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Corso di Chimica Fisica II 2011 Marina Brustolon 8. Il moto circolare quantistico, il momento angolare, le armoniche sferiche.

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1 Corso di Chimica Fisica II 2011 Marina Brustolon 8. Il moto circolare quantistico, il momento angolare, le armoniche sferiche

2 Il moto quantistico di una particella su una circonferenza 1.Lequazione di Schrödinger e le soluzioni 2.Le condizioni cicliche e la quantizzazione dellenergia 3.La conservazione del momento angolare

3 Il moto su una circonferenza Abbiamo già considerato il moto circolare uniforme per un sistema che si comporti in modo classico. Si tratta di una particella che si muove con velocità angolare costante su una circonferenza. Il moto avviene in presenza di una forza centripeta radiale, cioè che punta verso il centro della circonferenza, ed è quindi parallela al raggio vettore r. Sappiamo che quando f // r, cioè la forza è parallela al raggio vettore, il momento della forza, f x r (prodotto vettoriale) è eguale a zero. Quando il momento della forza è eguale a zero linvariante del moto è il momento angolare.

4 Il moto circolare classico: richiamo Il prodotto vettoriale di è un vettore costante sia in modulo che in direzione: m r x Momento angolare Velocità tangenziale

5 Il moto circolare secondo Schrödinger m r x La particella è dotata di energia solo cinetica, lenergia potenziale sulla circonferenza è costante (quindi possiamo porla a zero). Il moto è su un piano. Quindi lHamiltoniano è : Per descrivere un moto sulla circonferenza, dobbiamo imporre la condizione che: Questa condizione è facile imporla se passiamo ad un sistema con coordinate sferiche: Facendo queste sostituzioni di coordinate lhamiltoniano diventa: Un esempio di passaggio dalle coordinate cartesiane a quelle polari è mostrato più avanti per loperatore momento angolare.

6 Lequazione di Schr ö dinger è quindi: I Momento dinerzia Notate lanalogia di questa equazione con quella per la particella libera, una volta sostituita la coordinata φ alla x, e il momento di inerzia alla massa. Moto uniforme su una circonferenza Moto uniforme su una retta Notate che loperatore hamiltoniano agisce solo sulla coordinata φ, perché 1/r 2 è una costante: il sistema ha un solo grado di libertà.

7 Riscriviamola così: La soluzione generale di questequazione è: Notate che la forma della funzione donda è simile a quella della particella libera, con x sostituito da φ: Moto circolare uniforme Moto rettilineo uniforme

8 Ricordiamo che k, il vettore donda per la particella libera, può avere qualsiasi valore (lenergia è un continuo). E m ? Non abbiamo finora imposto nessuna condizione su m. Ma dobbiamo accertarci che tutte le soluzioni che abbiamo trovato per la particella sulla circonferenza siano funzioni che rappresentano stati reali, cioè abbiano le caratteristiche di essere continue, ad un sol valore, ecc. Dato che la funzione è periodica, dovremo scegliere le funzioni per la quali: Perché questa condizione sia rispettata, si deve avere e quindi m = 0, 1, 2, ecc. m<0 m>0

9 Fine primo giro Inizio secondo giro Per ogni valore di φ ci sono due valori della funzione Vediamo graficamente cosa succede se m ha un valore diverso da quelli permessi, considerando la parte reale della funzione Perché questo non succeda, bisogna che la lunghezza della circonferenza sia un multiplo intero della della funzione ! Proibito!

10 2 0 2 Fine primo giro Inizio secondo giro OK!

11 Abbiamo ora le funzioni che sono soluzioni dellequazione di S. e che rappresentano gli stati possibili della particella sulla circonferenza nellambito della trattazione quantistica: m = 0, 1, 2, ecc. Nella funzione donda sono contenute tutte le informazioni che si possono ottenere sullo stato rappresentato dalla funzione. In particolare, dalla funzione donda è possibile ottenere il valore di tutte le grandezze fisiche che sono costanti in quello stato. Quali sono le grandezze costanti nel moto della particella sulla circonferenza?

12 Ti ho fatto una domanda, amico… Quali sono le grandezze costanti nel moto della particella sulla circonferenza?

13 Le grandezze costanti sono : Lenergia (infatti le funzioni donda sono autofunzioni dellHamiltoniano, che è lopeartore associato allenergia); Il momento angolare (come abbiamo discusso già più volte). Se il momento angolare è costante, questo significa che le funzioni donda trovate sono autofunzioni delloperatore momento angolare. Proviamo a vedere se è vero. Qual è la forma delloperatore momento angolare?

14 Momento angolare: espressione classica Componenti di r Componenti di p

15 x z y Momento angolare: operatori Moto sulla circonferenza: J è diretto lungo z

16 Ma prima bisogna esprimere loperatore in coordinate polari! Vogliamo vedere leffetto delloperatore sulla funzione: Ricordiamo le regole per il cambiamento di variabili nei differenziali:

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18 Loperatore momento angolare, agendo sulla funzione, dà la funzione stessa moltiplicata per una costante: il significato fisico è che per lo stato rappresentato da quella funzione, il momento angolare si conserva e ha quel particolare valore. Notate che per ogni valore del numero quantico |m | ci sono due stati, corrispondenti a +m e –m, con la stessa energia (che è proporzionale al quadrato di m), e momento angolare di segno opposto. I due stati sono quindi degeneri. Possiamo attribuirli allequivalente di rotazioni in senso orario e antiorario. m<0 m>0 Notate che lo stato con m=0 non ha momento angolare, è uno stato di non rotazione.

