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C. di L. Specialistica Lauree per le Professioni Sanitarie Corso Integrato di Informatica Statistica ed Epidemiologia Statistica Prof. Claudio Bonifazzi.

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1 C. di L. Specialistica Lauree per le Professioni Sanitarie Corso Integrato di Informatica Statistica ed Epidemiologia Statistica Prof. Claudio Bonifazzi Dip. Scienze Biomediche e TT.AA.

2 Indice degli Argomenti Statistica descrittiva. Dati Univariati –Rappresentazione grafica dei dati –Indici di posizione e dispersione Probabilità e Distribuzioni di Probabilità –Distribuzione Normale e Binomiale Elementi di Statistica Inferenziale. –Stime puntuali e di Intervallo Verifica di Ipotesi sulla Media di popolazione –Grandi e piccoli campioni Verifica di Ipotesi sulla differenza fra due popolazione –Confronto fra medie Test di Indipendenza o Omogeneità (test 2) –dati categoriali Verifica di Ipotesi sulla differenza fra più di due popolazione (ANOVA)

3 Testi Utilizzati Norman-Steiner –BIOSTATISTICA (Ambrosiana 2000) M.R. Middleton. –ANALISI STATISTICA CON EXCEL (Apogeo 2004) David S. Moore –Statistica di Base (Apogeo 2005) Esempi ed Esercizi in Excel –Funzioni statistiche predefinite –Work Book Analisi dei dati –XL-Stat

4 Basi della Statistica Statistica Descrittiva –Organizzazione, presentazione e sintesi dei dati. Statistica Inferenziale –Generalizzazione delle informazioni ricavate da piccoli campioni a grandi popolazione. Variabili o Caratteri statistici –Quantità o entità misurate o osservate ( Dati) –PO 2 nel sangue, pH delle urine, peso, … –Genere (Maschile/Femminile); Parere (Favorevole/Contrario/Non so); Responsività ad una terapia (Migliorato/Invariato/Peggiorato), ecc.. Variabili Dipendenti e Indipendenti –Variazione ottenuta (dipendente) in risposta a un qualche intervento (indipendente). –Somministrazione di un diuretico e riduzione della pressione.

5 Rappresentazione Grafica dei Dati Diagramma a Barre; Dot-Plot Istogramma; Ogiva Grafico tipo Torta (Pie Chart) Diagramma Gambo-Foglia (Steam-Leaf display) Box-and-Wiskers plot Tipo di Dato –Variabili Quantitative e Qualitative –Dati grezzi (Raw Data), –Dati Raggruppati (Distribuzione delle frequenze) –Dati Ordinati

6 Tipi di Dati Quantitativo ContinuoDiscreto Pressione sanguigna, pH, [Na + ], volume polmonare, altezza, peso, età, ecc.. Numero figli in una famiglia; frequenza degli attacchi dasma; sedute terapeutiche; frequenza cardiaca; gg di assenza dal lavoro, ecc.. Qualitativo o Categorico OrdinaleNominale Stato del Paziente (MM, M, I, P, MP, D); stadio del Tumore (I, IA, II, IIA, …); grado di soddisfazione (Insufficiente, Sufficiente, Buono, …) Sesso (M/F); stato civile (Ce, Nu, Co, Di); gruppo sanguigno (A, B, AB, 0); Vivo/Morto. Variabile di IntervalloVariabile di Rapporto Variabile ordinale con intervalli costanti e zero arbitrario. Stadio della patologia: pari gravità fra I e IA, IA e II,…; Quoziente di intelligenza (QI). Soglia di povertà. Variabile di Intervallo con zero rappresentativo. Variabile quantitativa

7 Diagramma a Barre; Dot-Plot Variabili Qualitative o Categoriali Ciascuna domanda è un esperimento; la risposta il risultato dellesperimento. Variabile categorica: il corso. Osservazioni: No. studenti Tab. 2-1 distribuzione delle frequenze. I grafico a barre è una rappresentazione grafica della distribuzione delle frequenze Esempi: Anagrafe.xlsAnagrafe.xls

8 Istogramma, Poligonale Variabili Quantitative FIGURA 2-5 Istogramma con il No. di attività seguite dai 100 studenti del DU per Infermiere Variabile quantitativa Discreta –Dati grezzi Ordinati per Rango –Individuazione delle Classi Frequenza e Fr. Cumulativa per Classe Istogramma e Poligono –No. Studenti Altezza barra –Barre Contigue –Poligono Valori Continui Esempi: Tirocinio, EsStatDesc, StudentiSMTirocinioEsStatDescStudentiSM

9 Diagramma Gambo-Foglia Concentrazione urinaria di Pb in 15 bambini di un insediamento residenziale ( mol/24h) GamboFoglie Intervallo. Min=0.1, Max = Gambi. [Pb] per unità discrete: 0, 1, 2, 3 mol/24h 3.Foglie. Decimali della [Pb] in [0.1, 0.9], [1.0, 1.9], [2.0, 2.9], [3.0, 3.9] Lo Steam-Leaf display (Tukey 1977), è una Tabella con laspetto di un Istogramma che mantiene il dettaglio dei valori originali. Indici di tendenza centrale, dispersione e posizione. Mediana = 1.5; valore centrale (8°); Range = Max - Min = 3.5. Quartili: Q1 = 0.8 (4° valore), Q2 = 1.5 (8° valore), Q3 = 2.0 (12° valore) Procedura in 3 passi 1.Intervallo. Valori Max e Min 2.Gambi. Classi di valori che sintetizzano i dati. 3.Foglie. Valori misurati in modo ordinato. Esempi:DurezzaPunteDurezzaPunte

10 Pie-Charte (Torta) Pie Chart. Confronta il contributo di ciascuna categoria rispetto al totale. È formato da un cerchio (Totale) la cui area è suddivisa in settori di area è proporzionale al Singolo Contributo. Larea di ciascun settore è pari a (Singolo Contributo/Tot)*360; la somma dei settori è pari allarea del cerchio Ex. Pre Iscrizioni ai C.d.L. Triennali. Esempi: AnalisiDS1AnalisiDS1

11 Indicatori Riassuntivi 1.Notazioni Data-Set, Singolo Dato, Sommatoria, …. 2.Indicatori di Tendenza centrale Media, Mediana e Moda. 3.Indicatori di Dispersione Intervallo Minimo-Massimo (Range), Intervallo Interquartile (IQR), Varianza e Deviazione Standard. 4.Indicatori di Asimmetria e Forma Skewness e Curtosi 5.Indicatori di Posizione Quartili, Percentili, Rango Percentile. 6.Esempi

12 Notazioni Algebriche Data-set X : insieme di valori risultato di unanalisi, di un esperimento, di un questionario, …. –[Pb] Urinaria nei bambini in M/24h. Insediamento Urbano. –X ={0.6, 2.6, 0.1, 1.1, 0.4, 2.0, 0.8, 1.3, 3.2, 1.7, 1.9, 1.9, 1.5, 2.2, 1.2} Singolo dato X i ; X 1 = 0.6; X 12 = 1.9 M/24h Dimensione: numero di valori (soggetti) nel data-set –popolazione N, campione n, (n =15), più campioni n j, j=1,2,.. –somma dei valori ([Pb] totale nei 15 soggetti) n i i X 1

13 Indici di Tendenza Centrale Media, Mediana, Moda La Mediana è il valore che separa il data-set in due parti uguali: metà delle osservazioni e inferiore alla mediana, laltra metà è superiore alla mediana –n dispari valore centrale; n pari media dei valori centrali –Regola generale: valore in posizione (n+1)/2 La Moda è il valore del data-set (o la categoria) che si presenta con maggiore frequenza n i La Media Aritmetica o Media è lindice di tendenza centrale tipico, utilizzato per descrivere un data set Quantitativo, (Qualitativo con valori di Intervallo o di Rapporto). –Popolazione ; Campione N X i 1 X X n n i i 1

14 Uso di Media e Moda Attività di Tirocinio degli studenti Gruppo 1: n 1 = 100; X = 3083; X = Gruppo 2: n 2 = 100; X = 4583; X = Gruppo 3: n 3 = 50; X = 2291; X = Esame di Analisi superiore. Test di metà semestre. Valutazioni: A, …,D…. La valutazione assegnata agli studenti ha una distribuzione bimodale; le mode sono i giudizi (A) e (D) Esempi: Tirocinio, EsStatDescTirocinioEsStatDesc

15 Confronto fra Ind. Pos. Cent. [Pb] urinaria mM/24h A) Urbano n A =15, B) Extraurbano n B =16 A={ 0.1, 0.4, 0.6, 0.8, 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.7, 1.9, 1.9, 2.0, 2.2, 2.6, 3.2 } B={ 0.2, 0.3, 0.6, 0.7, 0.8, 1.5, 1.7, 1.8, 1.9, 1.9, 2.0, 2.0, 2.1, 2.8, 3.1, 3.4 } Media Aritmetica: X A = 1.49; X B = 1.68 M/24h Mediana: A) n=15 Med A = 1.5; B) n=16, Med B = ( )/2=1.85; Moda: A) Moda = 1.9; B) Moda = 1.9, 2.0 La Media dipende dai valori Estremi (Outliers) C = {0.1, 0.2, 0.4, 1.1}; D = {0.1, 0.2, 0.4, 1.1, 21.9}; X C = 0.45, X D = 4.74 M/24h; Med A = 0.3, Med B = 0.4 M/24h Esempi: Tirocinio, StDescrittiva_PbTirocinioStDescrittiva_Pb Data set qualitativo: quale indice di posizione centrale utilizzare?

