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Di Gianfranco Arrigo Dipartimento dellistruzione e della cultura Bellinzona Proposte didattiche.

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Presentazione sul tema: "Di Gianfranco Arrigo Dipartimento dellistruzione e della cultura Bellinzona Proposte didattiche."— Transcript della presentazione:

1 di Gianfranco Arrigo Dipartimento dellistruzione e della cultura Bellinzona Proposte didattiche

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3 Educazione al pensiero probabilistico nella scuola media

4 Problema 1: Lancio di un dado classico ideale Risultati possibili: Probabilità associate:1/6 Somma delle probabilità: Probabilità di ottenere un numero pari con un lancio: Ci sono 3 possibilità su 6, perciò: Primo modo di ragionare Secondo modo di ragionare deve uscire o il 2 o il 4 o il 6, perciò:

5 Problema 2: Lancio di due dadi I risultati possibili sono coppie di numeri interi compresi tra 1 a 6. Si possono ottenere, per esempio, con una tabella: (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) 2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) 3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) 4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6) 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6) Se ci interessa la somma dei punti ottenuti in ogni lancio, al posto delle coppie inseriamo le somme

6 Problema 2: Lancio di due dadi La successione delle probabilità associate si dice anche distribuzione di probabilità. 1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36 Risultati possibili: Probabilità associate: Somma delle probabilità:

7 Problema 3: Lancio di tre dadi Il problema è proponibile alle classi a partire dal secondo biennio di scuola media (allievi dai 14 anni in su). Allinizio il problema è essenzialmente combinatorio: occorre contare il numero di modi col quale si può ottenere ogni somma. Anche qui ci si interessa alla somma dei punti usciti sui tre dadi lanciati insieme e ci si chiede quali siano le probabilità associate a ogni somma possibile.

8 Problema 3: Lancio di tre dadi saddenditotale modi 3(1,1,1)11 4(1,1,2)33 5(1,1,3) (1,2,2)3, 36 6(1,1,4) (1,2,3) (2,2,2)3, 6, 110 7(1,1,5) (1,2,4) (1,3,3) (2,2,3)3, 6, 3, 315 8(1,1,6) (1,2,5) (1,3,4) (2,2,4) (2,3,3)3, 6, 6, 3, 321 9(1,2,6) (1,3,5) (1,4,4) (2,3,4) (2,5,2) (3,3,3)6, 6, 3, 6, 3, (1,3,6) (1,4,5) (2,3,5) (2,4,4) (2,6,2) (3,3,4)6, 6, 6, 3, 3, , 6, 6, 3, 3, , 6, 3, 6, 3, , 6, 6, 3, , 6, 3, , 6, , ottenibili per simmetria Totale216

9 Problema 3: Lancio di tre dadi Risultati possibili e probabilità associate: 1/2163/2166/21610/21615/21621/21625/21627/216 1/2163/2166/21610/21615/21621/21625/21627/216 Istogramma della distribuzione: La somma delle probabilità è uguale a 1.

10 Problema 4: Lancio di monete non truccate Risultati possibili:T (testa)C (croce) Probabilità associate:1/2 Lancio di una moneta Somma delle probabilità: Lancio di due monete I monetaII monetarisultatoprobabilità TTTT TCTC CTCT CCCC Somma delle probabilità: 1/4

11 Problema 4: Lancio di monete non truccate Lancio di tre moneteSchema ad albero II moneta I moneta III moneta Risultati: TTTTTCTCTTCCCTTCTCCCTCCC Probabilità: 1/81/81/81/81/81/81/81/8 Somma probabilità:

12 Problema 4: Lancio di monete non truccate Lancio di n moneteSimulazione su foglio elettronico Per simulare il verificarsi di un evento aleatorio si usa la funzione CASUALE(). Essa dà a ogni ricalcolo un valore casuale compreso tra 0 e 1. Per simulare il lancio di una moneta non truccata si inserisce, per esempio, la formula =SE(CASUALE()>=0.5;"T";"C"). Nell'esempio che stiamo presentando si sono simulati 320 lanci di 5 monete. I due grafici sovrapposti mostrano l'andamento delle frequenze degli eventi E i =appaiono i teste, per i = 1,2,…, 5. Il primo grafico dà il risultato della simulazione; il secondo riproduce il risultato teorico.

