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Controllo GMV (Generalized Minimun Variance) Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati Prof. S. Bittanti POLITECNICO DI MILANO _____________________.

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Presentazione sul tema: "Controllo GMV (Generalized Minimun Variance) Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati Prof. S. Bittanti POLITECNICO DI MILANO _____________________."— Transcript della presentazione:

1 Controllo GMV (Generalized Minimun Variance) Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati Prof. S. Bittanti POLITECNICO DI MILANO _____________________

2 Controllo GMV (Generalized Minimun Variance) Esempi e teoria: Progetto a modello di riferimento (Q(z) = 0) Progetto a controllo penalizzato (P(z) = 1) J = E[(P(z)y(t + k) + Q(z)u(t) - yº(t))²] Prof. S. Bittanti

3 Controllo GMV (Generalized Minimun Variance) Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati Prof. S. Bittanti ESEMPI POLITECNICO DI MILANO _____________________

4 Controllo GMV4 Contenuti Esempio 1 (sistema a sfasamento minimo) Analisi del sistema da controllare Progetto a modello di riferimento Progetto a controllo penalizzato

5 Controllo GMV5 Contenuti Esempio 2 (sistema a sfasamento non minimo) Analisi del sistema da controllare Progetto a controllo penalizzato

6 Controllo GMV6 Contenuti Esempio 3 (sistema complesso a sfasamento non minimo) Analisi del sistema da controllare Progetto a controllo penalizzato

7 Controllo GMV (Generalized Minimun Variance) Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati Prof. S. Bittanti ESEMPIO 1 POLITECNICO DI MILANO _____________________

8 Controllo GMV8 Esempio 1: Sistema da controllare equazione nel dominio del tempo: y(t) = 0,8y(t – 1) + + u(t – 2) + 1,28u(t – 3) + 0,81u(t – 4) + e(t) + 0,6e(t – 1) e WN(0, 2 ) >>> Modello ARMAX (1,1,4) rappresentazione operatoriale: A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t) con A(z) = 1 – 0,8z ¹ B(z) = 1 + 1,28z ¹ + 0,81z ² k = 2 C(z) = 1 + 0,6z ¹

9 Controllo GMV9 Caratteristiche del sistema Guadagno: B(1) / A(1) = 15,45 Zeri di A(z): poli del sistema z = 0,8 Zeri di B(z): z = -0,64 ± 0.63i Zeri di C(z): z = -0,6

10 Controllo GMV10 Posizione delle singolarità nel piano complesso A(z)x B(z) C(z)

11 Controllo GMV11 Simulazione in a.a.: risposta a gradino Andamento delluscita y(t) con 2 = 0

12 Controllo GMV12 Progetto a modello di riferimento Sistema da controllare: A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t) e WN(0, 2 ) Caratteristiche del sistema di controllo Q(z) = 0 P(z) a scelta del progettista Cifra di merito J = E[ (P(z)y(t+k) - y°(t))²]

13 Controllo GMV13 Progetto a modello di riferimento Polinomi del controllore F(z) = F˜(z) G(z) = P D (z)B(z)E(z) H(z) = C(z)P D (z) E(z) e F˜(z) dalla eq. Diofantea P N (z)C(z) = P D (z)A(z)E(z) + z -k F˜(z) (lunga divisione di P N C per P D A per k passi)

14 Controllo GMV14 Scelta del modello di riferimento M(z) = (Sistema con n poli in e guadagno 1) Risposta a gradino Tempo di assestamento al 90% (la tabella indica il numero di passi necessari perché il sistema con fdt è M(z) raggiunga il 90% della risposta a scalino, in funzione di e di n) (1 - ) (1 - z ¹)

15 Controllo GMV15 Scelta del modello di riferimento n = 1n = 2n =

16 Controllo GMV16 Scelta del modello di riferimento Modello di riferimento: sistema del secondo ordine, con guadagno unitario e con 2 poli coincidenti (n = 2) M(z) = Tempo di assestamento al 90% Scelta: = 0.4 sono necessari 4 passi per raggiungere la soglia del 90% (1 - ) ² (1 - z ¹)²

17 Controllo GMV17 Determinazione di P(z) Il modello di riferimento è quindi: M(z) = P(z) = M(z) ¹ P(z) = 2.78 – 2.22z ¹ z ² ( )² (1 – 0.4z ¹)²

18 Controllo GMV18 Calcolo dei polinomi del controllore Effettuare 2 passi della lunga divisione E(z) = 1 + 2,68z ¹ + 2,60z ² +1,13z ³ F˜(z) = 1,12 Si ottengono così: F(z) = 0,44 + 0,27z ¹ G(z) = 2,77 + 5,22z ¹ + 4,38z ² + 1,35z ³ H(z) = 1 + 0,6z ¹

19 Controllo GMV19 Schema a blocchi del sistema di controllo H(z) F(z) 1 / G(z)1 / A(z) z B(z) C(z) yº(t) + u(t) e(t) y(t) C S k Polinomio caratteristico (z) = B(z)C(z)P N (z)

