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PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Numeri Complessi Bruna Consolini Liceo Norberto Rosa - Indirizzo Scientifico e Scientifico Tecnologico Anno Scolastico 2006-07.

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1 PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Numeri Complessi Bruna Consolini Liceo Norberto Rosa - Indirizzo Scientifico e Scientifico Tecnologico Anno Scolastico

2 EQUAZIONI E SOLUZIONI

3 ESTENDERE … LAMBITO DELLE SOLUZIONI Occorre poter risolvere lequazione Occorre poter risolvere lequazione Per calcolare Per calcolare Si definisce un nuovo numero Si definisce un nuovo numero In questo modo diventa In questo modo diventa Quindi, lequazione ha soluzione Quindi, lequazione ha soluzione

4 ALTRE EQUAZIONI Dallequazione il discorso si estende a tutte le equazioni che sono decomponibili in fattori di secondo grado con <0 Dallequazione il discorso si estende a tutte le equazioni che sono decomponibili in fattori di secondo grado con <0 INFATTI, UNA QUALUNQUE RADICE DEL TIPO PUO ESSERE TRASFORMATA IN

5 ESEMPIO ESEMPIO EQUAZIONE 5° GRADO SOLUZIONI REALI: x = -4 molteplicità 1 x = -2 molteplicità 2 SOLUZIONI COMPLESSE: x = 2i molteplicità 1 x = -2i molteplicità 1

6 ESEMPIO EQUAZIONE 4° GRADO SOLUZIONI REALI: x = -4 molteplicità 1 x = 2 molteplicità 1 SOLUZIONI COMPLESSE: x = 1+3i molteplicità 1 x = 1-3i molteplicità 1 Le soluzioni complesse sono sempre presenti in coppia

7 VERSO … UN NUOVO INSIEME DI NUMERI Dallinsieme N si passa a Z, insieme degli interi relativi Dallinsieme N si passa a Z, insieme degli interi relativi Dallinsieme Z si passa a Q, insieme di tutti i numeri esprimibili come rapporto di numeri interi relativi Dallinsieme Z si passa a Q, insieme di tutti i numeri esprimibili come rapporto di numeri interi relativi Dallinsieme Q si passa a R, insieme di tutti i numeri decimali (anche illimitati non periodici) Dallinsieme Q si passa a R, insieme di tutti i numeri decimali (anche illimitati non periodici) Dallinsieme R si passa a C, insieme di tutti i numeri esprimibili come coppie di numeri reali che identificano una parte reale e una parte immaginaria Dallinsieme R si passa a C, insieme di tutti i numeri esprimibili come coppie di numeri reali che identificano una parte reale e una parte immaginaria

8 UN NUOVO INSIEME DI NUMERI C R Q Z N

9 I NUMERI COMPLESSI I numeri complessi sono espressioni del tipo z = a + ib dove - a e b sono numeri reali - i è lunità immaginaria Il numero a denota la parte reale e viene indicato con Re(z) Il numero b denota la parte immaginaria e viene indicato con Im(z) I numeri complessi z = a + ib individuano le coppie (a,b) che rappresentano le coordinate di punti nel piano R 2 chiamato piano di Gauss

10 PIANO DI GAUSS asse reale asse immaginario a b P(a,b) z = a + i b C

11 LE OPERAZIONI: ADDIZIONE SOTTRAZIONE MOLTIPLICAZIONE DIVISIONE

12 ESERCIZI

13 R SOTTOINSIEME DI C Ogni numero complesso z ha il suo coniugato Ogni numero complesso z ha il suo coniugato Ogni numero ha il modulo Ogni numero ha il modulo I numeri reali sono numeri complessi in cui b = 0 I numeri reali sono numeri complessi in cui b = 0 I numeri immaginari sono numeri complessi in cui a = 0 I numeri immaginari sono numeri complessi in cui a = 0 Il numero reale 0 corrisponde a 0 + 0i Il numero reale 0 corrisponde a 0 + 0i Il numero reale 1 corrisponde a 1 + 0i Il numero reale 1 corrisponde a 1 + 0i

14 ESERCIZI

15 PROPRIETA DELLA SOMMA La regola delladdizione corrisponde alla regola del parallelogramma relativa alla risultante dei vettori La regola delladdizione corrisponde alla regola del parallelogramma relativa alla risultante dei vettori (4, 2) (5, 5) (1, 3) (4+2i) + (1+3i)=5+5i

16 RELAZIONE DORDINE Non si può parlare di numeri positivi e negativi Non si può parlare di numeri positivi e negativi Se si cerca di introdurre qualche forma di ordinamento (ad esempio: un numero è minore in base alla parte reale e a parità di parte reale in base alla parte immaginaria) tale ordinamento non permane con le operazioni. Se si cerca di introdurre qualche forma di ordinamento (ad esempio: un numero è minore in base alla parte reale e a parità di parte reale in base alla parte immaginaria) tale ordinamento non permane con le operazioni. NON HA SENSO LORDINAMENTO IN C.

17 DEFINIZIONE ASSIOMATICA DEI NUMERI COMPLESSI (1) Il numero complesso z è una coppia ordinata (a,b) con a R e b R Il numero complesso z è una coppia ordinata (a,b) con a R e b R Vale la relazione di uguaglianza Vale la relazione di uguaglianza (a,b) = (c,d) a=c b=d Risultano chiuse le seguenti operazioni Risultano chiuse le seguenti operazioni Addizione: (a,b)+ (c,d)= (a+c, b+d) Addizione: (a,b)+ (c,d)= (a+c, b+d) Moltiplicazione m(a,b) = (ma, mb) Moltiplicazione m(a,b) = (ma, mb) (a,b)(c,d)= (ac-bd, ad+bc) (a,b)(c,d)= (ac-bd, ad+bc)

18 DEFINIZIONE ASSIOMATICA DEI NUMERI COMPLESSI (2) Valgono le seguenti proprietà: Valgono le seguenti proprietà: Commutativa delladdizione Commutativa delladdizione Associativa delladdizione Associativa delladdizione Commutativa della moltiplicazione Commutativa della moltiplicazione Associativa della moltiplicazione Associativa della moltiplicazione Distributiva della moltiplicazione rispetto alladdizione Distributiva della moltiplicazione rispetto alladdizione Esistenza dellelemento neutro delladdizione Esistenza dellelemento neutro delladdizione Esistenza dellelemento neutro della moltiplicazione Esistenza dellelemento neutro della moltiplicazione Esistenza dellinverso rispetto alladdizione Esistenza dellinverso rispetto alladdizione Esistenza dellinverso rispetto alla moltiplicazione Esistenza dellinverso rispetto alla moltiplicazione

19 ESERCIZI Dimostrare le seguenti proprietà: Dimostrare le seguenti proprietà: 1/z = z / |z| 1/z = z / |z| z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 | z 1 z 2 | = | z 1 | | z 2 | | z 1 z 2 | = | z 1 | | z 2 | z 1 + z 2 = z 1 + z 2 z 1 + z 2 = z 1 + z 2

20 LE EQUAZIONI IN C TEOREMA FONDAMENTALE DELLALGEBRA Ogni equazione polinomiale di grado n a coefficienti reali x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 +…a n-1 x + a n = 0 ha n soluzioni complesse eventualmente coincidenti ………… n Il polinomio P(x)=x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 +…a n-1 x + a n è decomponibile in P(x)=(x- 1 )(x- 2 )…………(x- n ) QUINDI

21 ESERCIZI


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