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Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 1 Guido Buzzi-Ferraris.

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Presentazione sul tema: "Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 1 Guido Buzzi-Ferraris."— Transcript della presentazione:

1 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 1 Guido Buzzi-Ferraris

2 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 2 Guido Buzzi-Ferraris Libri di testo Le lezioni sono estratte dal libro: Metodi numerici e Software in C++ Addison-Wesley Le esercitazioni sono estratte dal libro: Visual C++ Applicazioni scientifiche Mondadori Informatica Il mio sito webb dove potrete trovare le librerie BzzMath e i file delle lezioni:

3 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 3 Guido Buzzi-Ferraris Introduzione

4 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 4 Guido Buzzi-Ferraris Rappresentazione di un fenomeno fisico su calcolatore

5 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 5 Guido Buzzi-Ferraris K Colonna di distillazione Scambiatore M Reattore Si supponga di voler simulare su calcolatore un fenomeno fisico Il fenomeno che si desidera simulare può essere di qualsiasi tipo. Molto spesso in Ingegneria Chimica può trattarsi di unapparecchiatura, per esempio La prima cosa che è necessario fare è scrivere le equazioni matematiche che ne permettano la simulazione. Questa fase viene indicata come quella di scrivere il modello matematico del fenomeno fisico. Sia il modello originale che quello semplificato non possono essere implementati tal quale su di un calcolatore. Spesso il modello richiede alcune semplificazioni perché nella sua veste originale è troppo complicata Il modello matematico spesso deve essere semplificato. Il metodo di calcolo deve essere poi essere trasformato in algoritmo. Infine lalgoritmo deve essere implementato in un programma di calcolo. Se per esempio il modello è costituito da un sistema di equazioni algebriche bisogna proporre un metodo di calcolo adatto alla soluzione di sistemi algebrici. Si deve proporre un metodo di calcolo per la soluzione dei problemi numerici posti dal modello matematico.

6 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 6 Guido Buzzi-Ferraris Esempio in Ingegneria Chimica F V L z 1,.. z M y 1,.. y M x 1,.. x M T, P Q Una miscela con portata molare costante F e frazioni molari z i (i = 1, M) è in condizioni di equilibrio in un contenitore mantenuto ad una pressione costante P. Trovare la temperatura di inizio di ebollizione di una miscela liquido-vapore ideale.

7 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 7 Guido Buzzi-Ferraris Promemoria Quando si effettua un bilancio si usa sempre la seguente regola generale: Accumulation = In – Out + Generation Se il sistema è stazionario In – Out + Generation = 0 Se non cè reazione Accumulation = In – Out

8 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 8 Guido Buzzi-Ferraris Bilancio Materiale per il componente i: Vy i + Lx i = Fz i Bilancio Materiale: V + L = F Equilibrio componente i: y i - k i x i = 0 Stechiometrica: Pressione P, portata F e composizione z i alimentazione assegnate. F V L z 1,.. z M y 1,.. y M x 1,.. x M T, P Q Bilancio Energetico: V H + L h + Q = F HF Si isola lapparecchiatura e si scrivono le equazioni che legano fra loro le variabili

9 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 9 Guido Buzzi-Ferraris Quesito Sarebbe corretto parlare di bilancio termico invece di bilancio energetico?

10 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 10 Guido Buzzi-Ferraris Con M componenti si hanno 2M + 3 equazioni nelle incognite: V, L, T, x i, y i. Nelle equazioni compaiono le seguenti funzioni che devono essere note: Costanti di equilibrio: k i = k i (T,P,x,y) Entalpia del vapore: H = H(T,P,y) Entalpia del liquido: h = h(T,P,x)

11 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 11 Guido Buzzi-Ferraris k i = k i (T, P) Se la miscela è ideale le costanti k di equilibrio non dipendono dalla composizione: Il punto di bolla si calcola ponendo nel precedente sistema V = 0. Il sistema diventa: Bilancio Materiale L = F Bilancio Materiale per il componente i: x i = z i Stechiometrica: Equilibrio componente i: y i = k i x i Il problema si riduce perciò alla ricerca dello zero della funzione: Bilancio Energetico: Q = F HF - V H - L h

12 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 12 Guido Buzzi-Ferraris Il metodo di calcolo deve essere poi essere trasformato in algoritmo. Infine lalgoritmo deve essere implementato in un programma di calcolo. Si deve proporre un metodo di calcolo per la ricerca dello zero di una funzione. Abbiamo così trovato il modello matematico del fenomeno fisico.

