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Le competenze nella didattica della matematica … e le conoscenze? 1.

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Presentazione sul tema: "Le competenze nella didattica della matematica … e le conoscenze? 1."— Transcript della presentazione:

1 Le competenze nella didattica della matematica … e le conoscenze? 1

2 Rapporto tra conoscenze e competenze: alcune rif lessioni Alcune proposte didattiche Il metodo Ocse -Pisa

3 Esercizio 13 (10 punti) Zorro è qui ! In un triangolo rettangolo i cui lati misurano 20 cm, 16 cm, 12 cm Don Diego de la Vega traccia una Z con la punta della sua spada; scompone così il triangolo in 4 triangoli equivalenti. La sua Z è una linea spezzata formata da 3 segmenti le cui estremità sono situate sui lati o sui vertici del triangolo rettangolo. Presentare tre soluzioni per questa partizione. Per ogni soluzione precisare la posizione sui lati del triangolo rettangolo dei quattro punti formanti la Z. MATEMATICA SENZA FRONTIERE (prova di accoglienza) 3

4 Di cosa cè bisogno? - Conoscenze sulla similitudine - Capacità di applicarle - Una certa mentalità combinatoria 4

5 Definizioni QEQ 2007 Conoscenze: indicano il risultato dellassimilazione di informazioni attraverso lapprendimento. Le conoscenze sono linsieme di fatti, principi, teorie e pratiche, relative a un settore di studio o di lavoro. Le conoscenze sono descritte come teoriche o pratiche. 5

6 Definizioni QEQ 2007 Abilità: indicano la capacità di applicare conoscenze e di usare know-how per portare a termine compiti e risolvere problemi. Le abilità sono descritte come cognitive (uso del pensiero logico, intuitivo o creativo), e pratiche (che implicano labilità manuale e luso di metodi, materiali, strumenti) 6

7 Definizioni QEQ 2007 Competenza: comprovata capacità di usare conoscenze, abilità e capacità personali, sociali e/o metodologiche, in situazioni di lavoro o di studio e nello sviluppo professionale e/o personale; le competenze sono descritte in termini di responsabilità e autonomia. 7

8 Saper usare spazzolone e detersivo per tenere pulito un ambiente è un compito, un risultato atteso esito di conoscenze (quale detersivo utilizzare per pulire il pavimento) e abilità (saper usare lo spazzolone …); garantire ligiene e la pulizia di un ambiente è una competenza, che implica un livello di responsabilità, la capacità di giudicare il momento e il modo di intervenire, un certo grado di sensibilità per lordine, in cui abilità e conoscenze sono elementi necessari ma non sufficienti. Per esemplificare 8

9 Dalla scheda di presentazione del Corso: Il corso ha come primo obiettivo una doverosa introduzione ad esse (competenze), ma non vorrebbe limitarsi a questo; unanalisi ancora iniziale del termine competenze suggerisce utili riflessioni sullesperienza di insegnamento- apprendimento: la competenza non come ultima moda a cui adeguarsi controvoglia, ma occasione per considerare con attenzione il vissuto quotidiano in classe. 9

10 S Ronchi (Per questo) Ci sono conoscenze morte, meccaniche Ci sono conoscenze morte, meccaniche E conoscenze attive (competenze) E conoscenze attive (competenze)

11 Un esempio: la somma di frazioni Conoscenza (sapere come si fa e perché) Abilità (saper calcolare agilmente) Competenze (utilizzare in contesti più ampi: frazioni algebriche) 11

12 Un esempio: la somma di frazioni Ancora…. Somme di coefficienti binomiali Integrazione di funzioni razionali fratte: Trovare due numeri A e B tali che: 12

13 Convegno di Frascati (marzo 1999): Definire le competenze per la scuola dellautonomia Le competenze si esplicano come utilizzazione e padroneggiamento delle conoscenze. Si supera in tal modo la tradizionale separazione tra sapere e saper fare: ogni acquisizione teorica contiene e stimola implicazioni pratiche e ogni abilità pratica presume e sollecita implicazioni teoriche. 13

14 Lerrore può essere una opportunità! Quali conoscenze sono attive? Quali conoscenze sono attive? A quale livello è posseduta la competenza richiesta? A quale livello è posseduta la competenza richiesta? 14

15 Esempio: determinare il dominio della funzione Tutto bene: studio dei segni dei fattori, grafico riassuntivo corretto. Conclusione: la quantità sotto radice è positiva o nulla per, ma essendo la funzione sotto radice si devono escludere i valori negativi quindi la soluzione è: 15

