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A cura dei prof. Roberto Orsaria e Monica Secco LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO E ALBERGHIERI.

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Presentazione sul tema: "A cura dei prof. Roberto Orsaria e Monica Secco LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO E ALBERGHIERI."— Transcript della presentazione:

1 a cura dei prof. Roberto Orsaria e Monica Secco LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO E ALBERGHIERI E DELLA RISTORAZIONE B. STRINGHER- UDINE

2 Cosa è unequazione di secondo grado? Unequazione di secondo grado è unequazione in cui lincognita (usualmente indicata con la lettera x) compare con esponente al massimo pari a 2. Ad esempio sono equazioni di secondo grado: x 2 -3x=44x 2 -1=03x 2 -2x+4=0

3 Cosa significa risolvere unequazione? Significa trovare gli eventuali valori numerici che assegnati allincognita rendono lequazione unuguaglianza sempre vera. Questi valori vengono dette soluzioni o radici dellequazione.

4 Quante sono le soluzioni di unequazione di secondo grado? Unequazione di secondo grado può avere: 1) due soluzioni reali distinte determinata 2) due soluzioni reali coincidenti 3) nessuna soluzioneimpossibile 4) infinite soluzioniindeterminata Nei casi 1) e 2) lequazione si dice determinata, mentre nel caso 3) si dice impossibile e nel caso 4) si dice indeterminata

5 Cosa si intende per forma normale dellequazione di secondo grado? Data unequazione di secondo grado, essa può essere sempre ricondotta, effettuando opportuni passaggi algebrici, alla forma: ax 2 +bx+c=0 questa è detta forma normale. Ad esempio nell equazione 4x 2 =+5x-12, trasportando tutti i termini al primo membro (ricordandosi di cambiarne il segno) otteniamo lequazione in forma normale: 4x 2- 5x+12=0

6 Classificazione delle equazioni di secondo grado In base alla loro forma le equazioni di secondo grado vengono così classificate: equazioni pure: ax 2 +c=0 equazioni spurie: ax 2 +bx=0 equazioni complete: ax 2 +bx+c=0 Le equazioni pure e spurie sono dette anche incomplete

7 Come si risolve unequazione pura? Considera lequazione pura: ax 2 +c=0 isola il termine con x 2 : ax 2 = -c dividi per a: x 2 = -c/a a questo punto si possono verificare due casi:

8 1 0 caso: il termine –c/a è positivo: si può allora estrarre la radice quadrata e si ottengono due soluzioni distinte (una positiva e laltra negativa) x 1,2 = ± -c/a 2 0 caso: il termine –c/a è negativo: in questo caso non si può estrarre la radice quadrata e lequazione non ha soluzioni reali (è impossibile).

9 Ad esempio considera lequazione: 4x 2 -16=0 isola il termine x 2 : 4x 2 = 16 dividi tutto per 4 e ottieni: x 2 = 4 e quindi estrai la radice quadrata di +4 (ricordati che ci sono due soluzioni di segno opposto) x 1,2 = ± 2

10 Considera ora lequazione pura seguente: 2x 2 +50=0 isola il termine x 2 e ottieni: 2x 2 = -50 dividi tutto per 2: x 2 = -25 osserva ora che al secondo membro dellequazione hai un numero negativo, per cui non è possibile estrarre la radice quadrata e quindi lequazione è priva di soluzioni reali, cioè impossibile.

11 Come si risolve unequazione spuria? Consideriamo lequazione spuria ax 2 +bx=0 raccogli a fattor comune la x: x(ax+b)=0 applica la legge di annullamento del prodotto (il prodotto di due fattori è nullo se e solo se almeno uno dei due fattori è nullo) e otteni che deve essere: 1 0 fattore uguale a zero x=0 2 0 fattore uguale a zero: ax+b=0, da cui x= -b/a

12 quindi unequazione spuria ha sempre due soluzioni distinte, di cui una vale sempre zero. Esempio se devi risolvere lequazione spuria: 3x 2 +5x=0 devi raccogliere a fattor comune la x: x(3x+5)=0 e così ottieni le due soluzioni: x 1 =0ex 2 = -5/3

13 Come si risolve unequazione completa? Per risolvere unequazione completa ax 2 +bx+c=0 devi applicare la formula risolutiva seguente: x 1,2 = (-b± b 2 -4ac)/2a Il termine che compare sotto radice viene chiamato discriminante e indicato usualmente con la lettera greca (delta).

14 Quale è il ruolo del discriminante? Il discriminante gioca un ruolo molto importante ai fini della determinazioni delle soluzioni dellequazione. A seconda del suo segno si possono verificare tre casi: 1 o caso: >0 in questo caso sotto il simbolo di radice si ha un numero positivo, per cui è possibile estrarre la radice quadrata e si ottengono due soluzioni reali distinte x 1,2 = (-b± b 2 -4ac)/2a

15 2 o caso: =0 se il discriminante è nullo, la radice quadrata è pure nulla e quindi si ottengono due soluzioni reali coincidenti: x 1 = x 2 = -b/2a 3 o caso: <0 se il discriminante è negativo, sotto radice abbiamo un numero negativo e quindi non è possibile estrarre la radice quadrata, per cui lequazione non ha soluzioni reali (è impossibile)

16 Esempi 1) Considera lequazione completa x 2 +3x+2=0 risulta:a=1b=3c=2 calcola il discriminante b 2 -4ac: = ·1· 2= 9-8=1 esso è positivo per cui lequazione ammette due soluzioni reali distinte: calcola la radice quadrata del discriminante: = 1 ottieni allora le due soluzioni: x 1 = (-3+1)/2= -1 ex 2 = (-3-1)/2=-2

17 2) Considera lequazione completa: x 2 -10x+25=0 risulta: a=1b=-10c=+25 calcola il discriminante: = (-10) 2 -4· 1· 25= =0 esso è nullo e quindi lequazione ammette due soluzioni reali coincidenti: x 1 =x 2 = 10/2=5

18 3) Considera lequazione completa x 2 -7x+13=0 risulta: a=+1b=-7c=+13 calcola il discriminante: = (-7) 2 -4· 1· 13= 49 – 52 = -3 <0 il discriminante è negativo e quindi lequazione non ammette soluzioni reali, cioè è impossibile.


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