16 Indici di Dispersione Una misura di dispersione indica quanto vicino si posizionano (raggruppano), i valori presenti nel data-set, intorno ad una misura di tendenza centrale. Intervallo minimo-massimo (100% dei dati) Range = Massimo - Minimo Intervallo interquartile (50% dei dati) IQR = Q3 - Q1= 1° Quartile – 3° Quartile N x N XX MDMedioScarto i Scarto Medio. Somma degli scarti intorno alla media Varianza e Deviazione Standard ; 1 ss n XX s i ; N XX i N, n-1 ?

17 Dispersione No. pause caffè in un giorno lavorativo N = 10 ; X = 90 X = X / N = 9 (X – X) = 0 |X – X| / N = 4.2 (X – X) 2 / N = 27.2 s = 27.2 = 5.2 La media è il baricentro dei valori di X la somma delle differenze rispetto alla media é = 0. La somma delle differenze in valore assoluto o delle differenze elevate al quadrato è un valore > 0. Scarto medio MD = |X-X|/N e varianza s 2 = (X-X) 2 /N calcolano la distanza media di X i dalla media X. La deviazione standard s è la distanza media di ciascun valore dalla media in unità di misura di Xi Esempi: Tirocinio, StDescrittiva_PbTirocinioStDescrittiva_Pb

18 Asimmetria e Curtosi La curtosi descrive quantitativamente il grado di appiattimento della curva Curve simmetrica A.Mesocurtica B.Leptocurtica C.Platicurtica Il grado asimmetria (skewness) descrive quantitativamente la dispersione dei valori a Dx e Sx della media. Asimmetrica verso Dx o positiva Asimmetrica verso Sx o negativa

19 Uso degli Indicatori Esempi: StudentiStudentiNote: Indicatori di Asimmetria e FormaIndicatori di Asimmetria e Forma

20 Box-and-Wiskers plot Indicatori di Posizione per Dati Ordinati Minimo e MassimoPercentili Quartile Q1, Q2 (Mediana), Q3Rango percentile Esempi: dboxp_Pb, durezzaboxdboxp_Pbdurezzabox

21 Uso Ind. Posizione Esempi: Iris Flowers; MolluschiIris FlowersMolluschi Il 50% dei valori è racchiuso in IQR; Valore anomalo (169) < Q1 – 1.5*IQR Valore Estremamente Anomalo (91) < Q1 –3*IQR

22 Statistica Descrittiva Strumenti di Calcolo A.Funzioni predefiniti di Excel B.Work-book Analisi dei Dati C.Add-In XLStat

23 Funzioni Statistiche Predefinite Statistica descrittiva Frequenza, Indicatori, … Distribuzioni Probabilità Dirette e Inverse

24 Work Book ANALISI DATI Esempi: Tirocinio, MolluschiTirocinioMolluschi

25 XLStat

26 Probabilità Probabilità. Valore numerico che da informazioni sulla verosimiglianza che un dato evento possa o non possa accadere in rapporto agli altri eventi. La probabilità di un evento è un valore compreso fra 0 ed 1; ad un evento certo si assegna il valore P(E)=1, ad un evento impossibile il valore P(E)=0 0 P(E) 1; 0 P(A) 1 La somma delle probabilità degli eventi semplici di un esperimento è sempre uguale a 1 P(E) = P(E 1 ) + P(E 2 )+…+ P(E 4 ) =1 Spazio dei campioni S, Evento E Lancio di un dado a 4 facce. Esperimento S={E 1, E 2, E 3, E 4 } = {1, 2, 3, 4} S = spazio dei campioni campionario; E i = eventi, osservazioni, risultati. Evento semplice A={1,2, 3, 4}; Eventi composti A={Pari}; B={Dispari} Qual è la probabilità che il risultato del lancio sia Esattamente uguale a 1, P(Ei=1)? Sia un numero pari, P(A) = P(E i = 2 oppure E i = 4) ?

27 Calcolo delle Probabilità Approccio teorico Lancio di un dado onesto a 4 facce: P(E i ) =1/4 ; P(A) = P(pari) = P(dispari) = 1/2 Eventi equiprobabili. Due o più eventi che hanno la medesima probabilità di verificarsi sono detti equiprobabili. Numero Totale degli Eventi Numero di Eventi A AP Numero Totale degli Eventi EP i 1 Esempi. Lancio di una moneta bilanciata: P{Testa}=?; P={Croce}=?. Associazione con 100 iscritti 40 Donne e 60 Uomini. Si elegge il presidente per estrazione casuale di un nominativo: P{Donna}=?; P={Uomo}=?.

28 Calcolo delle Probabilità Approccio empirico Frequenza relativa Tentativi di Corteggiamento MotivoTentativiSuccessi% Successo AFisico BIntelligenza CRicchezza DDisperazione Totale Totale ASuccessi AP I valori calcolati della probabilità P possono essere utilizzati per fare previsioni solo assumendo che nulla sia cambiato. N Frequenza A AP Famiglie che possiedono la casa in cui abitano EventoFrequenzaFr.Relativa Proprietario Inquilino Totale Legge dei grandi numeri. Se un esperimento è ripetuto molte volte la probabilità calcolata come frequenza relativa approssima il valore della teorico della probabilità

29 Calcolo delle Probabilità Eventi mutuamente esclusivi. Due eventi X ed Y sono mutuamente esclusivi se loccorrenza delluno esclude loccorrenza dellaltro. Esempi: A) Espressione di voto: partito D o partito S. B) Acidosi ed alcalosi respiratoria (?). C) dolore toracico: riflusso gastro-esofageo o sospetto infarto (?). Eventi Condizionati. Due eventi X ed Y sono condizionati se il verificarsi di Y dipende da X o il verificarsi di X dipende da Y. Probabilità che 5 sia il risultato del lancio simultaneo di due dadi –N = 36 eventi possibili: A={1,2,3,4,5,6}; B={1,2,3,4,5,6}; –P(E) = 1/36 –P(5) = P(1 e 4) + P(2 e 3) + P(3 e 2) + P(4 e 1) = 4/36= 11.1% Probabilità 5 che sia il risultato del lancio del secondo dado B se il dado A ha dato valore 1 –N = 6 eventi possibili: A={1}; B={1,2,3,4,5,6}; –P(E) = 1/6 –P(5) = P(B|A) = 1/6= 16.7% ESEMPI: A) Aspettativa di vita media (luogo e anno di nascita, sesso, razza, …); B) Successi nel corteggiamento; C) Orario di LavoroOrario di Lavoro

30 Calcolo delle Probabilità Eventi mutuamente esclusivi e proprietà additiva della probabilità Ricoverati Medicina I VPA, UII, SIS patologie mutuamente esclusive Probabilità che il prossimo ricoverato sia affetto da VPC o UII? Eventi mutuamente esclusivi P(VPC o UII) = P(VPC) + P(UII) = 0.40 o 40% Se X ed Y sono eventi mutuamente esclusivi la probabilità che accada X o Y è la somma della probabilità P(X) più la probabilità P(Y) P(X o Y) = P(X) + P(Y) Esempio. Nel lancio di una dado a 6 facce: P(pari) = P(2) + P(4) + P(6).

