è omogenea r è uno scalare uniforme nello spazio, altrimenti dipende dalla posizione spaziale r (r) Se la sostanza non è isotropa r non è uno scalare ma un tensore

3 3 Permeabilità magnetica Si introduce anche la grandezza detta permeabilità magnetica della sostanza considerata, avente le stesse dimensioni fisiche della permeabilità del vuoto 0

4 4 Campo B nella materia Il campo B si può infatti calcolare per mezzo della prima formula di Laplace, sostituendo 0 con Inoltre la forza che tale campo esercita su un circuito immerso in esso si trova introducendo tale campo nella seconda formula di Laplace A parità di circuiti elettrici e correnti che li percorrono, la presenza di un mezzo altera il valore del campo da essi generato Se il mezzo è omogeneo, isotropo e riempie tutto lo spazio, tale variazione è assai semplice

5 5 Magnetizzazione La presenza del mezzo provoca una variazione del modulo di B pari a Ove si è introdotta la suscettibilità magnetica In un mezzo è come se oltre alle correnti presenti nei circuiti che generano il campo B 0 ci fosse una corrente aggiuntiva che genera un campo B mag = B 0 : Questa corrente non è fittizia, ma dovuta alla comparsa nel mezzo di correnti di origine atomica, generate a loro volta dalle correnti che producono il campo B 0 Tali correnti si chiamano correnti di magnetizzazione Nonostante la grande complessità della struttura della materia, è possibile sviluppare il magnetismo nella materia in modo coerente e semplice

6 6 Magnetizzazione, modello di Ampère La magnetizzazione della materia è dovuta a correnti microscopiche allinterno della materia stessa Queste correnti sono dovute al moto orbitale degli elettroni allinterno dellatomo e al loro spin Il modello suppone che questi moti siano equivalenti a microscopiche spire percorse da corrente (vedi il teorema di equivalenza di Ampère)

7 7 Momento magnetico orbitale dellelettrone Per semplicità usiamo un modello classico per rappresentare il moto di un elettrone in un atomo Lelettrone percorrerà unorbita circolare di raggio R e area A in un tempo T, moto che produce una corrente e un momento magnetico orbitale Tale momento è dellordine di grandezza di un magnetone di Bohr

8 8 Momento magnetico orbitale dellelettrone Introducendo il momento angolare orbitale l il momento magnetico è m orb risulta opposto in verso a l, a causa della carica negativa dellelettrone Tale calcolo non è quantisticamente corretto, ma il risultato è corretto

9 9 Momento magnetico intrinseco dellelettrone Oltre al momento angolare orbitale l, lelettrone possiede un MA intrinseco s (o spin) indipendente dal moto orbitale Tale momento non è descrivibile classicamente, ma solo quantisticamente Per visualizzare il fenomeno si immagina lelettrone come una sfera che ruota su se stessa Essendo lelettrone carico in tal modo si giustifica la comparsa del momento magnetico intrinseco

10 10 Momento magnetico Siccome ogni mezzo materiale è costituito di atomi (o molecole), per trovare il momento magnetico totale di una quantità macroscopica di materia, dobbiamo sommare (vettorialmente) tutti i momenti atomici Il momento atomico è, a sua volta, la somma (vettoriale) di tutti i momenti magnetici orbitali e intrinseci dei suoi elettroni (bisogna usare la meccanica quantistica) Basterà dire che alcuni di questi momenti si elidono tra loro a coppie, per cui in atomi con un numero pari di elettroni il momento risultante potrà, in generale, annullarsi, mentre per un numero dispari di elettroni il momento magnetico atomico sarà diverso da zero

11 11 Momento magnetico a) assenza di campo induzione magnetica esterno: –Nel caso in cui i momenti atomici siano nulli, sarà nullo anche il momento totale –Nel caso in cui i momenti atomici non siano nulli il momento totale è generalmente ancora nullo in quanto i momenti elementari sono orientati a caso e in media la loro somma è zero

