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Ancora sul teorema master Algoritmi e Strutture Dati.

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Presentazione sul tema: "Ancora sul teorema master Algoritmi e Strutture Dati."— Transcript della presentazione:

1 Ancora sul teorema master Algoritmi e Strutture Dati

2 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 2 La relazione di ricorrenza: Teorema Master (*) ha soluzione: a T(n/b) + f(n) se n>1 Θ(1) se n=1 T(n) = 1. T(n) = (n ) se f(n)=O(n ) per qualche >0 log b a log b a - 2. T(n) = (n log n) se f(n) = (n ) log b a 3. T(n) = (f(n)) se f(n)= (n ) per qualche >0 (ma sotto lulteriore ipotesi che f(n) soddisfi la condizione di regolarità: a f(n/b) c f(n) per qualche c<1 ed n sufficientemente grande) log b a +

3 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 3 Dimostrazione del caso 1 Albero della ricorsione

4 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 4 Proprietà dellalbero della ricorsione Proprietà 1: il numero di nodi a livello i dellalbero della ricorsione è a i (ricorda che la radice è a livello 0) Proprietà 2: i sottoproblemi a livello i dellalbero della ricorsione hanno dimensione n/b i Proprietà 3: il contributo al tempo di esecuzione di un nodo a livello i (escluso tempo chiamate ricorsive) è f(n/b i ) Proprietà 4: il numero di livelli dellalbero è log b n T(n)= a i f(n/b i ) i=0 log b n

5 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 5 …quindi, nel caso 1 Inoltre, T(n) a (ultimo termine della sommatoria) = n = Ω(n ), da cui la tesi. I casi 2 e 3 possono essere gestiti in modo analogo. QED log b n log b a

6 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 6 1) T(n) = n + 2T(n/2) a=2, b=2, f(n)=n= (n ) T(n)= (n log n) (caso 2 del teorema master) Esempi log 2 2 2) T(n) = c + 3T(n/9) a=3, b=9, f(n)=c= n ) T(n)= (n) (caso 1 del teorema master) log ) T(n) = n + 3T(n/9) a=3, b=9, f(n)=n= (n ) (caso 3 del teorema master) log T(n)= (n) 3(n/9) c n per c=1/3

7 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 7 4) T(n) = n log n + 2T(n/2) a=2, b=2, f(n) Θ (n ) (e quindi non ricade nel caso 2), ma non esiste alcun > 0 per cui f(n)= (n ) (n 1+ ) (infatti, per ogni > 0 ) Esempi log 2 2 log 2 2+ non si può applicare il teorema Master!


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