13 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 13 Guido Buzzi-Ferraris Promemoria Che cosa è un algoritmo?

14 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 14 Guido Buzzi-Ferraris Un algoritmo è un procedimento costituito da una sequenza di operazioni elementari e non ambigue che prescrive il modo di calcolare la soluzione di un problema a partire da eventuali dati assegnati.

15 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 15 Guido Buzzi-Ferraris Esempio Si debba calcolare il valore di y y = a + bx + cx 2 date tutte le altre grandezze. Primo algoritmo y = c * x y = (y + b) * x y = y + a Secondo algoritmo y = a + b * x y = y + c * x * x Richiede 2 moltiplicazioni e 2 somme Richiede 3 moltiplicazioni e 2 somme

16 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 16 Guido Buzzi-Ferraris Osservazioni Un algoritmo viene scritto in un linguaggio standard che emula il comportamento dei vari linguaggi (C, C++, FORTRAN, Pascal, Basic ecc.) usati per scrivere un programma reale su calcolatore. Le prime volte si può rimanere perplessi di fronte ad espressioni come: y = y + a Il significato di questa espressione non è quello della solita algebra! Essa significa: il valore memorizzato nella variabile y viene sommato al valore di a e il risultato va a sostituire il vecchio valore della variabile y.

17 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 17 Guido Buzzi-Ferraris Un problema numerico può essere risolto con più di un metodo di calcolo. Per risolvere un problema numerico si dovrà perciò scegliere: Un metodo di calcolo può essere trasformato in più di un algoritmo. Un algoritmo può essere implementato su calcolatore usando diversi linguaggi di programmazione. 1. I metodi di calcolo migliori. 2. Per ognuno di essi gli algoritmi migliori. 3. Il modo migliore di trasformare gli algoritmi in programma di calcolo Promemoria

18 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 18 Guido Buzzi-Ferraris Scopo di questo corso è quello di introdurvi alle motivazioni che stanno alla base di questa triplice scelta.

19 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 19 Guido Buzzi-Ferraris Promemoria Nei calcoli eseguiti con il calcolatore giocano un ruolo fondamentale gli errori di arrotondamento

20 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 20 Guido Buzzi-Ferraris Prima conseguenza Alcune proprietà valide in analisi classica (senza errori di arrotondamento) non risultano più valide quando i calcoli sono eseguiti con il calcolatore Esempio In analisi classica è equivalente scrivere un sistema lineare nella forma Ax = b oppure: x = A -1 b In analisi numerica non è equivalente ricavare x risolvendo il sistema lineare o eseguendo il prodotto fra la matrice inversa e il vettore b.

21 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 21 Guido Buzzi-Ferraris Breve parentesi sullargomento Come imparare a imparare

22 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 22 Guido Buzzi-Ferraris Volutamente nelle due precedenti diapositive ho introdotto alcune nozioni che, ne sono quasi certo, per alcuni di voi richiederebbero delle delucidazioni. Per esempio che cosa sono gli errori di arrotondamento? Oppure siete sicuri di ricordare bene lalgebra lineare o che cosa è una matrice inversa? La regola numero uno per imparare una nuova materia è quella di partecipare attivamente alle lezioni. E come mi aspettavo nessuno mi ha chiesto spiegazioni. Questo è un grave errore

23 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 23 Guido Buzzi-Ferraris Il modo migliore per partecipare attivamente ad una lezione è quello di fare domande. Ricordate che uno dei più gravi errori fatto da alcuni filosofi errore che risale a Bacone è quello di credere che per imparare bisogna semplicemente aprire la mente dopo averla liberata da tutti i pregiudizi Una buona notizia! Chi farà più domande utili riceverà in premio 2 punti in più allesame Wooka: Se vuoi crescere fai domande e pretendi risposte

24 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 24 Guido Buzzi-Ferraris Vi è però un problema. Non sempre cè qualcuno che sia in grado di chiarirvi qualche dubbio per esempio quando state studiando su di un libro. Il problema può essere più sottile. Non sempre è possibile chiarire completamente i vostri dubbi in quel preciso momento. Per imparare una nuova materia bisogna muoversi come su di una spirale passando e ripassando ciclicamente sugli stessi argomenti sempre più lentamente e sempre più a fondo. In entrambi i casi vale la seguente regola numero due