31 Calcolo delle Probabilità Eventi condizionati e proprietà moltiplicativa della probabilità Ricoverati Medicina I VPA, UII, SIS patologie mutuamente esclusive Calcolare la Probabilità che il prossimo ricoverato sia maschio e affetto da SIS?. Probabilità condizionata A)Calcolo della Tabella per 100 pazienti 48 uomini ricoverati per SIS. P(U|SIS) = 48% B)Totali di Riga e di Colonna. Dati marginali P(SIS) = 60/100 P(U) = 48/60 P(U|SIS) = 60/100 x 48/60 = 0.48 Proprietà Moltiplicativa. Se X ed Y sono eventi legati, la probabilità che accadano entrambi gli eventi è data da P(X e Y) = P(X) x P(Y|X) Esempio: Orario di LavoroOrario di Lavoro

32 Calcolo delle Probabilità Eventi Indipendenti e Complementari Test di Laboratorio. Falsi Positivi Evento indipendente S = {N, P}; N = Negativo; P = Positivo P(P)=0.05; P(N)=0.95; P(P)+P(N)=1 Il medico ha richiesto 3 esami, qualè la probabilità che si verifichi almeno un falso positivo? Evento complementare P(Almeno 1 sia P) = 1 – P(Nessuno P) Nessun esame P equivale ad ottenere 3 esami con esito N. P(Nessuno P) = P(N) x P(N) x P(N) = P(Almeno 1 sia P) = 1 – =0.857

33 Distribuzione Normale Distribuzione Normale o di Gauss. Curva a campana Le variabili casuali sono distribuite secondo la Normale? –Si. Misura di Peso e Altezza. Valore della Pressione Arteriosa in soggetti normali. Tempo del percorso Automobilistico casa-Lavoro. Parametri di un processo industriale in controllo, ecc. –No. Aspettativa di vita media. Tempo di remissione di una malattia, Efficienza di una apparecchiatura elettronica. Opinioni espresse in un questionario, …. –Non è possibile determinarlo test di normalità La media campionaria X é distribuita secondo la Normale –Qualunque sia la distribuzione originale della variabile (X) presa in esame, se prendiamo M di campioni di dimensioni ragionevoli (n), e costruiamo la distribuzione di probabilità delle medie campionarie, X i i=1,2, …, M, questa distribuzione è normale

34 La curva Normale Proprietà della Normale 1.Media, mediana e moda hanno il medesimo valore 2.La curva è simmetrica rispetto alla media : simmetria = 0; curtosi = 0 3.La curva è asintotica allasse delle X 4.Larea al di sotto della curva Normale è uguale a 1. Larea sottesa alla Normale fra X = ed X =1 è pari al 34.1% dellarea totale –Larea sottesa alla Normale fra X = 1 ed X =1 è pari al 68.2% dellarea totale Larea sottesa alla Normale fra X = ed X =2 è pari al 47.7% dellarea totale –Larea sottesa alla Normale fra X = 2 ed X =2 è pari al 95.4% dellarea totale –Larea sottesa alla Normale fra X=-3s ed X=3s è pari 99.8% dellarea totale -3 -4

35 Distribuzione Normale standard Distribuzione con media 0 e Deviazione Standard 1, ottenuta dalla trasformazione della variabile casuale X in unità di deviazione standard (variabile z). No. Pause caffè. X = 9, s=5.22 X z s XXi z variabile z : s z X s) – X –– X = X s : 5.22 z X = X = 9 : Reparto A: X = 9; s = 5.22 NB. Se X = 3.5; s = 2.71, o z -score per X = X ed X = X s non cambia Dati z = – 0.8, X = 3.5 ed s =2.71 è possibile calcolare X: X = zs+X = 5.7

36 Tabella della Curva Normale Calcolo dellArea (Probabilità) nota z. LArea al di sotto della normale standard per valori di z = 0 e z = Il valore z = 1.95 è diviso in una radice 1.9, intero e I decimale, ed il II decimale Individuiamo 1.9 nella colonna etichettata z e seguendo la riga z=1.9 individuiamo la colonna etichettata Il valore individuato dalla intersezione fra la riga 1.9 e la colonna 0.05 è larea sottesa nellintervallo [0, 1.95] ed è pari a Calcolo di z nota larea o Probabilità. Valore di z per il quale larea sottesa dalla Normale standard compresa fra 0 e z è pari Il valore dellarea allinterno della tabella è lintersezione di una riga ed una colonna dalle quali si ricava la radice ed il II decimale dello z- score. Dalla Tabella 6.4 si ricava facilmente che larea pari a è compresa nellintervalli z=0, z=1.44. Calcolo di X data larea e noti X ed s. Dal valore di z-score è possibile risalire al valore di X noti il valore medio e la deviazione standard della distribuzione normale: X = zs + X

37 Esempio di Uso della Normale Indagine sulluso di un Sistema contraccettivo: n = 2000 persone, media annuale X= 100, s =15. A) Quante persone usano questo metodo almeno 115 volte allanno? z Area colorata = % delle persone usa il metodo al più 115 volte in un anno. B) Quante persone usano questo metodo meno (al più) di 70 volte allanno? z Area colorata = % delle persone usa il metodo meno 70 volte in un anno. C) Quante persone usano questo metodo fra le 106 e 112 volte allanno? Area colorata = % delle persone usa il metodo fra le 106 e 112 volte in un anno. z 1 = 0.40, z 2 = 0.80 Esempi: DN_Esempi, DN_EserciziDN_EsempiDN_Esercizi

38 Distribuzione Binomiale La distribuzione binomiale mostra la probabilità che si verifichino diversi eventi casuali fra loro indipendenti, ognuno dei quali può assumere solo uno fra due valori diversi: Successo o Fallimento. Infilare le scarpe correttamente. S={Giusto, Sbagliato}. Supponiamo che gli eventi siano indipendenti e che la probabilità di ciascun evento p=0.5. Un solo tentativo P(G) = P(S) = tentativi S={GG,GS,SG,SS}. P(SS)=P(S)xP(S)= 0.5*0.5=0.25; P(GS o SG) = tentativi S={GGG,GGS,GSG,SGG,SSG,SGS,GSS,SSS} 10 tentativi, qual è la probabilità che 7 siano sbagliati e 3 giusti? Sviluppo Binomiale Due Eventi: {Successo, Fallimento} Numero di tentativi n= 10 Numero di risultati favorevoli r=7 La probabilità di Successo p=0.5 e q = 1- p la probabilità di Fallimento 121! !! ! nnndoveqp r n qp rnr n rnrrnr Esempio: Sviluppo_BinomialeSviluppo_Binomiale

39 Proprietà della Binomiale Infezioni postoperatorie 1.n= 15, p = 0.2, q = 1- p = n = 15,p = 0.3, q = 1- p = n = 30, p = 0.3, q = 1- p = 0.7 Media = np Varianza = npq Deviazione standard = npq Esempio: Sviluppo_BinomialeSviluppo_Binomiale

40 Binomiale e Normale Per p=0.5 allaumentare del numero di tentativi n la distribuzione binomiale tende alla distribuzione normale Esempi: dbinomiale_forma, dbinomiale_esvoltidbinomiale_formadbinomiale_esvolti

41 Statistica Inferenziale Popolazione e Campione Inferenza Statistica –Verifica di significatività statistica Ipotesi zero H0 e Ipotesi alternativa H1 –Inferenza statistica con Livello di Significatività Test a una coda e a due code Errori tipo I ( ), Tipo II ( ), Potenza del Test Intervallo di confidenza Inferenza sulla media di popolazione –Dimensioni del campione: Test z e Test t. –Distribuzione Normale Standard e t -student Inferenza sulla differenza fra medie di popolazione –No 2 popolazioni: campioni indipendenti o appaiati –No k>2 popolazioni: Analisi della varianza ANOVA Test di Indipendenza e Omogeneità ( 2)

42 Basi della Statistica Inferenziale A partire dallanalisi eseguita su un campione, la statistica inferenziale permette di dare indicazioni quantitative (calcolare media, varianza, …) sulla popolazione soggetto dellindagine (target). Popolazione e Campione La stima della media (varianza, …) calcolata a partire da un campione estratto casualmente dalla popolazione che vogliamo esaminare, differirà dal valore vero della media di una piccola quantità, questa differenza è prodotta da una serie di eventi casuali. Il caso produce differenze di entità diversa, quindi se confrontiamo due campioni questi sono sempre in una qualche misura diversi. Quindi, se non si considerano gli effetti dovuti al caso non è possibile A.dedurre dal campione informazioni sulla popolazione B.dedurre se i due campioni sono uguali entro le fluttuazioni del caso. Esempio: Prova in ItinereProva in Itinere

43 Teorema del Limite Centrale Presa una serie di campioni di uguali dimensioni da una distribuzione normale o non normale, la distribuzione delle medie di questi campioni sarà comunque normale purché la dimensioni del campione, n, sia abbastanza grande (*). Lancio un dado 600 volte la distribuzione dei valori è uniforme (LimCen)LimCen Lancio due dadi 2, 4, 8 volte per successivi 600 esperimenti e calcolo la media dei valori ottenuti in ciascun lancio. La distribuzione della media assume la forma di una campana allaumentare della numerosità del campione (*) Se la distribuzione è approssimativamente normale n può essere molto piccolo (n=5); se non è normale è consigliabile utilizzare campioni di dimensioni n 30.