12 12 Momento magnetico b) presenza di campo induzione magnetica esterno Indichiamo con B* la somma del campo induzione magnetica B 0 dovuto ai circuiti elettrici percorsi da corrente e del campo dovuto alle molecole del mezzo, con lesclusione di quello della molecola stessa: B* è quindi il campo in cui la molecola che stiamo indagando è immersa Lazione di B* produce un momento magnetico dovuto al primo o a entrambi dei seguenti fenomeni: –1) comparsa di un momento magnetico indotto, dovuto alla precessione di Larmor, che riguarda tutte le molecole –2) orientazione delle molecole che posseggono un momento magnetico permanente, nella direzione del campo esterno

13 13 1) Teorema di Larmor Non lo dimostreremo rigorosamente (bisognerebbe usare la meccanica quantistica) Se si immerge il materiale in un campo induzione magnetica, la velocità angolare orbitale degli elettroni ( 0 in assenza di campo) cambia per una quantità (precessione di Larmor)

14 Dimostrazione classica Consideriamo un modello classico molto semplice: un elettrone che percorre unorbita circolare nel campo coulombiano del nucleo in assenza di campo magnetico Leq. del moto e` Da cui si ricava la velocita` angolare Il segno indica i due possibili versi di rivoluzione Se ora accendiamo il campo, dobbiamo aggiungere la forza di Lorentz e leq. del moto diventa 14

15 Dimostrazione classica Affinche leq. sia soddisfatta occorre che la velocita` angolare soddisfi lequazione di 2 o grado ove si e` definita la frequenza di Larmor Leq. ha le soluzioni 15 B r v FLFL 0 L B r v FLFL 0 L

16 Dimostrazione classica La soluzione corrisponde ad un aumento del modulo della velocita` angolare La soluzione corrisponde ad una diminuzione del modulo della velocita` angolare In entrambi i casi compare una velocita` angolare aggiuntiva, equiversa al campo 16 B r v FLFL 0 L B r v FLFL 0 L

17 17 1) Momento indotto Per un elettrone immerso in un campo B, la precessione di Larmor è associabile ad una corrente elettronica aggiuntiva (positiva o negativa) rispetto a quella dovuta al moto in assenza di campo ed a un momento magnetico, il cui modulo e` e il cui verso e` opposto a e quindi e` sempre opposto al campo

18 18 1) Diamagnetismo Queste correnti elettroniche orbitali aggiuntive, sono dette correnti di magnetizzazione o amperiane N.B. Le correnti elettroniche non comportano alcun effetto Joule Queste correnti sono distribuite nel volume e sulla supeficie del materiale Questo fenomeno è detto diamagnetismo ed è comune a tutti i materiali Non dipende da T È evidente nelle sostanze prive di momenti magnetici atomici permanenti

19 19 1) Momento indotto Una quantità macroscopica di materiale contiene un gran numero N di molecole orientate diversamente Possiamo allora definire il momento magnetico indotto totale del materiale e medio delle molecole come

20 20 1) Campo magnetico totale I momenti indotti generano un campo induzione magnetica che va a diminuire il campo esterno B 0, poiché essi sono sempre opposti a questultimo Questo fatto si puo` esprimere dicendo che la suscettivita` magnetica di una sostanza diamagnetica e` negativa (ovvero r <1) E quindi il campo risultante e` minore del campo in assenza di materia

21 21 2) Momento permanente Per molecole dotate di momento magnetico permanente, avviene il fenomeno di orientamento del momento lungo la direzione del campo esterno (magnetizzazione per orientamento) Allazione orientatrice del campo si oppone lagitazione termica che tende a disorientare le molecole in tutte le direzioni Allequilibrio termico, le molecole disposte nel verso del campo sono un po più numerose delle altre Questo fenomeno è detto paramagnetismo

22 22 2) Momento permanente Una quantità macroscopica di materiale contiene un gran numero N di molecole orientate diversamente Possiamo allora definire il momento magnetico permanente totale del materiale e medio delle molecole come