19 La quantizzazione dellenergia e del momento angolare Dalla condizione m = 0, 1, 2, ecc., ricordando che : Ricordate lespressione classica che lega energia e momento angolare per la particella sulla circonferenza? Abbiamo visto che : si ottiene: Notate che la relazione tra grandezze classiche è la stessa che cè tra gli autovalori dei corrispondenti operatori. Si notino le corrispondenze tra le espressioni per il moto lineare e quello circolare:

20 Oooh! Ma guardalo! Fanno tenerezza quando cercano di seguire le dimostrazioni!

21 Riassumendo: 1. Per la particella su una circonferenza a potenziale costante (o nullo) lhamiltoniano è convenientemente scritto usando le coordinate polari φ e r, con r = costante; 2. La soluzione generale dellequazione di S. con questo hamiltoniano è: 3. Le soluzioni permesse devono essere trovate imponendo la condizione: che si traduce nella condizione che m sia un numero quantico con valori permessi m = 0, 1, 2, ecc. 4. Quindi lenergia è quantizzata: 5. Il momento angolare è pure quantizzato:

22 Il moto quantistico di una particella su una sfera 1.Lhamiltoniano in coordinate sferiche per un moto quantistico nello spazio tridimensionale 2.Lhamiltoniano per la particella sulla superficie della sfera 3.Le armoniche sferiche 4.Particella sulla sfera = rotatore rigido

23 Particella sulla sfera Il modello: una particella che si muove su una superficie equipotenziale. Se V è costante sulla superficie, si può assumere V=0 nel trattare il moto. Quindi lequazione di S. è: Come per la particella sulla circonferenza, conviene passare alle coordinate sferiche, che ci permettono di fissare r = cost. Solo loperatore di energia cinetica In questo caso troveremo quindi un hamiltoniano che dipende da due gradi di libertà,.

24 Hamiltoniano in coordinate polari Per esprimere lhamiltoniano in coordinate polari dobbiamo trovare la forma degli operatori differenziali in coordinate polari, come nellesempio precedente. Servono le espressioni di r, e in funzione di x,y,z. r = cost

25 Hamiltoniano in coordinate polari dove: Questo hamiltoniano è importante perché rappresenta loperatore di energia cinetica per una particella che si muova nello spazio espresso in coordinate sferiche: infatti lo ritroveremo quando parleremo dellelettrone nellatomo di idrogeno. In questo caso tuttavia il moto della particella è confinato alla superficie di una sfera, e quindi r = r sfera, e la parte dellhamiltoniano che contiene la derivata rispetto ad r non può agire.

26 Hamiltoniano per la particella sulla sfera In conclusione lhamiltoniano per la particella sulla sfera è dove r è una costante eguale al raggio della sfera, e gli operatori agiscono solo sulle funzioni di e φ. I Momento dinerzia Le funzioni che soddisfano questa equazione rappresentano onde stazionarie sulla superficie della sfera, e si chiamano armoniche sferiche.

27 Queste funzioni possono essere immaginate come onde stazionarie su una superficie sferica. Sono funzioni che vengono usate in contesti molto diversi, per esempio: per modellizzare le maree; per descrivere il moto di rotazione di una molecola biatomica; per descrivere la parte angolare delle funzioni donda di un atomo idrogenoide (un solo elettrone fuori da un guscio sferico). Dipendono da due numeri quantici:. Possiamo quindi scrivere lequazione come Come vedremo lenergia dipende solo da l Le armoniche sferiche si trovano tabulate anche come

28 Le armoniche sferiche Si noti che la parte delle funzioni che dipendono nellangolo sono le stesse per la particella su una circonferenza. Le funzioni dipendono da due coordinate, e, e dipendono da due numeri quantici, l e m l. Tra i due numeri quantici cè una relazione: Le energie dipendono solo da l :

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30 Le armoniche sferiche sono autofunzioni delloperatore quadrato del momento angolare con autovalori Le armoniche sferiche sono autofunzioni delloperatore momento angolare. Rappresenteranno perciò la forma delle funzioni angolari in un sistema a simmetria centrale, nel quale il momento angolare si conserva.

31 La particella sulla sfera e il rotatore rigido Le soluzioni dellequazione di S. per la particella su una superficie sferica a potenziale costante (le armoniche sferiche) descrivono anche il moto di un rotatore rigido (due particelle a distanza costante). m2m2 m1m1 d 2d I due moti hanno le stesse funzioni donda

32 Riassumendo: 1. Per la particella su una sfera a potenziale costante (o nullo) lhamiltoniano è convenientemente scritto usando le coordinate polari φ e r, con r = costante; 4. Le armoniche sferiche sono autofunzioni del quadrato del momento angolare con valori 2. Le soluzioni dellequazione di S. con questo hamiltoniano sono le funzioni dette armoniche sferiche 3. Gli autovalori dellenergia dipendono solo dal numero quantico l quindi per ogni valore di l si hanno 2 l +1 funzioni degeneri 5. Le armoniche sferiche descrivono anche il moto del rotatore rigido.


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