44 Media di Popolazione Verifica dIpotesi Gli esami degli elettroliti eseguiti su un gruppo di dirigenti sanitari indicano che la [Na + ] nel siero di un campione di 25 soggetti è pari a 138 mM/l. In letteratura è riportato che i valori di [Na + ] nella popolazione hanno distribuzione normale con media =140 mM/l e =2.5 mM/l. Possiamo affermare che tutti i dirigenti sanitari soffrono di iponatriemia? Sulla etichetta di una lattina contenente una bibita analcolica è dichiarato un contenuto medio pari a 12 once (circa 330 ml). In un campione 100 lattine prelevate a caso si è riscontrato un contenuto medio medio di once. Possiamo dedurre che tutte le lattine contengono meno di quanto dichiarato? La regione ha rilevato nel passato che le persone di età compresa fra anni vanno dal medico in media 3.6 volte allanno. Nel 2003 è stato messo in evidenza, su un campione di 350 giovanotti, che questi hanno consultato il medico in media X=3.9 volte con una deviazione standard di s=1.6. Possiamo affermare che tutte le persone di questa fascia di età hanno maggiore necessità del medico rispetto al passato? Una compagnia telefonica ha valutato che la durata media di una telefonata fuori distretto è pari a minuti. Una verifica fatta su un campione di 150 telefonate ha messo in evidenza una durata media X=13.71 ed una deviazione standard s=2.65 minuti. Possiamo affermare che tutte le telefonate interurbane sono significativamente più lunghe di quanto rilevato in precedenza, ed è necessario aumentare le tariffe?

45 Verifica dIpotesi Statistica Data la stima (media campionaria X, differenza d= X 1 - X 2, varianza s 2 ) del parametro di una popolazione (,, 2 ), si accetta il parametro come vero/falso confrontando il valore calcolato con una regione di evidenza sperimentale (intervallo di valori) che tiene conto dellincertezza presente nella stima del parametro. La regione di evidenza sperimentale è caratterizzata una curva di distribuzione di probabilità: distribuzione normale, distribuzione t-student (, ), distribuzione 2. Data una Ipotesi Iniziale (H0) ed una Ipotesi Alternativa (H1), la regione di evidenza sperimentale é divisa in una regione di Non Rifiuto e una regione di Rifiuto; la separazione è eseguita a partire da una valore di probabilità detto livello di significatività del test. Scelto il valore di probabilità ad esso corrisponde un valore critico (limite) della statistica utilizzata per il test, z -limite (z c ), t -limite (t c ), 2-limite ( c 2 ), che separa la regione di evidenza sperimentale in regione di Non Rifiuto e regione di Rifiuto di H0. La regione di Rifiuto può essere a sinistra o a destra del valore critico (Test ad una coda); la regione di Non Rifiuto del test è posta al centro di due regioni di rifiuto del test (Test a due code). Dalla stima del parametro si calcola il valore della Statistica del Test ( z 0, t 0, 2), se questo cade nelle regione di Non Rifiuto lipotesi H0 è accettata sulla base della evidenza sperimentale, se cade nella regione di Rifiuto è rigettata a favore di H1.

46 Ipotesi Nulla ed Alternativa Non cè sufficiente evidenza sperimentale per dire che letichetta dichiari il falso, quindi non rifiutiamo lipotesi nulla Cè sufficiente evidenza sperimentale per dire che letichetta dichiara il falso, quindi rifiutiamo lipotesi nulla Regione di non rifiutoRegione di rifiuto Valore critico Grado di evidenza sperimentale. Valore critico di separazione una regione di non rifiuto ed una regione di rifiuto Levidenza sperimentale è il valore della media campionaria X, cioè una variabile casuale distribuita secondo la distribuzione di probabilità normale. Controllo di qualità sul contenuto della lattina di soda. Il contenuto medio corrisponde a quanto dichiarato? Possiamo dedurre che letichetta dichiara il vero? Ipotesi nulla:H0: 12 once Ipotesi alternativa:H1: < 12 once Ipotesi Nulla H0. Assumiamo che le lattine contengano quanto dichiarato. Lasserzione fatta considerata vera sino a che levidenza sperimentale non la contraddice Ipotesi Alternativa H1. Se levidenza sperimentale dimostra che H0 è falsa si assume che sia vera lipotesi alternativa, H1, cioè che le lattine contengano meno di quanto dichiarato

47 Test a due code. Nel 1998 la famiglia media americana era composta da 3.18 unità. Attualmente la sua dimensione è variata? H0: =3.18 dimensione media invariata H1: 3.18dimensione media variata Verifichiamo se la dimensione media è aumentata o diminuita, scegliendo due valori critici: c 1 e c 2 nella coda Sx e Dx che delimitano le regioni di rifiuto. Test dIpotesi – Code del Test Left-Tail Test. Quanto dichiarato sulla etichetta della lattina di soda corrisponde al contenuto medio dichiarato, o è inferiore? H0: =12 il contenuto medio è pari a 12 once H1: <12il contenuto medio è minore di 12 once Verifichiamo la correttezza del contenuto scegliendo un valore critico c nella coda Sx della distribuzione, valori di X c cadono nella regione di rigetto Right-Tail Test. Nel 2002 lo stipendio medio lordo di un insegnate di scuola era Attualmente è aumentato? H0: =28000è invariato H1: >28000 è aumentato Verifichiamo la correttezza del contenuto scegliendo un valore critico c nella coda Dx della distribuzione, valori di X c cadono nella regione di rigetto

48 Test dIpotesi - Procedura Esecuzione di un Test di Ipotesi. Un test di ipotesi statistica è una procedura in cinque passi 1.Definire lipotesi nulla e lipotesi alternativa 2.Scegliere la distribuzione da utilizzare 3.Definire le regioni di rifiuto e di non rifiuto 4.Calcolare il valore della Statistica del test 5.Prendere una decisione Esempio. Vogliamo verificare se letà media degli studenti iscritti al C.d.L. in Medicina e Chirurgia è pari a 24 anni. Valore stimato X = 25.2 anni, test a due code. 1)H0 = 24 letà media non è variata, H1 24 letà media è variata 2)Gli studenti sono n=500 cioè il campione ha grandi dimensioni, ed utilizziamo la Normale standard 3)Scelgo quale livello di affidabilità del test; individuo larea nella coda Dx e Sx della distribuzione 4)Calcolo il valore della Statistica del Test 5)Il valore della Statistica del Test cade nella regione di rifiuto o di non rifiuto?

49 Test dipotesi per la media Grandi Campioni – Test z Per il teorema del limite centrale la distribuzione della media campionaria X è approssimativamente normale per n 30. Statistica del Test. Nel Test dipotesi per grandi campioni ( n 30) la variabile casuale z 0 è detta Statistica del Test. La Statistica del Test è il criterio in base al quale accettiamo o rifiutiamo lipotesi H0. Esempio 1. Durata delle Telefonate Interurbane. Test a due code con =0.05 Esempio 2. Iponatriemia dei dirigenti. Test ad una coda (Sx) con =0.01

50 Statistica z. Test dipotesi per Esempio 1. Una compagnia telefonica ha valutato che la durata media di una telefonata fuori distretto è pari a minuti. Una verifica fatta su un campione di n=150 telefonate ha messo in evidenza una durata media X=13.71 ed una deviazione standard s=2.65 minuti. Possiamo affermare con livello di significatività =0.05 che la durata media delle telefonate è significativamente cambiata? 1.H0: = 12.44; H1: Usiamo la distribuzione normale (n 30) 3.Regione di Rifiuto e Non rifiuto. Livello di significatività del test = 0.05 Test a due code z c =± Valore della statistica test z 0 = Rifiuto H0: ll valore della statistica del test z=5.87 è molto maggiore del valore critico z c2 =1.96 che delimita la regione di rifiuto nella coda di Dx, quindi rifiutiamo H0 e diciamo che, sulla base dellevidenza sperimentale, la lunghezza media delle telefonate interurbane non è uguale a minuti. Esempio: TelefonoTelefono

51 Piccoli Campioni n < 30 Verifica dipotesi per la media di popolazione Nel caso in cui il campione sia di piccole dimensioni (n<30), che la distribuzione di X sia approssimativamente normale e la deviazione standard s non nota, è sempre possibile eseguire la verifica di ipotesi per la media della popolazione utilizzando la distribuzione t-Student Statistica del Test. Nel Test dipotesi per la media campionaria X nel caso in cui n <30 la Statistica del Test è rappresentata dalla variabile casuale t Distribuzione t-Student (1, 2) (W. S. Gosset nel 1908 )12 Simulazione: Verifica dIpotesiVerifica dIpotesi

52 La distribuzione-t ha code più alte, fianchi più stretti e varianza maggiore rispetto alla Gaussiana standard: all' aumentare dei gradi di libertà la distribuzione "t" di Student tende rapidamente alla Gaussiana standard ~ t di Student (con =n-1 g.d.l.)