20 Controllo GMV20 Simulazione in a.c.: risposta a gradino Andamento delluscita y(t) con 2 = 0

21 Controllo GMV21 Simulazione in a.c.: risposta a gradino Andamento dellingresso u(t) con 2 = 0 Funz. Trasfer. da y o a u: P(z)A(z)/B(z)

22 Controllo GMV22 Progetto a controllo penalizzato Sistema da controllare: A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t) e WN(0, 2 ) 2 = 0 Caratteristiche del sistema di controllo P(z) = 1 Q(z) a scelta del progettista Cifra di merito J = E[(y(t + k) + Q(z)u(t) - yº(t))²]

23 Controllo GMV23 Progetto a controllo penalizzato Polinomi del controllore F(z) = F˜(z)Q D (z) G(z) = B(z)Q D (z)E(z) + C(z)Q N (z) H(z) = C(z)Q D (z) E(z) e F˜(z) dalla eq. Diofantea C(z) = A(z)E(z) + z -k F˜(z) (lunga divisione di C per A per k passi)

24 Controllo GMV24 Progetto a controllo penalizzato Funzione di trasferimento da y° a y S(z) = Polinomio caratteristico (z) = C(z)(B(z)Q D (z) + A(z)Q N (z)) z 1 + Q(z) A(z) B(z) k

25 Controllo GMV25 Progetto a controllo penalizzato Polinomio caratteristico (z) = C(z)(B(z)Q D (z) + A(z)Q N (z)) Poli del sistema di controllo Poli fissi: zeri di C(z) Poli mobili: zeri di B(z)Q D (z) + A(z)Q N (z) La stabilità del sistema di controllo dipende dai poli mobili

26 Controllo GMV26 Scelta di Q(z) Scelte tipiche di Q(z) sono: Q(z) = costante Q(z) = (1 - z ¹) Q(z) = 1 - z ¹ 1 – z ¹

27 Controllo GMV27 Scelta di Q(z) Scelta: Q(z) = Poli mobili: B(z) + A(z) = 0 = 0 : zeri di B(z) : zeri di A(z)

28 Controllo GMV28 Andamento dei poli mobili Luogo delle radici di B(z) + A(z) = 0 8,57

29 Controllo GMV29 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 1) Andamento delluscita y(t) con 2 = 0

30 Controllo GMV30 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 1) Andamento dellingresso u(t) con 2 = 0

31 Controllo GMV31 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 8,57) Andamento delluscita y(t) con 2 = 0

32 Controllo GMV32 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 8,57) Andamento dellingresso u(t) con 2 = 0

33 Controllo GMV33 Guadagno del sistema di controllo S(1) = 0 errore a transitorio esaurito non nullo A(1) B(1)

34 Controllo GMV34 Scelta di Q(z) Scelta: Q(z) = (1 - z ¹) Poli mobili: B(z) + (1 - z ¹)A(z) = 0 = 0 : zeri di B(z) : zeri di (1 - z ¹)A(z)

35 Controllo GMV35 Andamento dei poli mobili Luogo delle radici di B(z) + (1 - z ¹)A(z) = 0

36 Controllo GMV36 Guadagno del sistema di controllo S(z) = valutato per z = 1 vale 1 In questo caso è garantito un guadagno unitario per il sistema di controllo (1 - z ¹) A(z) B(z)

37 Controllo GMV37 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 1) Andamento delluscita y(t) con 2 = 0

38 Controllo GMV38 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 1) Andamento dellingresso u(t) con 2 = 0

39 Controllo GMV39 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 50) Andamento delluscita y(t) con 2 = 0

40 Controllo GMV40 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 50) Andamento dellingresso u(t) con 2 = 0

41 Controllo GMV41 Scelta di Q(z) Scelta: Q(z) = (1 - z ¹) / (1 – 0.9z ¹) Poli mobili: = 0 : zeri di (1 – 0.9z ¹)B(z) : zeri di (1 - z ¹)A(z)

42 Controllo GMV42 Andamento dei poli mobili Luogo delle radici di (1 – 0.9z ¹)B(z) + (1 - z ¹)A(z) = 0

43 Controllo GMV43 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 1) Andamento delluscita y(t) con 2 = 0

44 Controllo GMV44 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 1) Andamento dellingresso u(t) con 2 = 0

45 Controllo GMV45 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 7,3) Andamento delluscita y(t) con 2 = 0

46 Controllo GMV46 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 7,3) Andamento dellingresso u(t) con 2 = 0

47 Controllo GMV47 Scelta di Q(z) Scelta: Q(z) = (1 - z ¹) / (1 – 0.8z ¹) Poli mobili: = 0 : zeri di (1 – 0.8z ¹)B(z) : zeri di (1 - z ¹)A(z)

