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1 Fisica IV Anno Accademico 2005-06 1°Parte - Definizione di campo elettrico. Campo vettoriale. Linee di flusso. Teorema di Gauss Teorema di Gauss. Superfici.

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1 1 Fisica IV Anno Accademico °Parte - Definizione di campo elettrico. Campo vettoriale. Linee di flusso. Teorema di Gauss Teorema di Gauss. Superfici gaussiane e applicazioni del teorema di Gauss Circuitazione del campo elettrico Lavoro della Forza elettrica. Potenziale elettrostatico. Circuitazione del campo elettrico. Campo generato da un dipolo elettrico Campo generato da un dipolo elettrico. Forze esercitate dal campo elettrico su un dipolo. Energia di un dipolo in campo. Molecole polari. Comportamento della materia in presenza di un campo. Polarizzazione per deformazione. Polarizzazione per orientamento Vettore polarizzazione. Suscettività dielettrica, costante dielettrica Vettore polarizzazione. Suscettività dielettrica, costante dielettrica. Dielettrici densi. Legge di Clausius-Mossotti Cristalli ferroelettrici Cristalli ferroelettrici.

2 2 Campo Elettrico Definizione operativa di campo elettrico: Il vettore campo elettrico E associato ad una determinata distribuzione di cariche in un punto P è dato dalla forza F esercitata su una carica di prova q 0 posta nel punto P divisa per la carica q 0. Tale definizione di campo elettrico è indipendente dalla carica di prova (purchè sia piccola e/o molto lontana dalle cariche che generano E) e prescinde dal manifestarsi di una forza misurabile. Proprio in virtù dellequazione (1) il campo elettrico potrà essere valutato misurando la forza esercitata su una carica di prova Il campo elettrico è diretto radialmente rispetto alla carica che lo ha generato ed è proporzionale alla carica che lo ha generato.

3 3 Campo vettoriale Che cosa è un campo vettoriale ? Una grandezza che varia nello spazio e ha un modulo una direzione ed un verso, che possono essere individuati da un vettore. Alcuni esempi a noi noti sono: un fiume che scorre (un liquido che scorre), il vento che soffia (una massa di gas che si sposta), la densità di corrente elettrica che scorre in un conduttore (cariche elettriche che si muovono), il flusso di calore che fluisce da un corpo ad un altro (energia che viene trasferita), I campi elettrico e magnetico nello spazio. Con trasferimento di massa senza trasferimento di massa Un campo può essere rappresentato tramite linee di flusso

4 4 v1v1 v2v2 Prodotto scalare v2v2 v 2 cos v1v1 Prodotto vettoriale v1v1 Operazioni con i vettori v2v2 v 1 v 2 v 2 sin

5 5 Proprietà delle linee di forza del campo elettrico In ogni punto le linee di forza del campo elettrico hanno direzione tangente al campo in quel punto e verso concorde con la direzione del campo + 2q Lintensità del campo elettrico in ogni punto è proporzionale al numero di linee che intercettano perpendicolarmente larea unitaria Le linee di forza del campo elettrico partono dalla carica positiva e confluiscono nella carica negativa (o allinfinito). Le linee non si creano e non si distruggono nello spazio tra le cariche. - q + q

6 6 Utilizzando le tre proprietà delle linee di forza calcolare lintensità del campo I a distanza R 1 ed R 2 da una carica puntiforme Q, da una carica puntiforme –Q e da una carica puntiforme 2Q Carica Q Carica -Q Carica 2Q R2R2 R1R1 I2I2 I1I1 La definizione del campo tramite linee di flusso ne permette una immediata visualizzazione, ma ha il un limite legato al fatto che le linee di forza sono discrete.

