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Il bacino imbrifero modelli empirici Andrea Castelletti Politecnico di Milano MCSA 07/08 L10 Lena - Delta.

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1 Il bacino imbrifero modelli empirici Andrea Castelletti Politecnico di Milano MCSA 07/08 L10 Lena - Delta

2 2 Il bacino imbrifero sezione di chiusura

3 3 Modelli classici Il metodo razionale (Mulvany, 1850) Lidrogramma unitario di Sherman (1932) Il modello di Nash (1957)

4 4 Modello di Nash, 1957 PtPt dtdt Interpreta il bacino come una sequenza di serbatoi in cascata. Equazione di transizione di stato h1Pth1Pt k1xt1k1xt1 x1x1 h2Pth2Pt k2xt2k2xt2 x2x2 h3Pth3Pt k3xt3k3xt3 x3x3 x4x4 h4Pth4Pt k4xt4 =k4xt4 = dtdt Trasformazione di uscita

5 5 Modello di Nash, 1957 Interpreta il bacino come una sequenza di serbatoi in cascata. Equazione di transizione di stato Trasformazione di uscita Sistema lineare

6 6 ma allora... Perchè non identificare direttamente le funzioni del modello senza preoccuparsi di ricostruire le relazioni causali che caratterizzano il processo fisico? Più precisamente, si potrebbe identificare la relazione che lega gli ingressi alluscita senza preoccuparsi di cosa avviene allinterno del sistema! Si potrebbe ad esempio descrivere la dinamica delluscita con una relazione della forma detta forma ingresso-uscita o rappresentazione esterna modelli empirici

7 7 Modelli ARX (anni 70) d t+1 = d t ipotesi di persistenza d t+1 = 2d t - d t-1 AR(2) d t+1 = a 1 d t +….+a n d t-n+1 AR(n) ARX d t+1 = P t-n+1 n = tempo di corrivazione d t+1 = b 1 P t + …+b n P t-n+1 3) modello completo: 1) previsione deflusso con dati di precipitazione : 2) previsione deflusso con dati di deflusso : t d t-2 t-1 t t+1 misurato calcolato

8 8 Considerazioni I due modelli fin qui visti sono matematicamente identici. Corrispondono tutti a una stessa equazione: un sistema lineare. ARX è la relazione ingresso-uscita di un modello discreto lineare ARX Nash

9 9 Considerazioni I due approcci differiscono solo per il metodo di taratura dei parametri Nash : classicamente stima i parametri per tentativi ed errori. ARX : adotta algoritmi di stima parametrica ai minimi quadrati.

10 10 Modelli concettuali Realtà Modelli empirici Modelli concettuali e empirici come trovarlo? spazio dei modelli

11 11 Riepilogo Modelli COMPONENTESerbatoioBacino imbriferoAltri componenti TIPOLOGIE di MODELLI Reti Bayesiane Meccanicistici IN DETTAGLIO Meccanicistico Campotosto Meccanicistico gronde 1350

12 12 Riepilogo Modelli COMPONENTESerbatoioBacino imbriferoAltri componenti TIPOLOGIE di MODELLI Reti Bayesiane Meccanicistici Empirici IN DETTAGLIO Meccanicistico Campotosto Meccanicistico gronde 1350

13 13 Modelli empirici Si limitano a riprodurre il legame intercorrente tra ingressi e uscite del sistema. Serie storica delle piogge Modello empirico Serie storica delle portate non permettono di descrivere cambiamenti nella struttura del sistema idrico. Svantaggi:

14 14 Modelli empirici Siamo certi che esista sempre una rappresentazione esterna? La Teoria da risposte, ma... inutili. In pratica si procede così: si assume empiricamente che esista; si fissa a priori lordine (p,r,r,q) e si tarano i parametri con opportuni algoritmi; se laderenza alla realtà è buona la si è trovata; altrimenti si torna al passo precedente aumentando lordine e si continua fino a che la si trova o lordine raggiunto è troppo elevato. rappresentazione interna del serbatoio rappresentazione esterna Esempio

15 15 Modelli empirici Questi modelli non si propongono di capire come il sistema funzioni (scopo scientifico), ma solo di predire luscita che si otterrà in risposta a dati ingressi (scopo ingegneristico). modelli a scatola nera (black-box models) Si cerca la forma esterna in una classe di funzioni fissata a priori Se le variabili sono tutte scalari viene spesso adottata la forma lineare classe PARMAX

16 16 Modelli empirici La forma lineare è semplice ed esistono potenti algoritmi per la stima dei suoi parametri, ma non è sempre la più adatta... ma... non-lineare! NO! Conviene utilizzare una classe di funzioni non-lineare, come le RETI NEURALI ARTIFICIALI

17 17 Modelli empirici stocastici Conviene, inoltre, considerare la forma stocastica a volte con un rumore non bianco In generale rumore di processo

18 18 Osservazioni La forma esterna può essere identificata solo se sono disponibili serie storiche abbastanza lunghe di ingressi e uscite. I modelli empirici non possono essere adottati quando le alternative comportano modifiche alla struttura interna del sistema, perchè non possono descriverne gli effetti. Non esistono ovviamente serie storiche che risentano di tale modifica. La capacità predittiva di un modello empirico dipende fortemente dalla classe di funzioni adottata a priori.