16 Altro esempio: IL PROBLEMA DELLO ZERO Dagli errori degli studenti si capisce quale è la conoscenza attiva dello zero Es.1 : ax 2 +bx=0 Es.1 : ax 2 +bx=0 Δ=b 2 -4a ( c non cè!) Δ=b 2 -4a ( c non cè!) Es.2 : nella divisione tra polinomi o nella regola di Ruffini, il problema dei termini mancanti Es.2 : nella divisione tra polinomi o nella regola di Ruffini, il problema dei termini mancanti 16

17 Provo a interpretare La conoscenza attiva dello zero in questi errori è quella di un numero che indica che non cè niente. Deve evolvere la consapevolezza dello 0 come operatore, come elemento assorbente, consapevolezza necessaria per la risoluzione delle equazioni, per luso critico delle semplificazioni 17

18 Convegno di Frascati (marzo 1999): Definire le competenze per la scuola dellautonomia Le competenze si configurano altresì come strutture mentali capaci di trasferire la loro valenza in diversi campi, generando così dinamicamente anche una spirale di altre conoscenze e competenze. Una specifica competenza disciplinare comporta infatti anche lacquisizione di una forma mentis (ad esempio "saper risolvere un problema") utilizzabile nelle più diverse situazioni. In quanto tali, le competenze favoriscono la connessione in termini dialetticamente calibrati della propria duplice dimensione disciplinare e trasversale. 18

19 ESEMPIO: il concetto di funzione L utilizzo della matematica nella fisica rivela che spesso le conoscenze sono morte Quando si studiano i moti e le loro leggi orarie emerge con chiarezza il problema relativo al concetto di funzione; ad esempio cè difficoltà ad utilizzare s=vt+s 0 senza sostituire a t un valore: lespressione matematica deve dare un risultato! COSA DEVE MATURARE? 19

20 Si potrebbe dire: Lesperienza del concetto di funzione 20

21 Fare esperienza in matematica Fare esperienza in matematica Fare esperienza della matematica Fare esperienza della matematica 21

22 Hans Freudenthal LA MATEMATICA COME REINVENZIONE GUIDATA 22

23 « Il valore che si attribuisce ai discenti come esseri umani determina il modo in cui ci si aspetta che essi imparino la loro matematica: con libertà oppure da schiavi, guidati oppure imbrigliati. ( Da «Ripensando leducazione matematica » di Hans Freudenthal ) 23

24 «Il fare matematica è essenzialmente una attività. Il discente deve reinventare il fare matematica piuttosto che la matematica; lazione di astrarre piuttosto che le astrazioni; il formalizzare piuttosto che costruire delle formule; il costruire algoritmi piuttosto che gli algoritmi; il parlare piuttosto che il linguaggio…… » (Da «Ripensando leducazione matematica » di Hans Freudenthal ) 24

25 UN TENTATIVO Lintroduzione delle funzioni goniometriche 25

26 Dalla similitudine dei triangoli alle funzioni goniometriche funzioni goniometriche 26

27 , 27 VAI A CABRI

28 Diamo i nomi 28 VAI A CABRI

29 E se langolo è ottuso? Come fare per generalizzare? Quale ambiente permette una maggiore libertà? Si possono IMMAGINARE angoli maggiori dellangolo giro, angoli negativi? PIANO CARTESIANO 29

30 VAI A CABRI 30

31 …… E pian piano cresce lesperienza dell oggetto mentalefunzione. ……. E al momento opportuno, preparato con altre esperienze il passaggio alle funzioni inverse è meno traumatico. 31

32 Dall Allegato A Il profilo culturale, educativo e professionale dei Licei Dall Allegato A Il profilo culturale, educativo e professionale dei Licei … Essere consapevoli della diversità dei metodi utilizzati dai vari ambiti disciplinari ed essere in grado valutare i criteri di affidabilità dei risultati in essi raggiunti. … Essere consapevoli della diversità dei metodi utilizzati dai vari ambiti disciplinari ed essere in grado valutare i criteri di affidabilità dei risultati in essi raggiunti. E una competenza da sviluppare allinterno della stessa matematica 32

33 EsempioEsempio: luoghi geometrici (Lavoro di gruppo) Esempio Data una circonferenza e un suo punto A, determinare il luogo dei punti medi delle corde della circonferenza che hanno un estremo in A 33 Vai a Cabri

34 Un esempio di didattica laboratoriale 34

35 Dal piano A una donna ricoverata in ospedale, viene fatta uniniezione di 300 milligrammi (300mg) di penicillina alle 8.00 del mattino. Lorganismo della donna smaltisce gradualmente la penicillina in modo che, unora dopo liniezione, solo il 60% della penicillina è ancora presente nel suo corpo. Questo processo continua: al termine di ogni ora è ancora presente solo il 60% della penicillina che si trovava nel corpo alla fine dellora precedente. 35

36 Si chiede di analizzare la quantità di medicinale presente nel corpo della donna al passare del tempo con due attività complementari a) Completare manualmente una tabella b) Costruire un foglio Excel e allinterno di esso un grafico foglio Excel foglio Excel oraPenicillina presente nel corpo (mg.)

