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Fuzziness: sorellastra dellincertezza o primadonna ? Pietro Baroni Dip. di Elettronica per lAutomazione Università di Brescia.

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Presentazione sul tema: "Fuzziness: sorellastra dellincertezza o primadonna ? Pietro Baroni Dip. di Elettronica per lAutomazione Università di Brescia."— Transcript della presentazione:

1 Fuzziness: sorellastra dellincertezza o primadonna ? Pietro Baroni Dip. di Elettronica per lAutomazione Università di Brescia

2 Un termine fuzzy l Vaghezza l Gradualità l Verità parziale l Logica multivalore l Incertezza ?

3 Fuzzy storia l Intuizioni sparse e isolate da circa un secolo l Sistematizzazione by Zadeh ( ) l Resistenze e scetticismo dagli inizi ai giorni nostri l Salvata dai giapponesi... l Successo applicativo e commerciale l Maturazione scientifica e tecnologica tuttora in corso

4 Fuzzy malintesi l Fuzzy pensiero (B. Kosko) l Fuzzy logic come tuttologia l Tutto quello che si fa con i fuzzy si può fare con tecniche più tradizionali (e allora cosa avete aspettato fino adesso ?) l La fuzzy logic non ha fondamenti teorici (centinaia di articoli teorici di illustri studiosi)

5 Fuzzy applicazioni l Lavatrici l Camcorder l Cambio automatico l Cementificio l Metropolitana l

6 Crisp set su dominio discreto

7 0 1 RossiBianchiVerdiBaroni

8 Crisp set su dominio continuo

9 Crisp set l Definizione tramite un predicato booleano {t | t > 0 AND t < 100} l La funzione caratteristica e una funzione discontinua con soli due possibili valori

10 Inadeguatezza dei crisp set l Non sempre i predicati booleani (e le funzioni discontinue) sono un buon modello della realtà l Insieme delle temperature confortevoli {t | t > 18 AND t < 28} ??

11 Fuzzy set l Alcuni insiemi sono meglio definiti da funzioni di appartenenza continue, quindi anche il relativo predicato non è più booleano ma fuzzy

12 Fuzzy set su dominio continuo

13 Fuzzy set su dominio discreto

14 0 1 RossiBianchiVerdiBaroni

15 In una parola... Crisp set C: C : D {0, 1} C (x) è booleana Fuzzy set F: F : D [0...1] F (x) ha valori reali l Un piccolo salto formale, un enorme salto concettuale

16 Operatori base sui fuzzy set Intersezione: A B (x) = min ( A (x), B (x)) Unione: A B (x) = max ( A (x), B (x)) Complemento à (x) = 1 - A (x)

17 Relazioni tra fuzzy set Equivalenza: A = B A (x) = B (x) x D Inclusione: A B A (x) < B (x) x D

18 Casi limite l Appartenenza booleana alluniverso: x, D (x) = 1 l Definizione di insieme vuoto: x, (x) = 0 Vale che D ~

19 Conferme e novità l La doppia negazione rimane idempotente l Rimangono le leggi di De Morgan ma A Ã D A Ã Sparisce il principio del terzo escluso (e di non contraddizione)

20 Che altro sui fuzzy set ? l Fuzzy numbers (circa 3 per circa 2 = ?) l Fuzzy relations (1DM vale poco meno di 1000 £) l Fuzzy matrici l Fuzzy grafi l Fuzzy regressione l..... l Fuzzy logic l Fuzzy control

21 Il mondo del vero e del falso l E un modello del nostro modo di ragionare tra i più antichi ed influenti l E palesemente inadeguato rispetto alla maggior parte dei problemi che quotidianamente affrontiamo

22 Il mondo del vero e del falso Proposizione + Valore di verità Soggetto + Attributo + Valore attributo (qualitativo o quantitativo) {TRUE, FALSE}

23 Lo schema base dellinferenza Conoscenza universaleGli uomini sono mortali Conoscenza particolare Socrate è uomo Regola di inferenza Sillogismo Conclusione Socrate è mortale

24 Limprecisione Proposizione + Valore di verità Soggetto + Attributo + Set di valori ammissibili (qualitativi o quantitativi) {TRUE, FALSE}

25 La vaghezza (fuzziness) Proposizione + Valore di verità Soggetto + Attributo +Valore attributo (qualitativo) [0, 1] (o un altro set ordinato con più di due elementi)

26 Lincertezza Proposizione + Valore di verità + Grado di convinzione l Il grado di convinzione è una proprietà della coppia proposizione-valore di verità l Esso rappresenta uno stato mentale (Quanto ci credo) e non uno stato del mondo (Quanto è vero)