53 Statistica t. Test dipotesi per Uno studio pubblicato di recente da una rivista di Psicologia ha dimostrato che letà media alla quale i bambini iniziano a camminare è 12.5 mesi. Da un campione di n=18 bambini degli asili nido della città si è calcolato che letà media dei primi passi è X=12.9 mesi con una deviazione standard s di 0.8 mesi. Possiamo dire con un livello di significatività = 1% che il valore di X è diverso dal dato pubblicato. 1.H0: = 12.5; H1: Usiamo la distribuzione t con df = n -1 = 17 3.Regione di Rifiuto e Non rifiuto. Livello di significatività del test = 0.01 Test a due code zc 1 =-2.898, zc 2 = Valore della statistica test t = Accetto H0: Il valore della statistica del test t=2.12 cade fra i punti critici z c1 e z c2 cioè nella regione di Non Rigetto. Quindi levidenza sperimentale non ci permette di rigettare H0 e affermiamo che la differenza fra media campionaria X=12.9 e media di popolazione =12.5 è piccola ed è dovuta ad errori di campionamento. Esempio: Primi passiPrimi passi Tabella della Distribuzione t

54 Rapporto Segnale Rumore La sostanza di una verifica di ipotesi statistica sta nellassegnare una probabilità ad una quantità che chiamiamo rapporto segnale rumore: il segnale è una quantità legata alla differenza media campionaria (X) e media della popolazione ( ); il rumore è una quantità che indica la variabilità delle osservazioni tra gli individui appartenenti al medesimo campione. Segnali provenienti da un satellite ai quali si sovrappongono rumori casuali di diversa natura. Segnale media +1.1 V, Rumore media +0.7 V: il blip ha un valore intermedio fra questi due 1.Abbiamo creduto di ascoltare il segnale che non cera 2.Abbiamo creduto di ascoltare il segnale che cera effettivamente 3.Abbiamo ritenuto che non ci fosse alcun segnale quando invece cera effettivamente 4.Non abbiamo sentito alcun segnale ed effettivamente non cera alcun segnale

55 Errore Tipo I ( ) e Tipo II ( ) 1.Il contenuto della lattina è in media pari a 12 once, il campione esaminato ha media campionaria pari a once e quindi correttamente accettiamo H0 2.Il contenuto della lattina è in media inferiore a 12 once ma il campione estratto ha media campionaria pari a once ed erroneamente non rifiutiamo H0 Lerrore di Tipo II è lerrore commesso quando una ipotesi nulla falsa è non rigettata. Il valore rappresenta la probabilità di commettere un errore di Tipo II. = P(H0 è non rifiutata | H0 è falsa) Il valore 1- è detto Potenza del test e rappresenta la probabilità di non commettere un errore di Tipo II Lerrore di Tipo I è lerrore commesso quando una ipotesi nulla vera è rigettata. = P(H0 è rifiutata | H0 è vera) Il valore è detto livello di significatività del test, e rappresenta la probabilità di commettere un errore Tipo I 1.Il contenuto della lattina è in media 12 once, ma la media del campione analizzato è minore del valore dichiarato ed erroneamente rifiutiamo H0 2.Il contenuto della lattina è realmente inferiore a 12 once, la media del campione esaminato lo ha messo in evidenza e correttamente rifiutiamo H0 H0: 12;H1: 12

56 Errori e - Potenza del Test Ridurre la probabilità di commettere un errore di Tipo I o II? Gli errori che si possono verificare in un test di ipotesi, errori di Tipo I e di Tipo II sono fra loro dipendenti. In un test di ipotesi eseguito su un campione di dimensione pari ad n non è possibile diminuire simultaneamente i valori di e di : se diminuiamo il valore di contemporaneamente aumenta il valore di e viceversa. Tuttavia, è possibile diminuire contemporaneamente i valori di e aumentando le dimensioni del campione. Situazione Effettiva H0 è veraH0 è falsa Decisione Non rifiuto H0Decisione corretta Errore Tipo II o Rifiuto H0 Errore Tipo I o Decisione corretta

57 Errore - Conclusioni Errate Gli esami degli elettroliti eseguiti su un gruppo di dirigenti indicano che la [Na + ] nel siero di un campione di 25 soggetti è pari a 138 mM/l. Sapendo dalla letteratura che i valori della popolazione sono distribuiti secondo la normale con valore medio =140 mM/l e =2.5 mM/l, possiamo affermare che tutti i dirigenti soffrono di iponatriemia? 1.H0: Non cè differenza; H1: Cè differenza 2.Usiamo la distribuzione normale (n=25) 3.Regione di Rifiuto e Non rifiuto. Livello di significatività del test = 0.05 Test a una coda Sx 4.Valore della statistica test z = Rifiuto H0: Ce differenza! La probabilità di concludere che il campione deriva da unaltra popolazione, cioè che esiste una differenza significativa quando questo non è vero (Errore Tipo I o Errore ) è pari al 5%.

58 Errore tipo e tipo Potenza del Test Non possiamo conoscere la distribuzione alternativa ma facciamo lipotesi che il campione dirigenti provenga da una popolazione con media 137.5mM/l e =2.5. L'area della campana di Sx a destra di z c si protrae sotto la curva di H0, questa è il valore di probabilità dellerrore di Tipo II o, cioè di dichiarare che non cè alcuna differenza quando questa esiste. = 0.16 La potenza del Test P = 1 – La Potenza del Test è funzione delle dimensioni del campione n. Maggiore è il valore di n più elevata è la potenza del Test. Esempio: DirigentiDirigenti 1.H0: Non cè differenza 2.Usiamo la distribuzione normale di Sx (n=25) 3.Regione di Rifiuto e Non rifiuto. = Valore della statistica test z 0 = La [Na+] media rilevata nel campione è la medesima misurata nella popolazione dei dirigenti Rifacciamo il Test di ipotesi per H1

59 Confronto fra Medie Verifica dIpotesi La Regione ha rilevato che lo stipendio medio lordo annuale dei Radiologi e dei Chirurghi è rispettivamente pari a e con s 1 =28000 e s 2 =32000; i valori sono ricavati da campioni di dimensioni n 1 =300 e n 2 =400. Possiamo affermare che le due categorie hanno la stessa retribuzione? Farmacon Latenza XDev. St. A2544 ore11 B2349 ore9 Prima Dopo Per verificare lefficacia di una dieta sul contenimento della pressione sistolica, un campione di adulti ipertesi è stato sottoposto a questo regime alimentare per tre mesi. La pressione sistolica in mmHg dei pazienti registrata prima e dopo la dieta è la seguente: Possiamo affermare che la pressione sistolica dopo la dieta è in media più bassa? Con quale livello di significatività? su due gruppi di pazienti ha dato i seguenti valori. Possiamo affermare che il farmaco A è più efficace del farmaco B?. Con quale livello di significatività Una casa farmaceutica ha dichiarato che il farmaco A, un analgesico da essa prodotto, agisce più rapidamente del farmaco B prodotto da una ditta concorrente. Un test eseguito

60 Una/Due Popolazioni Una popolazione Media Deviazione standard Stima di X ; stima di s Dimensioni n Errore standard X = / n, s X = s / n Statistica del Test z 0 =(X – )/ X ; z =(X – )/ s X Due popolazioni Media e ; Differenza Deviazione Standard e Stima X 1 e X 2, X 1 X 2 Dimensioni n 1 ed n 2 Errore standard X1 = 1 / n 1, X2 = 2 / n 2 s X1 = s 1 / n 1, s X2 = s 2 / n 2 X1-X2 e s X1-X2 …. Statistica del Test Z 0 = [(X 1 – X 2 )-( – )] / X1-X2