13 Problema 4: Lancio di monete non truccate Lancio di n moneteSimulazione su foglio elettronico

14 Problema 4: Lancio di monete non truccate Lancio di n moneteTeorizzazione Modellizzazione: quanti risultati possibili esistono? Lanciare n monete, o -il che è equivalente- lanciare n volte una moneta, è come distribuire n oggetti (le n monete o gli n lanci) in due cassetti (T e C). Vi sono quindi 2n 2n possibilità. Se ci si interroga, ad esempio, sul verificarsi di k volte T, questo risultato assume la forma di una parola di n lettere, delle quali k sono T e (n–k) sono C. Vi sono quindi n! k! (n–k)! modi di ottenere k volte T.

15 Problema 4: Lancio di monete non truccate Lancio di n moneteTeorizzazione La probabilità teorica di ottenere k volte T su n lanci di una moneta è dunque: n! k! (n–k)! 2 n Tabulazione su foglio elettronico Simmetria dei valori di probabilità, fissato n, al variare di k: per esempio, su 10 lanci, ottenere 3 T è come ottenere 7 T.

16 Problema 5: Estrazione da unurna opaca Estraendo a caso una biglia, qual è la probabilità che sia bianca? Se in un'urna opaca si mettono 3 biglie nere e 3 bianche, la probabilità che estraendo una biglia a caso essa risulti bianca è evidentemente 3/6 ossia 1/2. Ma, se si avesse la possibilità di distribuire a piacimento le 6 biglie in 2 urne, sarebbe possibile aumentare la probabilità di estrarre una biglia bianca? Pr(bianca)

17 Problema 5: Estrazione da unurna opaca ? ? Soluzione Scelta dellurna Estrazione biglia Risultato:biancanerabiancanera Probabilità:

18 Problema 5: Estrazione da unurna opaca Aumentando il numero di biglie, come varia la probabilità massima? La probabilità massima si ottiene mettendo una biglia bianca in unurna e le rimanenti nellaltra. Aumentando il numero di biglie, aumenta la probabilità di pescarne una bianca. I valori di probabilità sembrano tendere verso 0,75. Sarà vero?

19 Problema 5: Estrazione da unurna opaca Aumentando il numero di biglie, come varia la probabilità massima? Per 2n biglie, delle quali n bianche e n nere, si ha: La congettura ricavata dai dati calcolati è confermata dalla teoria.

20 Problema 6: Il modello dellalbero A 1 ) Lalbero delle possibilità (caso simmetrico) su 2 su 4 su 8 B 1 ) Lalbero delle probabilità (caso di equiprobabilità) somma = 1

21 Problema 6: Il modello dellalbero A 2 ) Lalbero delle possibilità (caso generale) su n=n 1 +n 2 su n 2 su n 3 inizio n1n1 n2n2 B 2 ) Lalbero delle probabilità (caso generale)

22 Problema 6: Il modello dellalbero Operazioni sullalbero delle probabilità + o Lungo i rami… si moltiplica e logica In orizzontale… si addiziona o logica

23 Problema 7: Gioco delloca - un finale carico di tensione Vince colui che per primo arriva esattamente sulla casella FINE. Supponiamo che debba giocare C, poi B, poi A, nell'ordine. Che probabilità ha ciascun giocatore di vincere al primo colpo?

24 Problema 7: Gioco delloca - soluzione gioca C gioca B gioca A

25 Problema 7: Gioco delloca - soluzione Calcoliamo la probabilità che ciascun giocatore ha di vincere al primo colpo: 1 36 Probabilità maggiore

26 Problema 8: Le tre giocatrici Anna (A), Barbara (B) e Daniela (D) lanciano una dopo l'altra in quest'ordine una moneta. Vince chi ottiene per prima T. Che probabilità ha ciascuna ragazza di vincere? lancia A TC lancia B TC lancia D TC lancia A TC ecc. Soluzione