37 Da qui …… Progressioni aritmetiche e geometriche Forme ricorsive (Pascal) Funzione esponenzialeesponenziale ……. 37

38 a) Qual è il valore massimo del farmaco presente nel corpo della studentessa dopo 3 giorni? E dopo 4 giorni? E dopo 10 giorni? b) Cercate di studiare levoluzione della quantità massima di farmaco presente nel corpo al variare del tempo; in particolare, cercate di capire che cosa accadrebbe se la studentessa continuasse a prendere il farmaco per molto tempo, supponendo che la sua capacità di smaltirlo rimanga invariata. Pensate che la quantità del farmaco nel suo organismo aumenterebbe sempre? Oppure no? Pensate che la quantità del farmaco nel suo organismo aumenterebbe sempre? 38 Una studentessa si è prodotta una distorsione al ginocchio e il suo dottore le ha prescritto un farmaco anti - infiammatorio per ridurre il gonfiore. Deve prendere due pastiglie da 220 mg ogni 8 ore per 10 giorni. Il suo corpo, ogni 8 ore, riesce a smaltire il 60% di questo farmaco.

39 LINDAGINE OCSE-PISA 39

40 40 COMPETENZA MATEMATICA ELENCO DELLE COMPETENZE LIVELLI Riproduzione Connessione Riflessione METODO DI OCSE-PISA

41 COMPETENZE : INDAGINI OCSE PISA Competenza matematica è la capacità di un individuo di identificare e comprendere il ruolo che la matematica gioca nel mondo reale, di operare valutazioni fondate e di utilizzare la matematica e confrontarsi con essa in modi che rispondono alle esigenze della vita di quellindividuo in quanto cittadino che esercita un ruolo costruttivo, impegnato e basato sulla riflessione 41

42 42 LE COMPETENZE LE COMPETENZE LE COMPETENZE LE COMPETENZE Pensiero e ragionamento Pensiero e ragionamento Argomentazione Argomentazione Comunicazione Comunicazione Modellizzazione Modellizzazione Formulazione e risoluzione di problemi Formulazione e risoluzione di problemi Rappresentazione Rappresentazione Uso del linguaggio simbolico, formale e tecnico delle operazioni Uso del linguaggio simbolico, formale e tecnico delle operazioni Uso di sussidi e strumenti Uso di sussidi e strumenti

43 43 Queste competenze possono essere possedute a diversi livelli di padronanza e non possono essere valutate separatamente una dallaltra in quanto, quando si utilizza la matematica, è necessario attingere contemporaneamente a più di una competenza per volta.

44 44 Per questo motivo, il Quadro di riferimento distingue tre diversi raggruppamenti di competenze: Riproduzione Connessione Riflessione

45 45 Il raggruppamento della Riproduzione:Riproduzione: le competenze di tale raggruppamento consistono nella riproduzione di conoscenze note, nellapplicazione di algoritmi standard, nellesecuzione di procedure di routine, sempre allinterno di ambiti familiari.

46 46 Il raggruppamento delle Connessioni:Connessioni: le competenze di tale raggruppamento richiedono di saper integrare e mettere in connessione elementi che fanno parte di diverse aree di contenuto, saper collegare diverse rappresentazioni di un problema, allinterno di situazioni che non sono più di semplice routine.

47 47 Il raggruppamento della Riflessione:Riflessione le competenze di tale raggruppamento si basano su elementi di riflessione da parte degli studenti sui procedimenti utilizzati per risolvere un problema, sulla capacità di saper sviluppare strategie, utilizzando abilità logiche e di ragionamento e sullapplicazione di tali strategie in ambiti problematici più complessi e meno familiari rispetto ai raggruppamenti precedenti.