7 7 Alcuni esempi di linee di forza

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9 9 Flusso di un campo vettoriale Un modo per valutare lintensità del campo vettoriale è quello di valutare quante linee di flusso fluiscono attraverso una superficie ben definita nello spazio. Questo dipende dalla estensione della superficie e anche da come la superficie è orientata rispetto alla direzione del campo. Campo vettoriale v Superficie A Flusso massimo Flusso nullo Flusso proporzionale alla proiezione della superficie A nella direzione del campo

10 10 Larea di una spira può essere rappresentata da un vettore A che ha come modulo la superficie della spira ed è orientato perpendicolarmente al piano della spira. Langolo tra il campo v e A è Una superficie chiusa per convenzione viene rappresentata con le normali alla superficie orientate verso lesterno Flusso del campo elettrico A û E A û E E A û E E A cos E û A A E A cos Il numero di linee di flusso che attraversa una superficie A è proporzionale alla proiezione della superficie perpendicolarmente alla direzione del campo E û Per una qualunque superficie A

11 11 Calcolare il flusso del campo elettrico E) attraverso una superficie cilindrica chiusa di raggio R e lunghezza L immersa in un campo E costante diretto parallelamente allasse del cilindro. Calcolare il flusso del campo elettrico E) attraverso una superficie cubica chiusa di lato L immersa in un campo E costante che forma un angolo con la faccia e e parallelo alle facce b e f.

12 12 Flusso attraverso una superficie chiusa in una regione di campo senza cariche Nel caso di una superficie arbitraria immersa in un campo elettrico E non uniforme la superficie può essere suddivisa in piccoli elementi di superficie A. Gli elementi di flusso (E)=E A vanno sommati su tutta la superficie A Il flusso è proporzionale al numero di linee di flusso che attraversano la superficie. Poiché in assenza di cariche allinterno della superficie le linee di flusso sono continue (né nascono né muoiono). Tante linee entrano tante escono e quindi il flusso totale è zero.

13 13 Calcolare il flusso del campo elettrico E) attraverso una superficie sferica A chiusa di raggio R che contiene una carica Q posta al centro R û E Q A Per N cariche Q 1, Q 2,..Q N contenute allinterno di una superficie chiusa possiamo applicare il principio di sovrapposizione Q Teorema di Gauss Questo vale per qualunque superficie chiusa che contiene la carica Q perché intercetta tutte le linee di flusso uscenti da Q, indipendentemente dalla forma della superficie

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15 15 Superfici Gaussiane Utilizzando il teorema di Gauss calcolare il campo elettrico in prossimità delle seguenti distribuzioni di carica: Carica puntifome Piano uniformemente caricoFilo uniformemente carico Guscio sferico uniformemente carico

16 16 Distribuzione di carica a simmetria sferica

17 17 In una regione dello spazio il campo elettrico è dato da: 1.Nel caso in cui a=1 V/m 2, calcolare il valore di E nei punti P 1 (0,0,0), P 2 (1,0,0), P 3 (2,0,0), P 4 (1,1,0), P 5 (2,2,0), e riportarlo in un grafico. 2.Calcolare il flusso di E attraverso un cubo di lato L=1 m posizionato con un angolo nellorigine delle coordinate. 3.Quanta carica è contenuta nel cubo ? P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 y x A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 x y

18 18 Lavoro della forza elettrica

19 19 Energia potenziale elettrica Il lavoro per portare una carica esploratrice q 0 da una distanza r i ad una distanza r f rispetto ad una carica Q : la forza è detta conservativa Se il lavoro, e quindi la variazione di energia potenziale, dipende solo dalla posizione del punto di partenza e del punto di arrivo la forza è detta conservativa. Infatti si possono fare cammini chiusi (trasformazioni cicliche) senza variare lenergia potenziale del sistema. Q q0q0 riri rfrf

20 20 Esercizi 1) Due protoni del nucleo dell 238 U si trovano ad una distanza di 6 fm (1fm= m). Calcolare lenergia potenziale associata alla forza elettrica tra i due protoni. 2) Consideriamo latomo di idrogeno. Calcolare il lavoro necessario a ionizzare latomo di idrogeno. Anche se solo le variazioni di energia hanno significato fisico si può definire uno zero per lenergia. Per molte applicazione si pone uguale a zero lenergia quando le due cariche sono a distanza infinita: U( )=0 lenergia potenziale di due cariche a distanzar Questo permette di definire lenergia potenziale di due cariche a distanza r come:

21 21 Potenziale del campo elettrico Il lavoro per spostare una carica esploratrice q 0 allinterno di un campo elettrico per la definizione stessa di campo è proporzionale a q 0 : U potenziale della forza FV potenziale del campo E Nel caso del campo generato da una carica puntiforme funzione scalare Potenziale generato da una carica puntiforme Q. A differenza del campo E, V non è un vettore ma è una funzione scalare E(x,y,z) un campo vettoriale V(x,y,z) un campo scalare