61 Distribuzione campionaria di X 1 - X 2 Media Teorema del limite centrale Per campioni di grandi dimensioni n 1 ed n 2, la distribuzione della variabile casuale differenza, X 1 – X 2, ha approssimativamente la forma di una normale, indipendentemente dalla forma delle distribuzioni di X 1 ed X 2. Se n 1 ed n 2 sono grandi, la differenza fra due variabili casuali, X 1 – X 2,, è una variabile casuale distribuita secondo la normale. Deviazione standard Deviazione standard campionaria

62 Test di Ipotesi su 1 2 Campioni Indipendenti – n 1 >30, n 2 >30 1.H0: - H1: - 2.Distribuzione normale 3.Regione di Rifiuto e Non rifiuto. = 0.01, = z c1 = -2.58, z c2 = Valore della statistica test z 0 = Non Rifiuto H0: - La Regione ha rilevato che lo stipendio medio lordo annuale dei Radiologi e dei Chirurghi è rispettivamente pari a e con s 1 =28000 e s 2 =32000; i valori sono ricavati da campioni di dimensioni n 1 =300 e n 2 =400. Possiamo affermare con livello di significatività =0.01 che le due categorie hanno la stessa retribuzione? Esempio: DifferenzaMedieDifferenzaMedie

63 Test su Campioni Indipendenti ( n 1 <30, n 2 <30; distribuzione t) – 1 = 2, non note Deviazione standard raggruppata. Possiamo raggruppare le deviazioni standard dei campioni. La deviazione standard raggruppata (pooled) s p è Dati n 1,n 2 ed s 1,s 2 le dimensioni e la deviazione standard dei campioni, i valori n 1 -1 ed n 2 -2 sono rispettivamente i gradi di libertà del I e del II campione; ed il valore n 1 +n 2 -2 indica i gradi di libertà dei campioni raggruppati Deviazione standard di X 1 -X 2. Data la deviazione standard raggruppata, s p, la stima della deviazione standard campionaria s X1-X2 è data dalla formula. Statistica di test t per X 1 -X 2. La statistica di test t è data dalla formula a lato e stima il rapporto Segnale/Rumore. Il valore 1- 2 è sostituito dalla ipotesi nulla.

64 Test dipotesi su 1 2 con 1 = 2 Vogliamo verificare il contenuto calorico di due bibite dietetiche. I campioni hanno dimensioni n 1 = 14 ed n 2 = 16, i valori di media e deviazione standard campionaria sono rispettivamente: X 1 = 23, s 1 = 3 e X 2 = 25, s 2 = 4. Il livello di significatività richiesto è = H0: - H1: - 2.Distribuzione t 3.Regione di Rifiuto e Non rifiuto. = 0.01, = Gradi di libertà n 1 +n 2 -2=28 tc1 = , tc2 = Valore della statistica test t = Non Rifiuto H0. Il contenuto di calorie è il medesimo Esempio: DifferenzaMedieDifferenzaMedie

65 Test su Campioni Indipendenti n 1 <30, n 2 <30 – 1, 2 diverse e non note Gradi di libertà. Se i campioni di dimensioni n 1 <30, n 2 <30 provengono da distribuzioni approssimativamente normali con 1 2 non note, la distribuzione t che descrive la differenza fra le medie ha gradi df di libertà. Dati n1, n2, ed s 1,s2 rispettivamente le dimensioni e la deviazione standard dei campioni, le quantità n 1 -1 ed n 2 -1 sono i gradi di libertà del I e e del II campione. Deviazione standard di X 1 -X 2. Data la deviazione standard raggruppata, s p, la stima della deviazione standard campionaria s X1-X2 è data dalla formula. Statistica del test t per X 1 -X 2. La statistica di test t è data dalla formula a lato ed è una stima del rapporto Segnale/Rumore. Nella formula il valore 1- 2 è sostituito dalla ipotesi nulla.

66 Test su Campioni Appaiati Campioni appaiati. Due campioni A e B sono detti appaiati quando ciascun valore di A ha un valore corrispondente in B, ed entrambi questi valori provengono dalla medesima sorgente. 1.Calo del peso corporeo di 15 persone che seguono una dieta mirata ed eseguono attività fisica: il data-set A = {15 valori del peso rilevati prima della dieta}; il data-set B = {15 valori del peso rilevati dopo la dieta}. 2.Produzione di patate in q/ht ottenuti da 10 appezzamenti di terreno trattati con il fertilizzante A ed il fertilizzante B: gli appezzamenti sono stati divisi in due parti. I Data set sono composti da A={10 valori di q/ht}; B={10 valori di q/ht}. In campioni appaiati la differenza fra i due valori associati al medesimo soggetto è detta differenza appaiata ed è indicata con d. Poiché il numero dei valori in A e B è il medesimo consideriamo i valori della differenza d come un unico campione ed eseguiamo il test di potesti ponendo quale ipotesi zero una condizione sui valori della distanza d.

67 Differenze appaiate d Con differenze appaiate d si indicano i valori di una variabile casuale calcolata come differenza fra le coppie di valori presenti nei due campioni. Dati i campioni appaiati A e B, di dimensioni n, il campione con le differenze d ha dimensioni n e gradi di libertà n-1. Indichiamo con d e d la media e la deviazione standard della popolazione differenze appaiate d e s d la media e la deviazione standard del campione delle differenze appaiate A. Se n è grande (n 30), per il teorema del limite centrale la distribuzione campionaria di d è approssimativamente normalecon media d = d e deviazione standard d = d / n. La distribuzione normale standard descrive i valori della distanza d e per la verifica di ipotesi si usa il test z. B.Se n è piccolo (n<30), d è non nota, e la popolazione delle differenze d è approssimativamente normale, per fare una inferenza statistica sulla media delle differenze si utilizza la distribuzione-t. In questo caso il valore di s d = s d / n è una stima della deviazione standard campionaria.

68 Test dipotesi sulla media d Per verificare lefficacia di una dieta sul contenimento della pressione sistolica, un campione di adulti, sospetti ipertesi, è stato sottoposto a questo regime alimentare per tre mesi. La pressione sistolica in mmHg dei pazienti registrata prima e dopo la dieta è indicata in tabella; con livello di confidenza pari al 5% possiamo concludere che la media delle differenza appaiate è diverso da zero cioè che la dieta è efficace? PrimaDopodd d=35 d 2 =873 Esempio: AppaiatiAppaiati –H0: d=0; H1: d 0 –n=7 distribuzione t con df=n-1 = 6 – = 0.05; = 0.025; t c = –Statistica t 0 : –Accetto H0

69 Test Chi-Quadro ( 2) 1.Verifica di Ipotesi dati categorizzati:Test di bontà di un adattamento (fit). 2.Verifica di Ipotesi per una Tabella di Contingenza: Test di Indipendenza e/o Omogeneità. 3.Verifica di Ipotesi varianza di una Popolazione 2. Esempi: TestChi2; Tabella 2TestChi2Tabella 2 Le verifiche di ipotesi utilizzano la distribuzione del chi-quadro ( 2).

70 Verifica di Ipotesi - Dati Multinomiali 1.Ad un campione di 100 persone che soffrono di allergie è stato chiesto in quale stagione dell'anno ne risentono maggiormente. Utilizzando un livello di significatività pari all'1% si vuole verificare l'ipotesi nulla: NON esiste una stagione particolare nella quale la sintomatologia è accentuata. 2.Ad un campione di 300 insegnanti è stato posto il seguente quesito: "Sei favorevole ad inasprire le punizioni per gli studenti indisciplinati e violenti? Utilizzando un livello di significatività pari all'1% si vuole verificare se la risposta non dipende dal insegnante uomo o donna. 3.Negli AA 2003/04 e 2004/05 il punteggio medio ottenuto dagli studenti immatricolati al CdL in MC è molto simile. Vogliamo verificare se gli studenti hanno la medesima preparazione mettendo a confronto la distribuzione delle frequenze del punteggio desame. La verifica dipotesi è eseguita con il 5% di affidabilità

71 Esperimento Multinomiale 1.Lesperimento è costituito da n prove (ripetizioni) identiche 2.Lesperimento ha k>2 possibili risultati (categorie, classi) 3.Le prove eseguite durante lesperimento sono indipendenti 4.La probabilità dei k risultati rimane costante durante lesperimento A)Valutazione dei corsi: Soddisfatto, Non soddisfatto, Non so B)Punteggi ottenuti al Test di Ammissione divisi in classi C)Tempo di Corretto funzionamento di un Apparecchiatura Esempio: test di Ipotesi per esperimenti con più categorie: test di bontà delladattamento (fit). 1.Valori raggruppati in classi, il numero di eventi/classe è detto Frequenze Osservate 2.Il Test sulla bontà di un fit verifica la validità dellipotesi nulla H0: le frequenze osservate hanno un ben preciso comportamento: una data distribuzione teorica. 3.La distribuzione teorica fornisce una serie di Frequenze Attese. Lipotesi H0 viene accettata o rifiutata sulla base delle differenze fra le Frequenze Osservate e le Frequenze Attese