19 19 Ricapitolando I modelli meccanicistici rischiano di essere troppo complicati e spesso descrivono particolari irrilevanti ai fini del progetto, che non influenzano, cioè, la relazione ingresso-uscita. Lidentificazione dei modelli empirici richiede di specificare a priori la classe di funzioni in cui cercare la loro forma definitiva e questa scelta condiziona fortemente la qualità del modello. IDEA (recente 1994) Utilizzare un modello meccanicistico, ma individuare la forma della relazione che lo definiscono non da conoscenze a priori (la Fisica, lIdraulica,...), ma direttamente dai dati.

20 20 Riepilogo Modelli COMPONENTESerbatoioBacino imbriferoAltri componenti TIPOLOGIE di MODELLI Reti Bayesiane Meccanicistici Empirici IN DETTAGLIO Meccanicistico Campotosto Meccanicistico gronde 1350

21 21 Riepilogo Modelli COMPONENTESerbatoioBacino imbriferoAltri componenti TIPOLOGIE di MODELLI Reti Bayesiane Meccanicistici Empirici Meccanicistici basati sui dati IN DETTAGLIO Meccanicistico Campotosto Meccanicistico gronde 1350

22 22 Un esempio Cunning river - Australia ? Il suolo asciutto assorbe la pioggia.

23 23 deflusso misurato deflusso stimato Un primo modello del fiume Cunning proviamo con un PARMAX precipitazione NO

24 24 Modelli meccanicistici basati sui dati (DBM) proviamo con un DBM Il valore del parametro dipende dalla portata di deflusso, che a sua volta dipende dallumidità del terreno.

25 25 deflusso misurato deflusso stimato Modelli meccanicistici basati sui dati (DBM) proviamo con un DBM ora la previsione è perfetta

26 26 Riepilogo Modelli COMPONENTESerbatoioBacino imbriferoAltri componenti TIPOLOGIE di MODELLI Reti Bayesiane Meccanicistici Empirici Meccanicistici basati sui dati IN DETTAGLIO Meccanicistico Campotosto Meccanicistico gronde 1350 Modello del disturbo

27 27 I disturbi Lo scopo ultimo è simulare il comportamento del sistema in presenza di una alternativa. Per simulare occorrono le traiettorie degli ingressi. definito dalla politica deterministicamente noto al tempo t, ma al momento del progetto? casuale: chi lo fornisce? N.B. I disturbi di cui parliamo sono quelli del sistema globale, non del componente.

28 28 I disturbi Lo scopo ultimo è simulare il comportamento del sistema in presenza di una alternativa. Per simulare occorrono le traiettorie degli ingressi. definito dalla politica deterministicamente noto al tempo t, ma al momento del progetto? casuale: chi lo fornisce? Mare Adriatico Fucino VILLA VOMANO PIAGANINI PROVVIDENZA CAMPOTOSTO MONTORIO (M) SAN GIACOMO (SG) Distretto irriguo (CBN) S. LUCIA (SL) PROVVIDENZA (P)

29 29 Chi li fornisce? Due possibilità: 1.adottare la traiettoria storica ma potrebbe essere troppo breve. 2.identificare un modello non deve avere ingressi altrimenti si cade in un circolo vizioso che, però, è a volte utile.

30 30 Chi li fornisce? Due possibilità: 1.adottare la traiettoria storica ma potrebbe essere troppo breve. 2.identificare un modello non deve avere ingressi altrimenti si cade in un circolo vizioso che, però, è a volte utile. Prima o poi il disturbo deve essere spiegato senza introdurre altri ingressi e, quindi, solo in base ai valori che ha assunto negli istanti precedenti e, al più, delle variabili di stato e di controllo del sistema.

31 31 Il modello deve dunque essere empirico meglio cambiare notazione NO! circolo vizioso! a meno che... sia un rumore bianco rumore di processo Il modello dei disturbi

32 32 Il rumore bianco Se una serie di dati ammette un modello si dice che è algoritmicamente comprimibile. Una serie non algoritmicamente comprimibile è un rumore bianco Quando il disturbo è stocastico ciò equivale a dire che il suo autocorrelogramma è identicamente nullo. Conclusione: i disturbi devono essere bianchi Vedremo in seguito come descriverli.

33 33 Bacini Utilizziamo dei modelli PARMA 1.Identificazione di una distribuzione di probabilità che descriva i dati

34 34 Carta prob. Log1100 e prec strum.Carta prob. Log1100 e prec strum.