22 22 Definizione di differenza di potenziale La differenza di potenziale è la grandezza direttamente misurabile. La sua Unità di misura nel Sistema Internazionale (S.I.) è il Volt Di conseguenza lunità di misura del campo elettrico nel S.I. è il Volt/m Nella fisica atomica le cariche di maggior interesse sono le cariche elementari (elettroni e protoni). È quindi conveniente definire una nuova unità di misura per lenergia data dal lavoro per portare una carica elementare (e= C) tra due punti la cui differenza di potenziale è 1 V è dato da: e V= = Joule 1 eV

23 23 b a Circuitazione del campo elettrico La circuitazione del campo elettrostatico è nulla Equazioni di Maxwell del campo E in condizioni stazionarie Il campo E è generato da cariche elettriche Il campo E è conservativo

24 24 Il campo elettrico in un conduttore carico Allequilibrio E=0 (E)=Q/ cè carica

25 25 w l >> w 0 = Q/ = Q/ A1A1 A2A2 A3A3 n t

26 26 Calcolare la differenza di potenziale noto il campo V cb =V b -V c =? V ba =V a -V b =? V ac =V c -V a =? Calcolare la carica q

27 27 Superficii equipotenziali Le superfici equipotenziali sono in ogni punto perpendicolari alle linee di flusso Sono dette superfici equipotenziali quelle per cui V=0

28 28 y x (x,y,z) (x+ x,y,z) x La relazione tra potenziale e campo elettrico Supponiamo di voler calcolare la differenza di potenziale tra due punti vicini a (x,y,z) e b (x+ x,y,z). Tali due ponti sono connessi da un vettore :

29 29 Calcolare il campo elettrico noto il potenziale In tre dimensioni si ha che: Esercizi: 1)Dato il potenziale associato ad una carica puntiforme Q calcolare il campo elettrico 2)Dato il potenziale V=xy+2y calcolare il campo E nellorigine delle coordinate O (0,0,0) e nel punto P (1,1,0)

30 d 0 P r r+r+ r-r- ½ d cos Calcolare il campo elettrico generato da un dipolo a grande distanza (r>>d) per r >> d z y x

31 31 Sistema di coordinate sferiche Un altro sistema che si può usare per orientarsi nello spazio è il sistema sferico. È formato da tre coordinate: ρ, θ e φ. Si considera sempre un generico punto P e la sua proiezione sul piano XY chiamata Q. Con ρ questa volta si indica la distanza di P dall'origine e θ è l'angolo che ρ forma con l'asse Z. Indichiamo invece con ρ il vettore che collega l'origine con il punto Q, φ individua l'angolo che quest'ultimo vettore forma con l'asse X.spazio Per passare da un sistema sferico ad uno rettangolare si usano le seguenti uguaglianze: Per passare da coordinate sferiche a cartesiane:

32 32 Campo del dipolo in coordinate sferiche

33 33 Distribuzione di cariche qiqi didi r i = r - d i r z x y P Nel caso di una molecola neutra il potenziale e quindi il campo elettrico generato dipenderà solo dal momento di dipolo complessivo d i << r

34 34 q 1 = -q d1d1 d2d2 d3d3 d4d4 q 4 = +q q 2 = -q q 3 = +q 0 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 = = P=2 2qdk Q=0 = q 1 = +q d1d1 d2d2 d3d3 d4d4 q 4 = -q q 2 = -q q 3 = +q 0 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 = = p=0 Q=0 = Q=q 1 +q 2 +q 3 +q 4 =0 Calcolare la carica risultante, il momento di dipolo risultante e il potenziale in un punto P a distanza r dallorigine delle coordinate.

35 35 ~ q 1 = -q d1d1 d2d2 q 2 = 2q 0 p1p1 p2p2 0 Q=q 1 +q 2 =q 0 P=3qdk p 0 QQ Molecola dellacqua (H 2 O) Calcolare il momento di dipolo in modulo e direzione q 1 = -q d2d2 q 2 = 2q 0 p2p2 0 Q=q 1 +q 2 =q 0 P=4qdk p 0 QQ

36 36 q 1 = -q q 4 = +2q q 2 = -q q 3 = +2q q 5 = -2q 120° q 1 =q q 2 =q q 3 =-3q

