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Pg 1 Agenda per oggi l Cinematica 2-D, 3-D. Pg 2 Cinematica 3-D La posizione, la velocità e laccelerazione di una particella in 3 dimensioni può essere.

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1 Pg 1 Agenda per oggi l Cinematica 2-D, 3-D

2 Pg 2 Cinematica 3-D La posizione, la velocità e laccelerazione di una particella in 3 dimensioni può essere espressa come: rijk r = x i + y j + z k vijkijk v = v x i + v y j + v z k (i, j, k vettori unitari) aijk a = a x i + a y j + a z k Abbiamo già visto le equazioni della cinematica 1-D :

3 Pg 3 Cinematica 3-D Per 3-D, applichiamo semplicemente le equazioni 1-D a ciascuna delle equazioni delle componenti. Queste possono essere combinate nelle equazioni vettoriali : rrvrar r = r(t)v = dr / dta = d 2 r / dt 2

4 Pg 4 GRANDE IDEA!!: Trattare ciascuna componente del vettore indipendentemente. Per ottenere il moto completo in 3-D usiamo semplicemente la matematica vettoriale per sommare le componenti (SOVRAPPOSIZIONE). Esempio: per accelerazione costante abbiamo : a a = const vva v = v 0 + a t rrva r = r 0 + v 0 t + 1 / 2 a t 2 avvrr (dove a, v, v 0, r, r 0, sono tutti vettori)

5 Pg 5 Cinematica 2-D Fissiamo la nostra attenzione sui problemi 2-D : *Laritmetica dei vettori in 2-D non è molto differente da quella in 3- D. * I problemi 3-D possono essere ricondotti a problemi 2-D quando laccelerazione è costante: Scegliere lasse y lungo la direzione dellaccelerazione Scegliere lasse x lungo laltra direzione del moto Esempio Esempio: Lanciamo una palla (Trascuriamo la resistenza dellaria) Laccelerazione è costante (gravità) Scegliere lasse y verso lalto: a y = -g Scegliere lasse x lungo la terra nella direzione del lancio

6 Pg 6 Moto del proiettile Consideriamo una particella che si muove in due dimensioni, in caduta libera, con velocità v 0 e accelerazione di gravità g costante diretta verso il basso. Alle particelle in queste condizioni viene dato il nome di proiettile. R v0v0 v ox v 0y x y Questo è il percorso che il proiettile segue in condizioni ideali essendo lanciato con velocità iniziale v 0 che si può esprimere come :v o =v ox i+ v oy j e conoscendo langolo q si ha: v ox =v o cos e v oy =v o sen

7 Pg 7 Moto del proiettile Analizziamo il moto del proiettile orizzontalmente e verticalmente. MOTO ORIZZONTALE a x =cost v x =v 0x x-x 0 =v 0x t=(v 0 cos )t (1) MOTO VERTICALE Il moto verticale è quello di una particella in caduta libera con a= -g = cost e la variabile spaziale è y. Si ha. y-y 0 =v 0x t-1/2(gt 2 )=(v o sen )t – ½(gt 2 ) (2) v y =v o sen – gt e v y 2 =(v o sen ) 2 -2g(y-y 0 )

8 Pg 8 Diagrammma del Moto Proiettile

9 Pg 9 Possiamo trovare la traiettoria eliminando la variabile t fra le equazioni (1) e (2). Sostituendo nella (2) lespressione di t ricavata dalla (1) si ha: t= (x-x 0 )/v o cos y-y o =v 0 sen [(x-x 0 )/v 0 cos ]-1/2g [(x- x 0 )/v 0 cos ] 2 Da cui: y=y 0 +(x-x 0 )tan -g (x-x0) 2 /[v 0 cos ] 2 se y 0 =0 e x 0 =0 y= x tan -g x 2 /[v 0 cos ] 2 Questa è lequazione della traiettoria percorsa dal proiettile e poiché v 0,, e g sono delle costanti, lequazione ha la forma y=ax+bx 2 che è lequazione di una parabola e quindi il percorso è parabolico.

10 Pg 10 La gittata R del proiettile è la distanza orizzontale massima coperta dal proiettile allistante in cui ripassa alla quota di lancio. Per ricavarla abbiamo x – x0=R e y- y0=0 sempre nelle eq. (1) e (2) e si ha: R=v 0 cos t e 0= v 0 sen t – gt 2 /2 Eliminando la variabile t in queste due eq. si ha: t = R/v 0 cos e quindi R= 2v 0 2 sen cos /g e ricordando che sen2 =2sen cos si ottiene : R=v 0 2 sen2 /g Questa equazione è valida solo quando la quota finale è uguale alla quota di lancio. La gittata è massima per sen2 =1 cioè per 2 =90° ossia =45° Langolo prende il nome di alzo.

11 Pg 11 Ricapitolazione Cinematica 2-D, 3-D : Moto del Proiettile Independenza delle componenti x e y


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