25 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 25 Guido Buzzi-Ferraris Come prerequisito di questa regola bisogna imparare a leggere e a studiare un libro scientifico a ritmi diversi e con gradi di approfondimento diversi. Per prima cosa va letto lindice del libro. La prima lettura del libro va effettuata in una o due ore. La seconda lettura va effettuata in uno o due giorni. La terza lettura va effettuata in una settimana. La quinta lettura va effettuata in due o tre giorni. La quarta lettura va effettuata in due settimane. Questa pre-lettura serve per farsi unidea dei contenuti del libro e della sua struttura Questa lettura molto veloce serve per cominciare a familiarizzarsi con lo stile del libro e a individuare i concetti difficili e i punti critici Questa lettura veloce serve per familiarizzarsi ulteriormente con lo stile del libro e per lindividuazione di altri concetti difficili e punti critici Durante questa lettura si deve cominciare a sottolineare il testo e a prendere appunti In questa lettura bisogna cominciare a memorizzare il contenuto assimilandolo in modo critico. In questa fase viene migliorato il lavoro di sottolineatura del testo e di stesura degli appunti. In questa lettura viene completata la memorizzazione del testo e approfondito lo studio critico di esso In questa fase viene completato il lavoro di sottolineatura del testo e di stesura degli appunti. In questa fase vengono sfruttati le sottolineature del testo e gli appunti. Lultima lettura di ripasso va effettuata in una o due ore. In questa fase viene rifinito il lavoro di sottolineatura del testo e di stesura degli appunti. In questa lettura viene rifinita la memorizzazione del testo

26 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 26 Guido Buzzi-Ferraris Chiusa la parentesi sullargomento Come imparare a imparare Flinks: Non cè peggior scolaro di chi non vuole imparare!

27 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 27 Guido Buzzi-Ferraris Promemoria Che cosa sono i vettori e le matrici?

28 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 28 Guido Buzzi-Ferraris Un vettore è una colonna di m numeri Esempio m = 4 Se i numeri sono disposti su di una riga il vettore si dice trasposto e si indica con lapice T

29 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 29 Guido Buzzi-Ferraris Una matrice è una tabella di numeri formata da m righe e n colonne. Esempio m = 4; n = 3 A =A = Se in una matrice si scambiano le righe con le colonne diventa la sua trasposta e si indica con lapice T. Esempio Un vettore non è altro che una matrice con una sola colonna I coefficienti di una matrice vengono indicati con a ij dove il primo pedice si riferisce alla riga e il secondo alla colonna. Per esempio a 2,3 = 4.2

30 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 30 Guido Buzzi-Ferraris Promemoria Come si fa a fare il prodotto fra matrici?

31 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 31 Guido Buzzi-Ferraris La matrice C di M righe e N colonne ottenuta dal prodotto fra la matrice A di M righe e K colonne con la matrice B di K righe e N colonne ha i seguenti coefficienti: i = 1, Mj = 1, N Attenzione!!! Il numero delle colonne di A deve essere uguale al numero delle righe di B

32 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 32 Guido Buzzi-Ferraris Promemoria Che cosè la matrice inversa di una matrice quadrata?

33 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 33 Guido Buzzi-Ferraris La matrice inversa di una matrice quadrata A (ossia di una matrice con ugual numero di righe e di colonne) viene indicata con A -1 ed è la matrice che moltiplicata per A dà come risultato la matrice identità I ossia la matrice avente coefficienti unitari sulla diagonale e zero altrove. A -1 A = I

34 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 34 Guido Buzzi-Ferraris Promemoria Nei calcoli eseguiti con il calcolatore giocano un ruolo fondamentale gli errori di arrotondamento

35 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 35 Guido Buzzi-Ferraris Prima conseguenza Alcune proprietà valide in analisi classica (senza errori di arrotondamento) non risultano più valide quando i calcoli sono eseguiti con il calcolatore Esempio In analisi classica è equivalente scrivere un sistema lineare nella forma Ax = b oppure: x = A -1 b In analisi numerica non è equivalente ricavare x risolvendo il sistema lineare o eseguendo il prodotto fra la matrice inversa e il vettore b.

36 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 36 Guido Buzzi-Ferraris Seconda conseguenza Una proprietà ricavata con i procedimenti dellanalisi classica in corrispondenza di un ben preciso valore di una grandezza, non è quasi valida quando il valore numerico della stessa grandezza è prossimo a quello teorico. Esempio In analisi classica un valore nullo del determinante della matrice dei coefficienti di un sistema lineare discrimina sistemi senza soluzione o con infinite soluzioni da quelli aventi una sola soluzione In analisi numerica un valore piccolissimo del determinante non ci dà alcuna informazione sulle caratteristiche del sistema.

37 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 37 Guido Buzzi-Ferraris


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