37 37 Dipolo in un campo elettrico + - d E F+F+ F-F- pE p Energia di un dipolo in un campo elettrico Momento torcente indotto da un campo elettrico E su un dipolo p Equivale ad aver fissato lo zero dellenergia a

38 38 ABCD A, B, C, D sono quattro dipoli elettrici. Orientare i momenti di dipolo corrispondente Valutare lenergia potenziale. Calcolare il momento torcente in modulo e direzione Esercizio 1 Esercizio 2 d d p1p1 p3p3 p2p2 Calcolare il campo elettrico generato dal dipolo p 1 nella posizione in cui si trovano il dipolo p 2 ed il dipolo p 3. Calcolare lenergia dei dipoli p 2 e p 3 nel campo generato da p 1 Calcolare il momento torcente sui dipoli p 2 e p 3 dovuto al campo generato da p 1

39 39 Molecole polari p = C m p = C m p = C m p = C m

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41 41 CONDENSATORE IN PRESENZA DI UN DIELETTRICO E E +Q -Q dd V V V = V / r r >1 costante dielettrica relativa Sperimentalmente si trova che : V < V E=E / r C=C r

42 42 Problema: Come è legata la costante dielettrica (grandezza microscopica) ai momenti di dipolo degli atomi e delle molecole (grandezze microscopiche). r r dipende da: Tipo di materiale Stato di aggregazione Temperatura Orientazione del cristallo

43 43 Come dipende p da E ? Come si comporta la materia in presenza di un campo E POLARIZZAZIONE PER DEFORMAZIONE E = 0 E p = 0 p 0 Atomo H Come si comportano gli atomi E = 0 = 0 0 E POLARIZZAZIONE PER ORIENTAMENTO Come si comportano le molecole dotate di momento di dipolo proprio

44 44 Polarizzazione per deformazione + R d E Nucleo +Ze Elettroni -Ze Il campo elettrico a cui è sottoposto il nucleo quando si trova ad una distanza d rispetto al baricentro della carica negativa è dato da: Densità di carica elettronica Campo di richiamo allinterno dellatomo + F est =ZeE F at =ZeE at

45 45 1.Perché D è più grande per il potassio che per il litio 2.Calcolare D per il berillio ed il potassio 3.Confrontare la polarzzabilità del Li con quella del Li + e con quella del He HHeLiBeCNeNaArK D R(Å) Polarizzabilità atomiche ( farad m 2 ) Polarizzabilità elettroniche di ioni ( cm -3 = farad m 2 ) Esercizi: Li Li + He D Esercizio 3

46 46 Polarizazione per orientamento y x z E = 0 = 0 = = = 0 p 0 = = 0 0 E p media statistica Temperatura T Per un sistema che si trova a temperatura T la probabilità di essere in uno stato di energia U è proporzionale al fattore di Boltzmann exp (-U/k B T) In un sistema termodinamico composto di molte particelle allequilibrio termico, la condizione di equilibrio non è più determinata semplicemente dal minimo dellenergia potenziale, ma dipende anche dalla temperatura a cui si trova il sistema

47 47 U U=pE T = 0 T 0 k B T<< U T 0 k B T>> U U U T = 0 T 0 k B T<< U T 0 k B T>> U

48 48 Nel limite di piccoli campi e grandi temperature pE/k B T <<1 Per un sistema di dipoli p in campo E posto a temperatura T

49 49 = = p E z d d sin d elemento di angolo solido con fissato p

50 50 Una molecola dotata di dipolo permanente p in presenza di un campo elettrico E presenterà un momento di dipolo medio dato da: proporzionale al campo applicato E orientato in direzione e verso di E Prossimo obbiettivo: connettere il punto di vista MICROSCOPICO MACROSCOPICO (momenti di dipolo di atomi e molecole) (costante dielettrica)

51 51Esercizi: 1.Calcolare la polarizzabilità dellacqua a temperatura di 20° C e a temperatura di 110° C. 2.È più importante il contributo per deformazione o per orientamento ? 3.In che modo è possibile distinguere fra i due contributi ? 4.Quale dei composti in figura è costituito di molecole polari ? Polarizzabilità molare per composti derivati dal metano, con sostituzione polare o non polare, in forma gassosa Polarizzabilità ( farad m 2 )