27 Fuzziness vs. Probabilità Bicchiere dacqua di montagna: Potabile (B) = 1 P(Potabile, B) = 1

28 Fuzziness vs. Probabilità Bicchiere dacqua di mare: Potabile (B) = 0.4 (o comunque minore di 1) P(Potabile, B) = 1

29 ? Fuzziness vs. Probabilità Bicchiere dacqua estratto: Potabile (B) = chi lo sa ? (dubbio tra 0 o 1 in questo caso) P(Potabile, B) = 0.9 Estrazione

30 Fuzziness vs. Probabilità Potabile (B) = 0.4 ? P(Potabile, B) = 0.4

31 Fuzziness vs. Probabilità: il caso più generale ? Estrazione Potabile (B) = chi lo sa ? (potrebbe essere 0, 0.4 o 1 in questo caso) P( Potabile (B) = 1) = 0.5 P( Potabile (B) = 0.4) = 0.2 P( Potabile (B) = 0) = 0.3

32 Fuzzy logic l Narrow vs. broader sense l Broader sense = tutto e niente l Narrow sense = una logica multivalore che rappresenta il ragionamento in presenza di verità parziali (non di incertezza)

33 Un tipico schema Fuzzificatore Defuzzificatore Valori Input Fuzzy inference Valori Output Regole Fuzzy set Fuzzy set

34 Nel cuore della fuzzy logic l IF varI IS attrI AND varJ IS attrJ OR varK IS attrk..... THEN outZ IS attrZ

35 Proposizioni fuzzy l Sono proposizioni il cui valore di verità è definito sullintervallo [0 1] l Tipicamente sono proposizioni di natura qualitativa: Mario è vecchio, Giorgio è furbo... l Il valore di verità può essere attribuito direttamente (per giudizio incondizionato) oppure...

36 Definizione delle proposizioni fuzzy l varJ IS attrK un caso molto comune è quello in cui varJ è una grandezza continua misurabile, mentre attrK è un attributo qualitativo. l Es. la temperatura è alta, la velocità è media, la tensione è bassa, Giorgio è alto

37 l Definizione di una scala di valori qualitativi Definizione di per ciascun valore Definizione delle proposizioni fuzzy BambinoGiovaneAdultoAnziano

38 La definizione delle è un passaggio totalmente arbitrario che traduce una visione soggettiva del mondo Definizione delle proposizioni fuzzy BambinoGiovaneMaturoAttempato Adolescente 70 Vecchio 1

39 Modificatori linguistici moltoA (x) = ( A (x)) 2 piùomenoA (x) = ( A (x)) 1/ Caldo Molto Caldo Più o meno Caldo

40 Connettivi AND e OR l La logica fuzzy, essendo una logica multivalore non incerta è truth-functional: il valore di verità di una formula composta si può ricavare da quello dei componenti l Al contrario, un teorema dimostra che qualunque quantificazione di incertezza non può essere truth-functional Ad esempio, P(A AND B) = P(A)*P(B) solo se A è indipendente da B

41 AND, OR, NOT: modello base AND = Intersezione: (A AND B) = min( (A), (B)) OR = Unione: (A OR B) = max( (A), (B)) NOT = Complemento (NOT A) = 1 - (A)

42 Fuzzyficare AND e OR l Il concetto booleano di AND (tutte le componenti devono essere vere) si riflette nelloperatore min l Il concetto booleano di OR (una sola componente deve essere vera) si riflette nelloperatore max l Tra AND e OR booleani ci sono infiniti casi intermedi di connettivo: quasi tutte le componenti, molte, la maggioranza, alcune, poche... l Quindi, infinite funzioni possibili per AND e OR oltre a min e max

43 T-norm T-norm una funzione T: [0 1] X [0 1] [0 1] t.c. »T(a, b) = T(b, a) »T(a, b) T(c, d) IF a c AND b d »T(a, T(b, c)) = T(T(a, b), c) »T(1, a) = a l Min e prodotto sono esempi di T-norm

44 T-conorm (o S-norm) S-norm una funzione S: [0 1] X [0 1] [0 1] t.c. »S(a, b) = S(b, a) »S(a, b) S(c, d) IF a c AND b d »S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c) »S(0, a) = a l Max e (a + b - a*b) sono esempi di S-norm

45 T-norm e S-norm per AND e OR Esistono famiglie di infinite T-norm e S-norm legate da relazioni di dualità: T(a, b, ) = a*b max(a, b, S(a, b, ) = a +b - a*b - min(a, b, 1 - max(1 - a, 1 - b, Fissando si sceglie una coppia di operatori AND e OR (quasi tutti scelgono min e max)