72 Distribuzione Chi-Quadro ( 2 ) Distribuzione 2. La distribuzione- 2 è posta a destra dellasse delle ascisse, ed è completamente descritta da un solo parametro, i Gradi di Libertà df. Per piccoli valori di df, ha forma asimmetrica verso destra, e diviene simmetrica per grandi valori di df. I Gradi di Libertà df sono definiti in modo diverso a seconda del test che utilizza la statistica 2. Area Totale sotto la curva = 1 Asimmetrica verso destra Valori 2 0 Media = df Deviazione Standard = 2xdf Esempi: TestChi2; Tabella 2TestChi2Tabella 2

73 Tabella della Distribuzione 2 – A Valore del 2 per un valore dellarea nella coda Dx = 0.1 e df=7

74 Tabella della Distribuzione 2 – B Valore del 2 per il valore dellarea nella coda Sx = 0.05 e df=12 Area nella coda Sx = 1 – Area nella coda Dx

75 Test di Bontà di un Fit Frequenze Osservate e Attese. Le frequenze ottenute dallesperimento si dicono Frequenze Osservate ( O ). Per una data classe o categoria le Frequenze Attese ( E ) sono date dalla formula. Dove n indica le dimensioni del campione, e p la probabilità che un elemento del campione appartenga ad una data classe (categoria) se lipotesi H0 è vera. pnEAttesaFrequenza Gradi di Libertà. Nel Test di Bontà di un Fit i gradi di libertà df sono dati dalla formula Dove k indica il numero di risultati (classi, categorie) possibili dellesperimento. 1 kdfLibertàdiGradi Statistica del Test. La Statistica test del Test di Bontà di un Fit è il 2 dato dalla relazione Il numeratore della frazione, la differenza ( O–E ), è il segnale ed il denominatore E è il rumore. Il Test di Bontà di un Fit è ad una coda. E EO 2 2 )(

76 Test di Bontà di un Fit - Esempi Distribuzione delletà di 100 persone fermate per guida in stato di ebbrezza Età – No Con livello di significatività 1% vogliamo rigettare lipotesi nulla che le persone fermate siano distribuite uniformemente su ciascuna fascia di età Ipotesi Nulla H0 ed Ipotesi Alternativa H1 H0: Distribuzione uniforme: p 1 = p 2 = p 3 = p 4 = p 5 = 0.2 H1: Distribuzione non uniforme: almeno due valori di p i sono 0.2 Regione di Accettazione e Rigetto Livello di Significatività 0.01 Area nella coda Dx = = 0.01 Gradi di Libertà df = k –1 = 5-1 = 4 Valore critico 2 = Decisione Il valore della statistica 2 = è maggiore del valore critico 2 = e cade nella regione di rigetto. Quindi non ce sufficiente evidenza per accettare H0, cioè la distribuzione delle persone è non uniforme Rigetta H0 = 0.01 Valore critico di 2 Accetta H0

77 Tabella di Contingenza Contratto dei Dipendenti dellAzienda Ospedaliera &%$£=! IndeterminatoDeterminatoTotale Maschi Femmine Totale Tabella di Classificazione o di Contingenza a 2 Vie 1 Osservazione (il Dipendente) con 2 Attributi o Variabili (Genere, Contratto) 2 Righe per il Genere e 2 Colonne per il Contratto 4 Celle dove sono riportate le frequenze osservate per ciascuna coppia di attributi 2 Totali di Riga e 2 Totali di Colonna N.B. La tabella di contingenza può avere un numero qualsiasi di Righe e Colonne ed è indicata come tabella RxC

78 Test di Indipendenza Test di Indipendenza. In un Test di Indipendenza per una tabella di contingenza verifichiamo lipotesi nulla H0 che gli Attributi di una popolazione NON SONO fra loro dipendenti (sono indipendenti), contro lipotesi alternativa H1 che i due caratteri SONO dipendenti. Esempi. Genere e Contratto; Reddito e Affiliazione ad un Partito; Statistica del Test di Indipendenza. Il valore della statistica test 2 per il test di indipendenza è dato dalla formula Dove O ed E sono rispettivamente le frequenze Osservate ( O ) ed Attese ( E ) per ciascuna cella. E EO 2 2 )( Gradi di Libertà. Nel Test di Indipendenza verifichiamo lipotesi nulla che due Attributi di una popolazione sono Indipendenti. Poiché questi sono specificati come Righe e Colonne di una tabella, i gradi di libertà df per il test di indipendenza sono dati dalla formula Dove R e C sono rispettivamente il numero di Righe e Colonne. )11 CRdf

79 Test di Indipendenza Calcolo delle Frequenze Attese E Frequenze Osservate O FavorevoleContrarioNon SoTotale Uomo Donna Totale Ipotesi H0: U/D medesimo parere H1: U/D pareri diversi Punizioni agli studenti violenti e indisciplinati. Insegnanti U e D; parere F, C, NS Step per la Verifica 1.Assumiamo vera H0 2.Calcoliamo la P(Cella) 3.Calcoliamo il valore E Frequenze Attese. Per Ciascuna Cella il valore Atteso E è dato dalla formula Probabilità. Assumendo che gli attributi siano indipendenti, la probabilità che linsegnante sia un Uomo e che questi sia Favorevole, P(U and F), si calcola come prodotto dei valori P(U) e P(F)

80 Test di Indipendenza - Esempio Frequenze Osservate O ed Attese ( E ) FavorevoleContrarioNon SoTotale Uomo 93 (105) 70 (59.5) 12 (10.5) 175 Donna 87 (75) 32 (42.5) 6 7.5) 125 Totale Punizioni agli studenti violenti ed indisciplinati Valore Limite GL : df = (R-1)x(C-1) =(2-1)x(3-1) = 2 Alfa : 0.01 (1%) 2 : Ipotesi H0: Genere e Opinione Indipendenti H1: Genere e Opinione Dipendenti Calcolo della Statistica test 2 Decisione Il valore della statistica test 2 = è minore del valore critico 2 = e cade nella regione di non rigetto di H0. Quindi nel data set esaminato non ce sufficiente evidenza per rifiutare H0, a livello di confidenza pari a 1%. In altri termini gli attributi scelti a rappresentare la popolazione degli insegnati, Genere e Opinione sullinasprimento della disciplina sono indipendenti Esempi: TestChi2TestChi2

81 Test di Omogeneità Test di Omogeneità. Il Test di Omogeneità è utilizzato per verificare se due o più popolazioni sono simili o omogenee rispetto alla distribuzione di una loro caratteristica. A) Preso un campione di Famiglie Monoreddito residenti nelle province di Ferrara e Bologna, si vuole verificare lipotesi nulla H0 che per entrambe le province queste famiglie e sono distribuite uniformemente nelle fasce di reddito Basso, Medio e Alto. B) Gli Studenti che superano il test di ingresso a Medicina negli AA 2003/ /05 hanno la medesima preparazione se suddivisi per classi di punteggio?. I) Punteggio 40; II) 40< Punteggio 50; III) 50< Punteggio 80. Il Test di Omogeneità esegue la verifica di ipotesi nulla (H0) che la proporzione delle osservazioni con certe caratteristiche in due o più popolazioni diverse è la medesima, contro lipotesi alternativa (H1) che questa proporzione è diversa. Punteggio Test Ammissione AA 2003/04AA 2004/05Totale P < P < P Totale Esempi: TestChi2TestChi2

82 Test di Omogeneità - Esempio Frequenze Osservate O ed Attese ( E ) BolognaFerraraTotale Alto 70 (65) 34 (39) 104 Medio 80 (75) 40 (45) 120 Basso 100 (110) 76 (66) 176 Totale Frequenze Attese Ipotesi H0: La distribuzione É la medesima H1: La distribuzione NON è la medesima Valore Limite GL : df = (R-1)x(C-1) =(3-1)x(2-1) = 2 Alfa : (2.5%) 2 c : Distribuzione delle famiglie Monoreddito per Classi Calcolo della Statistica test 2 : Decisione Il valore della statistica Chi2 = è inferiore al Valore Limite per il livello di confidenza scelto (Chi2 = 7.378) e cade nella regione di Accettazione. Quindi affermiamo che nel campione esaminato non c'è sufficiente evidenza per rifiutare l'ipotesi H0 e cioè le famiglie monoreddito di Ferrara e Bologna sono distribuite in modo omogeneo nelle classi di reddito prese in esame.