23 23 2) Campo magnetico totale In questo caso il campo induzione magnetica generato dal materiale va ad aumentare il campo esterno B 0 Questo si puo` esprimere dicendo che la suscettivita` magnetica di una sostanza paramagnetica e` positiva (ovvero r >1) E quindi il campo risultante e` maggiore del campo in assenza di materia

24 24 2) Paramagnetismo Il paramagnetismo è dovuto ai dipoli magnetici atomici, prodotti dalle correnti elettroniche orbitali e di spin (correnti amperiane) Anche nelle sostanze paramagnetiche è presente il diamagnetismo Però è più che compensato dal paramagnetismo dovuto ai momenti magnetici atomici permanenti

25 25 2) Confronto fra energia magnetica e termica Lanalisi statistica dellorientamento dei momenti molecolari si basa sul confronto tra la differenza di energia tra i due stati estremi in cui i dipoli possono trovarsi e lenergia termica media A temperatura ambiente lenergia magnetica è piccola rispetto allenergia termica e per conseguenza il numero di dipoli orientati nel verso del campo sarà solo di poco superiore a quello di dipoli orientati in verso opposto Quindi la variazione di campo induzione magnetica dovuta al paramagnetismo è generalmente piccola Per aumentarla è necessario andare a basse temperature

26 26 2) Confronto fra energia magnetica e termica Energia magnetica del dipolo è dellordine di Il valore tipico del momento di dipolo magnetico è In un campo intenso (1 T) otteniamo

27 27 2) Confronto fra energia magnetica e termica Energia termica di un atomo è dellordine di A temperatura ambiente (300 K) otteniamo Cioè più di due ordini di grandezza maggiore dellenergia magnetica Forti magnetizzazioni sono possibili solo a basse temperature

28 28 Magnetizzazione M Detto M il momento magnetico totale Definiamo (lintensità di) magnetizzazione M come il momento magnetico per unità di volume Se il momento magnetico del materiale non è uniforme, bisogna usare la definizione differenziale Dimensioni Unità

29 29 2) Paramagnetismo In campi deboli M è proporzionale al campo e inversamente proporzionale a T (legge di Curie) In campi molto forti M tende al valore di saturazione M s (indipendente dal campo) Magnetizzazione in funzione del campo B 0 esterno M B0B0 MsMs

30 30 Diamagnetismo Paramagnetismo

31 31 Ferromagnetismo È presente in un numero limitato di elementi (o loro leghe): ferro, cobalto, nichel, gadolinio, disprosio È dovuto allallineamento dei momenti magnetici atomici Un debole campo B 0 esterno è capace di produrre un altro grado di allineamento dei momenti magnetici atomici Il campo B indotto può essere migliaia di volte più forte di quello esterno Questo allineamento può persistere anche dopo che è stato soppresso il campo esterno: magnetizzazione residua

32 32 Ferromagnetismo Il materiale è costituito da un insieme di domini (domini di Weiss) al cui interno i dipoli si allineano parallelamente fra loro lungo una direzione preferenziale La direzione dei domini varia invece da dominio a dominio Sotto linfluenza del campo esterno alcuni dipoli al confine tra domini cambiano orientazione, aumentando lestensione dei domini allineati al campo a spese di quelli non allineati Esiste una temperatura critica al di sopra della quale lagitazione termica è abbastanza grande da sopprimere questo allineamento: temperatura di Curie (per il ferro vale 1043 K) Le sostanze diventano allora paramagnetiche

33 33 Ferromagnetismo Prendiamo ferro ricotto, con M=0 e aumentiamo il campo B esterno partendo da 0 (punto O) Lappiattimento della curva vicino ad A indica che M tende ad un valore di saturazione M s M B0B0 A MsMs O

34 34 Ferromagnetismo Se ora diminuiamo B 0 e lo portiamo a 0, M non ritorna a 0 La variazione dei domini di Weiss non è completamente reversibile Il valore di M quando B 0 è 0 è detto magnetizzazione residua M r ed è il principio fisico del magnete permanente Se si diminuisce ancora B 0 (valori negativi), M diminuisce e si annulla nel punto C per un valore del campo B c detto campo di coercizione C M B0B0 A MsMs O BcBc MrMr