27 Problema 8: Le tre giocatrici - soluzione

28 Problema 9: Un professore originale Il professor Imbroglia un giorno si presentò al suo collega Della Rima, insegnante di lettere: «Noi due portiamo lo stesso numero di scarpe» Gli mostrò un sacco di plastica nera e continuò: «Qui dentro vi sono due paia di scarpe, perfettamente uguali. Domani è il tuo compleanno. Se vuoi che te le regali, devi guadagnartele. Propongo il gioco seguente: ti farò mescolare le quattro scarpe nel sacco, a tuo piacimento. Poi ne estrarrò a caso due. Se le due scarpe estratte saranno una destra e una sinistra, mi terrò le due paia e tu non avrai nessun regalo. Se, invece, estrarrò due scarpe destre o due sinistre, le due paia saranno per te.» È onesto il gioco proposto dal professor Imbroglia?

29 Problema 9: Un professore originale - soluzione prima estrazione: sd seconda estrazione: sdsd risultati possibili: sssddsdd Pr(vince Imbroglia)= Pr(sd o ds) = Pr(vince Della Rima)= Pr(ss o dd) = Il gioco non è onesto perché Imbroglia ha addirittura probabilità doppia di vincere.

30 Problema 9: Un professore originale - soluzione Il gioco è ancora disonesto, ma la situazione di Della Rima migliora leggermente… Che cosa succederebbe se nel sacco Imbroglia mettesse tre paia di scarpe uguali? prima estrazione: sd seconda estrazione: sdsd risultati possibili: sssddsdd Pr(vince Imbroglia)= Pr(sd o ds) = Pr(vince Della Rima)= Pr(ss o dd) =

31 Problema 9: Un professore originale - soluzione E se il numero delle paia di scarpe fosse n? Pr(vince Imbroglia) = Pr(vince Della Rima) = Quando n diventa molto grande, le due frazioni si avvicinano al valore limite 1/2… … e allora il gioco diventa onesto! n grande n 2 n n grande n 2 n

32 Problema 10: Play off I campionati di basket (di hockey o altri) terminano con i cosiddetti play off, un torneo fra le migliori squadre. Ci si può chiedere: perché partite ripetute? La caratteristica di queste gare finali è che due squadre sincontrano fra di loro più volte. I Rangers e i Devils sono giunti allultimo atto dei play off. Le statistiche indicano che la probabilità di vittoria dei Rangers è 0,6. Qual è la probabilità che la squadra ritenuta più debole (i Devils) vinca la sfida con i Rangers se si giocassero 1, 3, 5, 7 partite? Situazione Problema

33 Problema 10: Play off Sia Dk Dk l'evento vincono i Devils in k partite. Soluzione Pr(D 1 ) = 0,4(nei play off non esiste il pareggio) 0,60,4 vincono i Rangers (R) vincono i Devils (D) una partita: tre partite: RRRDDRDD RDDDRD 0,60,40,60,4 0,40,4 Pr(D 3 ) = 0,6 · 0,4 · 0,4 + 0,4 · 0,6 · 0,4 +0,4 · 0,4= 0,352 Con 3 partite, la probabilità che vinca la più debole è minore.

34 Problema 10: Play off Pr(D 5 ) = Pr(DDD) + Soluzione + Pr(RDDD) + Pr(DRDD) + Pr(DDRD) + + Pr(RRDDD) + Pr(RDRDD) + Pr(RDDRD) + + Pr(DRRDD) + Pr(DRDRD) + Pr(DDRRD) Con 5 partite, la probabilità che vinca la squadra più debole è ancora minore.

35 Problema 10: Play off Pr(D 7 ) = ? Soluzione Senza sconfitta:no. casi DDDD1 Con 7 partite, la probabilità che vinca la squadra più debole è ancora minore. Con una sconfitta (in una delle prime 4 gare): RDDDD, … (tutti gli anagrammi di RDDD) Con due sconfitte (nelle prime 5 gare): RRDDDD, … (tutti gli anagrammi di RRDDD) Con tre sconfitte (nelle prime 6 gare): RRRDDDD, … (tutti gli anagrammi di RRRDDD)

36 Problema 10: Play off Soluzione Ecco alcuni risultati ottenuti con un foglio elettronico:

37 Problema 10: Play off Soluzione Altri risultati ottenuti con un foglio elettronico:

38 F I N E © 2001


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