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Insiemi di livello e vettori titolo A B f b f -1 (b) controimmagine di b mediante f f (b) Controimmagine.

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2 Insiemi di livello e vettori titolo

3 A B f b f -1 (b) controimmagine di b mediante f f (b) Controimmagine

4 A ALTITUDINE h 1000 h (1000) è la curva formata dai punti con altitudine 1000 m. ( linea di livello ) - 1 Linee di livello

5 A B f b f -1 (b) controimmagine di b mediante f f (b) ( insieme di livello ) insieme delle soluzioni dellequazione f(x) = b Una funzione è biettiva se e solo se tutti i suoi insiemi di livello hanno un solo punto Una funzione è biettiva se e solo se tutti i suoi insiemi di livello hanno un solo punto Insieme delle soluzioni

6 I M P O R T A N T E P E R I C A L C O L I : I M P O R T A N T E P E R I C A L C O L I : f è biettiva se e solo se :, lequazione : f (x) = b ha una e una sola soluzione: f (b) 1 x = Importante per i calcoli

7 RR f : R R, definita da: f(x) = 2x + 3 è biettiva. Infatti, per ogni numero reale b, lequazione : 2x + 3 = b ha lunica soluzione: Esempio : Esempio di funzione biettiva

8 Controesempio : f(x) = x 1 2 non è biettiva. Infatti, lequazione : x 1 = 3 2 ha due soluzioni: 2 e 2 RR f : R R, definita da: Inoltre, lequazione: x 1 = 2 2 non ha soluzioni in R, perché non esiste alcun numero reale x tale che: x = 1 2 Controesempio

9 3

10 PRESSIONE BAROMETRICA p A x 1032 p(x) = 1032 p -1 (1032) è la curva formata dai punti in cui la pressione vale 1032 ( isobara ) isobare

11 XoXo h X o + h k X o + k Incrementi in due variabili

12 x y f R2R2R2R2R XoXo h X o + h h1h1 h2h2

13 (2, 3) spostamento A 2 3 B componenti segmento orientato AB C 2 3 D segmento orientato CD AB || CD AB = CD segmenti orientati equipollenti Segmenti orientati

14 (2, 3)(2, 3) segmenti orientati equipollenti vettore v Concetto di vettore

15 (2, 3) v A B v = AB A = (x, y )B = (x+2, y+3 ) B = (x, y ) + ( 2, 3 ) B = A + v v = B A

16 (2, 3) v w (4, 1) A B C v+w (2, 3)+(4, 1) = (2+4, 3+1) Somma di vettori

17 (2, 3) v w (4, 1) A B C v+w (2, 3)+(4, 1) = (2+4, 3+1)

18 v w A B C v+w

19 v w A B C

20 v v A B 0 Vettore nullo e opposto

21 A v 2v2v 3v3v 2v

22 R C v v1v1v1v1 v2v2v2v2 v 1 v 2 (v 1,v 2 ) = ( v 1, v 2 ) A v B scalare Moltiplicazione per uno scalare

23 RnRnRnRn addizione: + moltiplicazione per uno scalare: Operazioni in R n

24 A B r v x y z X R3R3R3R3 tvtv X = A + tv equazioni parametriche f( t ) = ( a 1 + tv 1, a 2 + tv 2, a 3 + tv 3 ) f : R R 3 Rette in R 3

25 Risolvere lesercizio 5.8 a pag. 46

26 R3R3R3R3 x y z A B C u v X u v u + v X = A + u + v equazioni parametriche f( ) = ( a 1 + u 1 + v 1, a 2 + u 2 + v 2, a 3 + u 3 + v 3 ) f : R 2 R 3 Piani in R 3

27 Esercizio 5.11 a pag. 49

28 Unequazione lineare in n variabili è del tipo: retta in R 2 n = 2 n = 3 piano in R 3 sottoinsieme di dimensione n 1 IPERPIANO Concetto di iperpiano

29 A B v1v1 v2v2 v v | MODULO di v : v || d(A,B) := |A B| DISTANZA tra A e B : R2R2R2R2 Modulo e distanza nel piano

30 distanza tra due punti: d(A,B) := |A B| RnRnRnRn Modulo e distanza in R n

31 media aritmetica : vettore degli scarti scarto i -esimo Media e scarti

32 Deviazione Standard(o scarto quadratico medio) Varianza: Var(x) := s x 2 varianza

33 u 1 + u u n = 0 u := (u 1, u 2,..., u n ) n 1 gradi di libertà IPERPIANO Deviazione Standard Campionaria Varianza Campionaria Varianza campionaria

34 Risolvere gli esercizi 6.3 a pag. 57

35 RnRnRnRn PRODOTTO SCALARE RnxRnRnxRnR DOT PRODUCT Prodotto scalare

36 Pagina 134 Figura 5.1

37 u v || v || cos Proiezione di un vettore

38 v || v || cos versore u

39 v e1e1 e2e2 v1v1 v2v2 y1y1 y2y2 Versori degli assi

40 Coefficiente di correlazione lineare

41 X = (x 1, x 2, …, x n )Y = (y 1, y 2, …, y n ) u = (u 1, u 2, …, u n )v = (v 1, v 2, …, v n ) Misure su un campione

42 r xy Coefficiente di correlazione lineare tra x e y Coefficiente di correlazione

43 m > 0 u v = cos r xy Correlazione positiva

44 r xy m < 0 u v = cos Correlazione negativa

45 r xy = u v Correlazione nulla

46 COVARIANZA r xy Covarianza

47 Risolvere gli esercizi 6.3 a pag. 144

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