52 52 Definizione del vettore polarizzazione P V abbastanza grande da contenere molti momenti di dipolo p sufficientemente piccolo in modo che E non vari troppo al suo interno Come dipende P da E ? Se abbiamo un sistema contenente molti dipoli in presenza di un campo elettrico E il vettore polarizzazione P sarà dato da: P V pipi N numero di molecole contenute nel volume V n V densità delle molecole per unità di volume polarizzabilità della singola molecola o atomo suscettibilità di n atomi o molecole r costante dielettrica del materiale DOBBIAMO ANCORA CONNETTERE r Vettore Polarizzazione

53 53 Come si comporta un dielettrico nel suo complesso? P E e P costantiE e P variabilip P E E

54 54 Come si calcola la carica di polarizzazione ? P dcos p=qd P=np Q P carica distribuita sulla superficie S dovuta alla polarizzazione della materia P carica superficiale di polarizzazione densità di carica volume in cui è contenuta

55 __________________ E P=np P= E p=qdp=qd E= Q carica vera sulle armature del condensatore Q P carica di polarizzazione alla superficie del dielettrico carica superficiale vera sulle armature del condensatore P carica superficiale di polarizzazione alla superficie del dielettrico

56 56 Campo nel dielettrico Campo nel vuoto Il campo allinterno del dielettrico (E) è minore del campo che ci sarebbe in assenza di dielettrico (E). Dal confronto delle capacità di un condensatore in vuoto (C) ed un condensatore riempito di dielettrico (C=C r ) avevamo trovato la seguente relazione tra il campo E ed E: Da cui segue che:

57 57 Esercizi 1.Data la costante dielettrica del H 2 O in forma gassosa a T=110°C e pressione di 1 Atmosfera, r =1.0126, calcolare la polarizzabilità della molecola di H 2 O 2.Data la costante dielettrica del H 2 O in forma liquida a T=20°C e, r =80, calcolare la polarizzabilità della molecola di H 2 O 3.Confrontare i valori di polarizzabilità trovati nei due casi precedenti con il valore di polarizzabilità per orientamento D, prevista alle due diverse temperature. Discutere. N A = mol -1 ; k B = Joule/K ; 1 Atmosfera = N/m 2

58 58 Dielettrici densi Fino ad ora abbiamo trascurato linterazione tra i momenti di dipolo che diventa rilevante in un materiale denso come un liquido o un solido. In questo caso il momendo di dipolo sarà proporzionale non al campo esterno, ma al campo locale agente nella posizione in cui si trova la molecola. Il campo locale E loc in generale dipende dal contributo dei dipoli vicini. In un liquido o in un solido ad alta simmetria (cubico) si ha che: Relazione di Clausius-Mossotti Contributo dei dipoli vicini

59 59 Dielettrici diluiti: Gas Dielettrici densi: liquidi o solidi isotropi Relazione di Clausius-Mossotti

60 60 Cristalli ferroelettrici T c Un cristallo ferroelettrico presenta un momento di dipolo elettrico anche in assenza di un campo elettrico applicato. La ferroelettricità scompare al di sopra di una certa temperatura detta temperatura di transizione o temperatura di Curie ( T c ). Si definisce polarizzazione di saturazione P s =n p P s =n p, dove n è il numero di celle cristalline per unità di volume e p è il momento di dipolo associato a ciacuna cella. La polarizzazione di saturazione è quella che si ha quando tutti I dipoli sono orientati parallelamente.

61 61 Il titanato di bario (BaTiO 3 ) è un cristallo ionico in cui la valenza dei singoli elementi è la seguente Ba ++, Ti 4+ e O --. Se la cella è perfettamente cubica il momento di dipolo risulta nullo. Al di sotto della temperatura di Curie la cella si deforma e si genera un momento di dipolo. Esercizio Si calcoli la polarizzazione di saturazione del titanato di bario assumendo che gli ioni positivi Ba ++ e Ti 4+ siano spostati di d=0.1 Å rispetto agli ioni negativi O – e che la cella sia cubica di lato a=4 Å. Si calcoli quindi lenergia di interazione tra due dipoli primi vicini posti sullo stesso asse e si confronti il valore trovato con lenergia termica a T ambiente a p p = 6ed = Cm n = 1/a 3 = m -3 P s = n p = 0.15 C m -2 U=p 2 /(2 a 3 )=p 2 n = J U T =kT= = J

62 62 Costante dielettrica dei materiali ferroelettrici


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