83 Inferenza circa la 2 di popolazione Accanto al test di ipotesi sulla media di popolazione è necessario dare una stima e fare un test di ipotesi sulla varianza 2 di una popolazione. Esempio. Supponiamo di volere verificare se le confezioni di biscotti prodotte da una macchina hanno peso pari a 32 once, e supposto che il peso reale sia diverso dal peso dichiarato vogliamo verificare se queste variazioni in difetto o in eccesso sono contenute entro limiti prefissati. Distribuzione della varianza campionaria. Se la popolazione dalla quale è estratto il campione è approssimativamente normale, il rapporto fra varianza campionaria e varianza di popolazione ha distribuzione chi-quadro con n-1 gradi di libertà. Test dipotesi su. Il valore della statistica del test 2 è dato dal rapporto fra varianza campionaria s 2 e varianza di popolazione moltiplicato per il numero di gradi di libertà n-1. Nota. Il test di ipotesi sulla varianza di popolazione 2 può essere ad una o due code

84 Test dIpotesi sulla 2 Una ditta dolciaria produce un tipo di biscotti in confezioni di peso netto pari a a 32 once, con una varianza dichiara di 2 =0.015 once al quadrato. Periodicamente il servizio di controllo della qualità seleziona un campione di confezioni, calcola la varianza del peso netto di questi pacchetti ed esegue un test di ipotesi sulla varianza di popolazione. Lultimo test è stato effettuato su un campione di n=25 confezioni, la cui varianza è risultata pari a s 2 =0.029 once al quadrato. Possiamo affermare con un livello di affidabilità pari ad =0,01 che la linea di produzione delle confezioni di biscotti funziona correttamente? Il valore della statistica test 2=46,400 è maggiore del valore critico 2=42,980 e cade nella regione di rifiuto di H0. Ne deduciamo che la varainza di popolazione non è entro limiti accettabili ed è opportuno calibrare nuovamente le macchine Esempi: TestChi2BTestChi2B Test di ipotesi 1)H ; H0 2 >0.015; Test a una coda Dx 2)Distribuzione del 2 con df=n1-1=24 =0,01 3)Valore critico 2 per df=24, = 0.01 è pari 42,980 2 =(n-1)s 2 / 2 =24*(0.029/0.015)=46,400 5)Decisione: Rifiuto H0.

85 One-way ANOVA –Esempio –La descrizione dei dati –Le assunzioni del modello –Il modello lineare e le ipotesi –Il Rapporto di Varianza (statistica del test) –La distribuzione di Fisher –La regola di decisione

86 Comparazione di 4 dentifrici Valutazione della azione sbiancante Quattro tipi diversi di dentifricio sono esaminati per verificare il loro potere sbiancante; i dentifrici, indicati con la sigla T1, T2, T3, e T4 sono prodotti con la medesima ricetta e si differenziano solo per la sostanza sbiancante. Il bianco prodotto da ciascun dentifricio è valutato da sei volontari su una scala di valori compresa fra 0 a 30 gradi. In precedenza i volontari avevano usato il medesimo dentifricio. Vogliamo rispondere alle seguenti domande: A) esiste una minima differenza fra i 4 dentifrici? B) Se esiste una differenza vogliamo individuare quale prodotto è il migliore? Per verificare se i 4 dentifrici hanno il medesimo potere sbiancante potremmo utilizzare la VI fra le medie di popolazioni, eseguendo 6 VI fra coppie di T i. Ciascuna VI ha probabilità (1- ) di essere accettata e, poiché le 6 VI sono fra loro indipendenti, per =0,05 la probabilità di accettare lipotesi H0: non cè differenza fra i dentifrici è uguale a (1- ) 6 =0,75, molto più bassa del livello di significatività di una sola VI Per rispondere alla domanda A) senza ridurre il livello di significatività dobbiamo eseguire la verifica di ipotesi: H0: T1 = T2 = T3 = T4 contro lipotesi alternativa H1: non tutte le medie sono uguali. Nel caso in cui H0 sia rifiutata la media Ti con il valore più elevato risponde alla domanda B).

87 Descrizione dei Dati Soggetti v1v2v3v4v5v6 T T T T StatisticaT1T2T3T4 Mediana Range IQR Media Deviazione standard Le sostanze sbiancati sembrano avere efficacia diversa. Il valore medio 2, il simbolo (+), è di poco superiore a 1, mentre i valori medi 3 e 4 sono nettamente diversi. La linea orizzontale allinterno del Box indica la mediana; il simbolo + la media. Valori misurati y ji Sostanza

88 Le assunzioni del modello –Il data-set è costituito da I campioni casuali indipendenti, ognuno è estratto da una popolazione diversa. –Ognuna delle popolazioni, dai quali sono estratti i campioni, è normale con media i e la medesima varianza A) Tre popolazioni con media simile e medesima varianza A B B) Tre popolazioni con media diversa e varianza diversa Dal confronto fra i Box-and- wisker plots è possibile ricavare informazioni sulle popolazioni? Simulazione

89 Soggetti TotaleMediaVarianza v1v2v3v4v5v6nyi. SQW T T T T k Somma e Media dei Quadrati

90 Modello Lineare e Ipotesi Modello lineare: Ipotesi H0: 1 = 2 = 3 = 4H0: 1 = 2 = 3 = 4 = 0 H1: non tutte le i sono uguali

91 Stime di 2 e Rapporto di Varianza La 2° stima di 2. La media quadratica fra i gruppi, MSB, fornisce una stima non distorta della varianza comune a tutte le popolazioni. La 1° stima di Allinterno di ogni gruppo la media quadratica, MSW, fornisce una stima non distorta della varianza della popolazione dalla quale proviene il campione. Se lipotesi H0 è vera ci dovremmo aspettare che le due stime di siano in valore assoluto abbastanza simili. Se lipotesi H0 è falsa, ovvero se tutte le medie delle popolazioni non sono uguali, ci dovremmo aspettare che la media quadratica fra i gruppi (MSB) sia più grande della media quadratica allinterno dei gruppi (MSW). Il Rapporto Segnale Rumore. Per confrontare le due stime di 2 utilizziamo il rapporto segnale/rumore (SNR) che è la statistica del test Se le due stime sono pressoché uguali, allora il RV è vicino a 1. Il valore di SNR vicino a 1 tende ad avvalorare lipotesi che le medie delle popolazioni siano uguali. Se SNR è molto maggiore di 1, lipotesi di uguaglianza fra le medie di popolazione cade.

92 Distribuzione di Fisher – Test F Il rapporto SNR =MSB/MSW (varianza fra gruppi/varianza dentro i gruppi), la varianza al numeratore ha k-1 gradi di libertà (numero di gruppi -1), mentre i gradi di libertà al denominatore sono N-k (numero totale di osservazioni – k). Definita la distribuzione di Fisher, è scelto il livello di significatività, la dimensione del SNR rappresenta levidenza sperimentale in base alla quale accettare o rifiutare H0. il numero dei gradi di libertà della varianza campionaria che sta al numeratore della statistica F (num); il numero di gradi di libertà della varianza campionaria che sta al numeratore (den) df=(num,den) La distribuzione di probabilità di Fisher descrivere la distribuzione dei valori del rapporto - s 1 2 ed s 2 2 sono la varianza campionaria dei campioni estratti dalle popolazioni normali di varianza 1 2 ed 2 2. La distribuzione F è una famiglia di distribuzioni descritta da due parametri:

93 Tabella ANOVA Tabella della ANOVA1- ANOVA ad una via N –numero totale osservazioni; k – numero gruppi; nk – numero osservazioni/gruppo Fonte di variazione Somma dei quadrati Gradi di libertà Media quadratica Rapporto di varianza Fra gruppi Allinterno dei gruppi Totale

94 Decisione v1v2v3v4v5v6 T T T T RIEPILOGO GruppiConteggioSommaMediaVarianza T T T T ANALISI VARIANZA Origine della variazioneSQgdlMQF Valore di significativitàF crit Tra gruppi In gruppi Totale Excel - ANOVA1 DentifricioDentifricio; EsempiEsempi

95 Appendice A Excel – Funzioni Statistiche Predefinite Statistica descrittiva Frequenza, Indicatori, … Distribuzioni Probabilità Dirette e Inverse

96 Appendice B Excel – Work Book ANALISI DATI

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