35 35 Ferromagnetismo Diminuendo B 0 ulteriormente si arriva alla saturazione nel verso opposto (punto D) Se ora aumentiamo il campo, M non seguirà la curva già percorsa ACD, ma ne percorrerà unaltra DCA formando complessivamente un ciclo chiuso, il ciclo di isteresi M dipende quindi dalla storia precedente della sostanza: non è legata a B 0 da una relazione semplice C D M B0B0 A -M s O C

36 36 Ferromagnetismo Larea racchiusa dal ciclo di isteresi è proporzionale allenergia dissipata nella trasformazione irreversibile magnetizzazione/smagnetizzazione Materiali dolci –larea del ciclo (e la perdita di energia) è piccola, M residua è piccola –Questi materiali sono usati per i nuclei dei trasformatori per evitare di avere grandi perdite di energia quando B varia alternativamente Materiali duri –la perdita del ciclo è grande, M residua è grande –Questi materiali sono usati per costruire magneti permanenti

37 37 Relazione tra M e correnti amperiane Consideriamo un caso semplice: supponiamo che la sostanza in esame abbia forma di cilindro, inserito in un solenoide percorso da corrente La sostanza si magnetizza con i momenti magnetici microscopici allineati col campo B 0 Se la magetizzazioine è omogenea, i momenti atomici e quindi le correnti amperiane sono ovunque uguali Correnti contigue si elidono a vicenda: allinterno del cilindro lintensità totale di corrente è zero Sulla superficie questa elisione non avviene: ne risulta una corrente macroscopica sulla superficie della sostanza (corrente di magnetizzazione o amperiana) B0B0 m m

38 38 Una fetta del cilindro, con sezione perpendicolare allasse, può essere assimilata ad una spira di area A, altezza dz e corrente di il cui momento magnetico è La magnetizzazione è il momento magnetico per unità di volume e risulta uguale allintensità di corrente amperiana per unità di lunghezza di mag dz A Relazione tra M e correnti amperiane

39 39 Allesterno del cilindro M è nulla, in quanto, ovviamente, non cè materia che possa magnetizzarsi Inoltre M è diretta lungo lasse, in quanto deriva da vettori m tutti orientati allo stesso modo Relazione tra M e correnti amperiane

40 40 Circuitazione di M Calcoliamo la circuitazione di M lungo il rettangolo ABCD I tratti AB, BC, CD danno contributo nullo poiché M è parallelo allasse ed è nullo fuori dal cilindro Ne segue M AB CD La circuitazione di M è dunque uguale alle correnti di magnetizzazione del materiale Si puo` dimostrare che questo e` un risultato generale

41 41 Circuitazione di M La relazione tra M e le correnti di magnetizzazione ci permette di estendere la legge di Ampère in presenza di materia A tal fine riscriviamo tale legge inserendo oltre alle correnti circolanti nei conduttori elettrici, che generano il campo B 0, anche le correnti di magnetizzazione che generano il campo B mag : in totale otterremo il campo B ovvero:

42 42 Circuitazione di M Data larbitrarieta` della linea di circuitazione ne segue E poiche Abbiamo e anche Dalleq. delle circuitazioni si deduce la forma differenziale:

43 43 Campo H Dallequazione: dividendo entrambi i membri per 0 e sostituendo la relazione tra M e J mag : Otteniamo Introducendo il vettore campo magnetico si ottiene leq. Cioè il rotore di H dipende solo dalle correnti di conduzione e non da quelle di magnetizzazione

44 44 Campo B nella materia Nelle sostanze paramagnetiche e ferromagnetiche M ha lo stesso verso di B 0 In quelle diamagnetiche ha verso opposto Nelle sostanze para- e dia- M è proporzionale a B 0 (se questo è abbastanza piccolo) Dove è la suscettività magnetica