48 Controllo GMV48 Andamento dei poli mobili Luogo delle radici di (1 – 0.8z ¹)B(z) + (1 - z ¹)A(z) = 0

49 Controllo GMV49 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 6,1) Andamento delluscita y(t) con 2 = 0

50 Controllo GMV50 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 6,1) Andamento dellingresso u(t) con 2 = 0

51 Controllo GMV51 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 6,1) Andamento delluscita y(t) con 2 = 10 -4

52 Controllo GMV52 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 6,1) Andamento dellingresso u(t) con 2 = 10 -4

53 Controllo GMV (Generalized Minimun Variance) Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati Prof. S. Bittanti ESEMPIO 2 POLITECNICO DI MILANO _____________________

54 Controllo GMV54 Esempio 2: sistema a sfasamento non minimo Modello ARMAX (1,2,3) A(z) = 1 - 0,5z ² B(z) = 1 – 2z ¹ + 2z ² + z ³ k = 1 C(z) = 1 – 1,4z ¹ + 0,7z ² (rappresentazione operatoriale): A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t)

55 Controllo GMV55 Caratteristiche del sistema Guadagno B(1) / A(1) = 4 Zeri di A(z): poli del sistema z = 0,71 z = -0,71 Zeri di B(z): z = -0,35 z = 1,18 ± 1,20i Zeri di C(z): z = 0,70 ± 0,46i

56 Controllo GMV56 Posizione delle singolarità nel piano complesso A(z)x B(z) C(z)

57 Controllo GMV57 Simulazione in a.a.: risposta a gradino Andamento delluscita y(t) con 2 = 0

58 Controllo GMV58 Scelta di Q(z) Scelta: Q(z) = (1 - z ¹) / (1 – 0,5z ¹) Poli mobili: = 0 : zeri di (1 – 0.5z ¹)B(z) : zeri di (1 - z ¹)A(z)

59 Controllo GMV59 Andamento dei poli mobili Luogo delle radici di (1 – 0.5z ¹)B(z) + (1 - z ¹)A(z)

60 Controllo GMV60 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 1,5) Andamento delluscita y(t) con 2 = 0

61 Controllo GMV61 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 1,5) Andamento dellingresso u(t) con 2 = 0

62 Controllo GMV62 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 2,1) Andamento delluscita y(t) con 2 = 0

63 Controllo GMV63 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 2,1) Andamento dellingresso u(t) con 2 = 0

64 Controllo GMV64 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 19) Andamento delluscita y(t) con 2 = 0

65 Controllo GMV65 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 19) Andamento dellingresso u(t) con 2 = 0

66 Controllo GMV66 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 19) Andamento delluscita y(t) con 2 = 10 -4

67 Controllo GMV67 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 19) Andamento dellingresso u(t) con 2 = 10 -4

68 Controllo GMV (Generalized Minimun Variance) Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati Prof. S. Bittanti ESEMPIO 3 POLITECNICO DI MILANO _____________________

69 Controllo GMV69 Esempio 3: sistema complesso a sfasamento non minimo Lesempio viene costruito a partire dalle singolarità desiderate dei polinomi A(z) B(z) C(z) Si impone sfasamento non minimo (zeri esterni alla regione di stabilità) e comportamento oscillante (poli con parte reale negativa vicini al bordo della regione di stabilità)

70 Controllo GMV70 Singolarità Zeri di A(z): poli del sistema z = - 0,95 ± 0,1i z = -0,5 ± 0,6i Zeri di B(z): z = 1 ± i z = 0,2 ± 0,6i Zeri di C(z): z = -0,7

71 Controllo GMV71 Modello ARMAX Modello ARMAX (4,1,4) A(z) = 1 + 2,9z ¹ + 3,422z ,072z ,557z - 4 B(z) = 1 – 2,4z ,2z -2 – 1,6z ,8z -4 C(z) = 1 + 0,7z ¹ ritardo ingresso/uscita: k = 1 Equazione nel dominio del tempo y(t) = -2,9y(t-1) - 3,422y(t-2) - 2,072y(t-3) - 0,557y(t-4) + + u(t-1) - 2,4u(t-2) + 3,2u(t-3) - 1,6u(t-4) + 0,8u(t-5) + + e(t) + 0,7e(t-1) e WN(0, 2 ) 2 = 0

72 Controllo GMV72 Posizione delle singolarità nel piano complesso A(z)x B(z) C(z)

73 Controllo GMV73 Simulazione in a.a.: risposta a gradino Andamento delluscita y(t) con 2 =0

74 Controllo GMV74 Scelta di Q(z) Scelta: Q(z) = (1 - z ¹)/(1 + 0,3z -1 ) Poli mobili: = 0 : zeri di (1 + 0,3z -1 )B(z) : zeri di (1 - z ¹)A(z)

75 Controllo GMV75 Andamento dei poli mobili Luogo delle radici di (1 + 0,3z -1 )B(z) + (1 - z ¹)A(z) = 0

76 Controllo GMV76 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 30) Andamento delluscita y(t) con 2 = 0

77 Controllo GMV77 Simulazione in a.c.: risposta a gradino ( = 30) Andamento dellingresso u(t) con 2 = 0

78 Controllo GMV (Generalized Minimun Variance) Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati Prof. S. Bittanti POLITECNICO DI MILANO _____________________


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