46 Ma non è finita... l Estensione del concetto di media: OWA operators...

47 Fuzzyficare il NOT l Anche il concetto di negazione può essere sfumato Basta una funzione C: [0 1] [0 1] t.c. »C(0) = 1, C(1) = 0 »C(a) C(b) IF a < b l Anche per la negazione esiste uninfinita scelta di operatori

48 Il passo di implicazione La regola IF x IS prem THEN y IS cons può essere vista come una fuzzy relation R: R (x,y) = F( prem (x), cons (y)) In pratica per ogni valore di x, passando per prem (x) si stabilisce una funzione di adeguatezza di y (unaltra ) derivata da cons l Poichè la premessa è fuzzy, lattivazione della regola non richiede un matching preciso

49 Operatori di implicazione l Come per AND e OR ci sono infinite scelte,pure limplicazione ha svariate interpretazioni e diversi possibili operatori (Zadeh, Godel, Lukasiewicz, Mamdani...) l Di Mamdani ce ne sono due (molto usati perche semplici e ingegneristicamente sensati): Mam (x,y) = min( prem (x), cons (y)) Mam (x,y) = prem (x) * cons (y)

50 Fuzzyficazione dellinput l Il matching di un valore di input con la premessa può essere valutato in forma crisp (fuzzyficazione banale, la più comune) Si può passare dal valore di input a una m (tipicamente triangolare o gaussiana) e valutare il matching tra in input e della premessa

51 Generalized modus ponens input fuzzyficato: IN (x) l regola: IF x IS prem THEN y IS cons risultato: OUT (y) derivata da IN (x), prem (x), cons (y) OUT (y) = sup T[ IN (x), R (x,y) ] x X

52 Generalized modus ponens l In pratica, nel caso semplificato più comune: IN (x) = fuzzy singleton = k OUT (y) = R (k,y) A seconda della scelta di R OUT (y) = min( prem (k), cons (y)) OUT (y) = prem (k) * cons (y)

53 Laggregazione di conclusioni multiple l Un valore di verità per una proposizione può venire derivato tramite più percorsi deduttivi l Vale di nuovo il discorso di AND e OR generalizzati a seconda delle caratteristiche del ragionamento nel dominio (percorsi indipendenti oppure tutti necessari, che si corroborano...) Una scelta molto comune è il max tra la varie risultanti

54 Laggregazione di conclusioni multiple Un modo alternativo di procedere che previene il problema dellaggregazione di conclusioni multiple è combinare a priori le R delle regole con output comuni in un unico regolone globale l Di nuovo si possono usare AND o OR generalizzati a seconda di come si veda la cosa

55 La defuzzyficazione delloutput Limplicazione e aggregazione fuzzy non producono un valore ma una funzione di appartenenza per una grandezza Dalla si può desiderare di ricavare un singolo valore di output l Di nuovo, svariati diversi criteri sono possibili

56 Esempi di defuzzyficatori l Max l Media dei max Centroide della globale risultante Media dei centroidi delle dei conseguenti pesata sullaltezza dei punti centroidi stessi Media dei centroidi delle dei conseguenti pesata come sopra e anche sulla dispersione delle dei conseguenti

57 Fuzzy control l Da tentare quando altre tecniche di controllo non sono utilizzabili: »Modelli inesistenti, ma conoscenza di esperti disponibile »Non-linearità »Svariati parametri di ingresso

58 Perchè funziona ? l Th: Qualsiasi funzione nonlineare continua può essere approssimata con precisione a piacere con un numero finito di variabili e regole fuzzy (per certi operatori) l E un teorema di esistenza: garantisce che una buona soluzione fuzzy esiste (il che è confortante) ma non dà indicazioni su come costruirla (il che lascia spazio anche agli insuccessi e alle improvvisazioni)

59 Perchè usare proprio i fuzzy ? l Rispetto ad altri approssimatori universali offrono il vantaggio esclusivo di offrire una forma naturale di rappresentazione della conoscenza empirica degli esperti l Sono quindi agevoli da usare e decifrabili nei comportamenti l I casi di successo sono numerosi e indiscutibili

60 Troppe scelte arbitrarie ? l La definizione di un sistema fuzzy comprende un elevato numero di scelte soggettive (a volte implicite se si usano certe soluzioni scorciatoia standard) l Il meccanismo è tendenzialmente piuttosto robusto rispetto a scelte diverse l In altri approcci apparentemente più rigorosi certe scelte sono mascherate o forzate dalle ipotesi iniziali

61 Fuzzy diramazioni Senza incertezza l Fuzzy control l Fuzzy database l Soft constraints l Multicriteria decision making Con incertezza l Possibility theory l Gradual rules l Fuzzy expert systems l Fuzzy probability Fuzzy clustering Neuro-fuzzy


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