45 45 Campo B nella materia Diamagnetismo: r < 1 – è una piccola costante negativa indipendente dalla temperatura Paramagnetismo: r > 1 – è una piccola costante positiva che dipende dalla temperatura Ferromagnetismo: r >> 1 – è una funzione di B 0 che dipende dalla temperatura e dallo stato precedente di magnetizzazione. Assume valori molto elevati ( ) –Formalmente si può scrivere anche in questo caso

46 46 Campo B nella materia Il campo B allinterno della materia risulta proporzionale al campo nel vuoto tramite la permeabilità magnetica relativa Lequazione è simile a quella per il campo E nella materia

47 47 Relazioni tra B, M e H Eliminando M dalle relazioni otteniamo

48 48 Campi nella materia Come nel caso elettrico è stato introdotto il campo ausiliario spostamento elettrico D così nel caso magnetico abbiamo introdotto il campo ausiliario magnetico H Questi campi non servono nel vuoto, ma sono utili nello studio delle proprietà e.m. della materia

49 49 Eqq. di Maxwell nella materia Le equazioni di Maxwell si riscrivono così Ove per carica deve intendersi solo quella libera sui conduttori e non quella di polarizzazione e per corrente deve intendersi solo quella circolante nei circuiti elettrici e non quella di magnetizzazione

50 Superfici di separazione Come nel caso elettrico, dalle equazioni possiamo dedurre che nel passaggio da un mezzo allaltro la componente normale di B e tangenziale di H si conservano Esprimendo la seconda eq. in termini di B 50

51 1 2 B2B2 B1B1 n 1 2 Rifrazione delle linee di campo Detti 1 e 2 gli angoli che i vettori B 1, B 2 formano con la normale n, abbiamo Facendone il rapporto La direzione delle linee di campo, passando da un materiale allaltro, subisce una variazione discontinua Questo fenomeno prende il nome di rifrazione delle linee di campo 51

52 2 1 B1B1 B2B2 Rifrazione delle linee di campo Se il mezzo 1 è ferromagnetico mentre il mezzo 2 è aria, il rapporto è dellordine delle migliaia. Ne segue che Ovvero tg 1 è molto grande e quindi 1 è prossimo a /2, anche se 2 è piccolo Ciò significa che le linee del campo B internamente al ferromagnete corrono quasi parallele alla superficie, vengono cioe` praticamente catturate nel materiale Questo fenomeno e` molto importante perche permette di concentrare le linee di B e quindi di aumentarne il flusso 52

53 Campo magnetico di un magnete permanente Consideriamo un anello magnetizzato con lunghezza l 1 di aria e l 2 di ferro Applichiamo la proprietà del campo H: ove C è la curva tratteggiata Per luniformità del campo in ciascun mezzo, avremo 53

54 Campo magnetico di un magnete permanente Ne segue che H 1 e H 2 hanno segno opposto cioè il campo magnetico subisce una discontinuità passando da un mezzo allaltro Linduzione magnetica B assume invece lo stesso valore nei due mezzi Ricordando che possiamo riscrivere leq. precedente 54

55 Campo magnetico di un magnete permanente Supposto che la curva di magnetizzazione della calamita sia la seguente Leq. precedente rappresenta una retta di coefficiente angolare H2H2 B 55

56 Campo magnetico di un magnete permanente Lintersezione tra la retta e la curva ci fornisce sia il valore di B nel circuito magnetico, che il valore H 2 nel ferro H2H2 B E il campo H in aria è dato da 56

57 Campo magnetico di un elettromagnete Consideriamo un elettromagnete ad anello con lunghezza l 1 di aria e l 2 di ferro Applichiamo la proprietà del campo H: ove C è la curva tratteggiata Per luniformità del campo in ciascun mezzo, avremo 57

58 Campo magnetico di un elettromagnete Esprimendo il campo H in termini di B: Ove si è tenuto conto che linduzione magnetica B assume lo stesso valore nei due mezzi Poiché per il ferro è molto più grande che per laria, si può scrivere ovvero 58


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