48 CONFRONTI: ESEMPIO 1 48 Pensiero e ragionamento. Questa competenza consiste: nel formulare domande di base (Quanti sono?, Quanto fa…?) e nel comprendere le rispettive risposte (Sono tanti… Fa tot…); nel distinguere tra definizioni ed asserzioni; nel comprendere e manipolare concetti matematici nel tipo di contesto in cui sono stati originariamente introdotti o in cui sono stati successivamente esercitati Pensiero e ragionamento. Questa competenza consiste: nel formulare domande di base (Quanti sono?, Quanto fa…?) e nel comprendere le rispettive risposte (Sono tanti… Fa tot…); nel distinguere tra definizioni ed asserzioni; nel comprendere e manipolare concetti matematici nel tipo di contesto in cui sono stati originariamente introdotti o in cui sono stati successivamente esercitati. Pensiero e ragionamento. Questa competenza consiste nel formulare domande (Come trovo?, A quale matematica devo ricorrere per…?) e nel comprendere le relative risposte (che sono fornite per mezzo di tabelle, grafici, espressioni algebriche, figure ecc.), nel distinguere tra definizioni ed asserzioni e fra diversi tipi di asserzione, nel comprendere e manipolare concetti matematici in contesti un po diversi da quelli in cui sono stati originariamente introdotti o nei quali sono stati successivamente esercitati.. Pensiero e ragionamento. Questa competenza consiste nel formulare domande (Come trovo?, A quale matematica devo ricorrere per…?) e nel comprendere le relative risposte (che sono fornite per mezzo di tabelle, grafici, espressioni algebriche, figure ecc.), nel distinguere tra definizioni ed asserzioni e fra diversi tipi di asserzione, nel comprendere e manipolare concetti matematici in contesti un po diversi da quelli in cui sono stati originariamente introdotti o nei quali sono stati successivamente esercitati. RIPRODUZIONECONNESSIONE

49 CONFRONTI: ESEMPIO 2 ESEMPIO 2ESEMPIO 2 49 Argomentazione. Questa competenza consiste nel formulare semplici ragionamenti a carattere matematico senza distinguere fra dimostrazioni e forme più articolate di argomentazione o di ragionamento, nel seguire catene di ragionamenti matematici di diverso tipo e nel valutarne la validità; nellavere unidea delleuristica (Che cosa può o non può accadere? E perché?, Che cosa sappiamo e che cosa vogliamo ottenere?). Argomentazione. Questa competenza consiste nel formulare semplici ragionamenti a carattere matematico senza distinguere fra dimostrazioni e forme più articolate di argomentazione o di ragionamento, nel seguire catene di ragionamenti matematici di diverso tipo e nel valutarne la validità; nellavere unidea delleuristica (Che cosa può o non può accadere? E perché?, Che cosa sappiamo e che cosa vogliamo ottenere?). Argomentazione. Questa competenza consiste nel formulare semplici ragionamenti di carattere matematico distinguendo fra dimostrazioni e forme più articolate di argomentazione o di ragionamento, nel creare catene di ragionamenti matematici di diverso tipo e nel valutarne la validità; nel far ricorso alleuristica (Che cosa può o non può accadere?, Quale può essere il caso? E perché?, Che cosa sappiamo e che cosa vogliamo ottenere?, Quali fra le proprietà sono essenziali?, In che relazione si pongono gli oggetti?). Argomentazione. Questa competenza consiste nel formulare semplici ragionamenti di carattere matematico distinguendo fra dimostrazioni e forme più articolate di argomentazione o di ragionamento, nel creare catene di ragionamenti matematici di diverso tipo e nel valutarne la validità; nel far ricorso alleuristica (Che cosa può o non può accadere?, Quale può essere il caso? E perché?, Che cosa sappiamo e che cosa vogliamo ottenere?, Quali fra le proprietà sono essenziali?, In che relazione si pongono gli oggetti?). CONNESSIONE RIFLESSIONE

50 50 Raggruppamento della riproduzione Raggruppamento delle connessioni Raggruppamento della riflessione • Rappresentazioni e definizioni standard • Calcoli di routine • Procedure di routine • Analisi e soluzione di problemi di routine • Modellizzazione • Analisi e soluzione di problemi standard, traduzione e interpretazione • Uso di molteplici metodi ben definiti • Formulazione, analisi e soluzione di problemi complessi • Riflessione e intuizione • Approccio matematico creativo • Uso di molteplici metodi complessi • Generalizzazione Diagramma dei raggruppamenti di competenze

51 51 La scala di competenza matematica Le competenze possono essere possedute a diversi livelli di padronanza per cui i quesiti del PISA sono costruiti in modo tale da permettere di rilevare le differenti prestazioni richieste nei vari livelli. (Tabella ). (Tabella ).

52 52 PROPOSTA DI LAVORO Completare, in itinere, la seguente tabella: la riflessione in corso dopera diventa un patrimonio da giocare anno dopo anno

53 53 competenze Pensiero e ragionamento ArgomentazioneComunicazioneModellizzazione Formulazione e risoluzione di problemi Rappresentazione Uso del linguaggio simbolico, formale e tecnico delle operazioni Uso di sussidi e strumenti Geometria analitica Disequazioni algebriche Goniometria (Funzioni, equazioni, disequazioni) Trigonometria (problemi) Matrici e sistemi lineari Probabilità e statistica Insiemi numerici Geometria solida Logaritmi ed esponenziali Analisi matematica Analisi numerica Geometrie non Euclidee


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