35 35 Bacini Utilizziamo dei modelli PARMA 1.Identificazione di una distribuzione di pr. che descriva i dati 2.Normalizzazione 3.Standardizzazione

36 36 Bacini Definizione dellordine del modello PARMA (n, p) Si procede iterativamente, provando diverse combinazioni di n e p e verificando per ognuna se il residuo è bianco Se il residuo è bianco ci si ferma: il modello spiega completamente i dati In generale questo può non bastare per ottenere un buon modello: conviene confrontare i modelli rispetto a indici di prestazione ad esempio: la var. spiegata

37 37 Bacini Per tutti e tre i bacini si è scelto un PAR(0) definito dunque solo da media t e varianza t ciclostazionario di periodo 365: media e varianza sono diverse ogni giorno

38 38 PAR(0) Campotosto

39 39 PAR (0) Provvidenza

40 40 PAR(0) Piaganini

41 41 Tipi di modelli Rete Bayesiane di credenza (BBN) Modelli meccanicistici Modelli empirici Modelli meccanicistici basati sui dati (DBM) Modelli dei disturbi Catene di Markov Non ne parleremo in questo corso

42 42 Leggere MODSS Cap. 4 App. VERBANO Par. 6.5

43 43 Da qui è facoltativo…

44 44 Lo stato stocastico Quando un modello meccanicistico o una BBN sono alimentati da un rumore stocastico bianco lo stato è una variabile stocastica Quindi distribuzione di probabilità dello stato allistante t

45 45 Lo stato stocastico Quando un modello meccanicistico o una BBN sono alimentati da un rumore stocastico bianco lo stato è una variabile stocastica Quindi distribuzione di probabilità dello stato allistante t Esempio: per valutare laffidabilità di un intervento si deve stimare la frequenza degli eventi estremi: es. frequenza delle esondazioni Indice = probabilità di fallanza Invaso soglia di esondazione Probabilità di fallanza densità di probabilità t

46 46 Metodo Monte Carlo: effettuare un numero elevato di simulazioni del modello in corrispondenza di traiettorie casuali del disturbo, generate con un modello del disturbo. Lo stato stocastico Quando un modello meccanicistico o una BBN sono alimentati da un rumore stocastico bianco lo stato è una variabile stocastica. Quindi Come determinare ? distribuzione di probabilità dello stato allistante t

47 47 Metodo Monte Carlo: effettuare un numero elevato di simulazioni del modello in corrispondenza di traiettorie casuali del disturbo, generate con un modello del disturbo Lo stato stocastico Quando un modello meccanicistico o una BBN sono alimentati da un rumore stocastico bianco lo stato è una variabile stocastica Quindi Come determinare ? distribuzione di probabilità dello stato allistante t Si generano N coppie casuali (x i,y i ) con x i equiprobabile in (a,b) con y i equiprobabile in (0,c) si ponga A i =1 se f(x i )>y i A i =0 altrimenti ab c f(x)f(x) x Metodo Monte Carlo Esempio: Calcolo di un integrale

48 48 Metodo Monte Carlo: effettuare un numero elevato di simulazioni del modello in corrispondenza di traiettorie casuali del disturbo, generate con un modello del disturbo. Lo stato stocastico Quando un modello meccanicistico o una BBN sono alimentati da un rumore stocastico bianco lo stato è una variabile stocastica. Quindi Come determinare ? computazionalmente costoso! distribuzione di probabilità dello stato allistante t

49 49 Catene di Markov Se il sistema è discretizzato utilizzare come stato non ma IDEA (Markov,1887) semplice modello lineare: CATENA di MARKOV Matrice il cui elemento rappresenta la probabilità che lo stato passi dal suo i-esimo valore allistante t al j-esimo allistante t+1, quando sul sistema agisce il disturbo considerato e il sistema è controllato da una politica data.

50 50 Un esempio SE SESE S E 01 1 SE SESE SESESESE S E SE PTPT S E.8.9 SE B 10 A 01 probabilità che linvaso sia Elevato allistante t+1 probabilità che linvaso sia Scarso allistante t+1 Con la politica adottata linvaso sarà scarso il 30% delle volte ed elevato il 70%. politica data Si assuma che siano entrambi disturbi casuali e bianchi, con distribuzione nota: es. valori equiprobabili

51 51 Osservazioni Per calcolare una catena di Markov servono: le stesse informazioni che occorrono per il metodo Monte Carlo! ma la catena è un modello più semplice da simulare perchè è autonomo, cioè non ha ingressi. - equazione di transizione di stato del modello (mecc. o BBN); - la politica di regolazione adottata. - i modelli dei disturbi; Lo svantaggio è che le dimensioni dello stato della catena sono molto elevate, pari al numero di valori che lo stato può assumere.

52 52 Osservazioni I valori di B t sono numerosi e difficili da stimare direttamente. Proposta: costruire prima un modello meccanicistico (o una BBN o un empirico), così che i Portatori dinteresse possano più facilmente partecipare alla sua realizzazione; ricavare poi da questo la matrice B t della catena di Markov.


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