La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Classe II B - anno scolastico 2002/03 da Tartaglia a Galois.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Classe II B - anno scolastico 2002/03 da Tartaglia a Galois."— Transcript della presentazione:

1

2 Classe II B - anno scolastico 2002/03 da Tartaglia a Galois

3 Classe II B - anno scolastico 2002/03 IL CINQUECENTO Incremento demografico Miglioramento condizioni di vita Ascesa del ceto mercantile-imprenditoriale Costituzione di grandi imperi coloniali Riforma protestante Germania: cuius regio eius religio Concilio di Trento 1545 Francia: guerra di religione fra Cattolici e Ugonotti Rinascimento: decentralizzazione uomo

4 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Niccolò Tartaglia Brescia 1499 – Venezia 1557

5 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Regola di Scipion del Ferro Quando le cose e li cubi si eguagliano al numero [ax+bx 3 =c] ridurai la equatione a un cubo [x 3 +px=q] partendo per la quantità dei cubi [dividendo per il coefficiente di x 3 ], poi cuba la terza parte delle cose [p 3 /27], poi quadra la metà del numero [q 2 /4] e questo suma con il detto cubato [q 2 /4+p 3 /27], et la radice di deta summa più la metà del numero fa un binomio [ ] et la radice cuba di tal binomio, men la radice cuba del suo residuo val la cosa.

6 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Alcuni problemi proposti da fiori: trovare un numero che, sommato alla sua radice cubica, dia come risultato sei. Un ebreo presta un capitale a condizione che alla fine dellanno gli venga pagata come interesse la radice cubica del capitale. Alla fine dellanno, lebreo riceve ottocento ducati, tra capitale e interessi. Qual era il capitale?

7 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Alcuni problemi posti da Tartaglia un vascello sul quale si trovano quindici turchi e quindici cristiani viene colpito da una tempesta e il capitano ordina di gettare fuori bordo la metà dei passeggeri. Per sceglierli si procederà come segue: tutti i passeggeri verranno disposti in cerchio e, cominciando a contare a partire da un certo punto, ogni nono passeggero verrà gettato in mare. In che modo si devono disporre i passeggeri perché solo i turchi siano designati alla sorte per essere gettati in mare? Suddividere un segmento di lunghezza data in tre segmenti con i quali sia possibile costruire un triangolo rettangolo. Una botte è piena di vino puro. Ogni giorno se ne attingono due secchi, che vengono sostituiti con due secchi dacqua.in capo a sei giorni, la botte è piena per metà dacqua e per metà di vino. Qual era la sua capacità?

8 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Partiamo dallequazione x 3 +6x=20; applicando il procedimento di Tartaglia si ha: u – v = 20 uv = 216/27 = 8 sostituendo la 1) nella 2) si ottiene: (20 + v)v = 8 da cui v v – 8 = 0 applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado si ha la radice positiva è, conseguentemente Infine In generale

9 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Girolamo Cardano Padova 1501 – Roma 1576

10 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Le opere Practicae arithmeticae, Norimberga, 1539 Artis magnae, sive De regulis algebraicis liber unus, Norimberga, 1545 De vita propria liber, 1575 La pubblicazione della formula risolutiva delle equazioni di terzo grado nellArs Magna, portò ai sei cartelli di matematica disfida con Tartaglia, che tra laltro lo ingiuriò con lappellativo di huomo che tien poco sugo.

11 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Equazioni di 3° grado… in rima! Quando che l cubo con le cose appresso Se agguaglia a qualche numero discreto: Trovami dui altri, differenti in esso; Dapoi terrai, questo per consueto, Che l loro prodotto, sempre sia eguale Al terzo cubo delle cose netto; El residuo poi suo generale Delli lor lati cubi, ben sottratti Varrà la tua cosa principale. […]

12 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Ludovico Ferrari Bologna

13 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Formula risolutiva per le equazioni di 4° grado Data unequazione del tipo ax 4 + bx² + c = dx, aggiungendo ad entrambi i membri opportune quantità in modo da rendere entrambi dei quadrati ed estraendo, poi, la radice quadrata, si ottiene unequazione facilmente risolubile, ma non era in termini geometrici. Metodo escogitato da Ferrari con lesempio numerico dellequazione: x 4 + 6x² + 36 = 60x Se si aggiunge ai due membri dellequazione: 6x² + 2x²y + (y² + 12y), dove y è una nuova incognita, si ottiene: (x² + y + 6)² = 2(y + 3)x² +60x + y² + 12y Il primo membro è un quadrato perfetto ; affinché lo sia anche il secondo deve essere : 30² = 2(y + 3)(y² + 12y) da cui si ottiene la risolvente di 3° grado 2y³ + 30y² + 72y = 900 y³ + 15y² + 36y = 450 che permette di determinare la y e risolvere completamente lequazione data con unestrazione di radice quadrata, che porta ad unequazione di 2° grado in x.

14 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Raffaele Bombelli Bologna (?)

15 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Nella sua opera, Algebra, espose i metodi di risoluzione delle equazioni di 3° grado. Bombelli si occupò del cosiddetto caso irriducibile, utilizzando nella sua risoluzione radici quadrate di numeri negativi, operando su di esse come se fossero veri numeri, cosa assurda per un matematico dellepoca. In particolare, partendo da una dimostrazione geometrica basata sulla scomposizione di un cubo in due cubi e sei parallelepipedi, fornì il metodo per calcolare le soluzioni reali di equazioni del tipo x³+ px = q

16 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Osserviamo il cubo sottostante: Sia a il lato del cubo completo, (a-b) il lato del cubo più grande e b quello del più piccolo che si forma dalla sezione effettuata. I parallelepipedi che si formano sono tre di base (a-b)(a-b) ed altezza b, e tre di base b b ed altezza (a-b). Unendo ognuno dei maggiori con ognuno dei minori si formano tre parallelepipedi di base a(a-b) e altezza b. Assegnate le misure dei lati alle diverse figure, si ha: x 3 =(a-b) 3 +b 3 +3b 2 (a-b)+3(a-b) 2 b, ossia il volume del cubo assegnato è uguale alla somma dei volumi delle figure in cui si scompone. Svolgendo i prodotti, raccogliendo e portando al primo membro (a-b), si ottiene: (a-b) 3 =a 3 -3ab(a-b)-b 3. Lobiettivo è trovare le soluzioni dellequazione del tipo x 3 +px=q. Se prendo come incognita la quantità x=(a-b), ossia il lato del cubo più grande ottenuto dalla scomposizione, e la sostituisco nella precedente equazione si ha lidentità: (a-b) 3 =a 3 -3ab(a-b)-b 3 x 3 =a 3 -3abx-b 3 x 3 +3abx=a 3 -b 3 Lequazione x 3 +px=q si riduce allidentità precedente quando a e b siano tali da rendere 3ab=pquindiab=p/3 a 3 -b 3 =qa 3 -b 3 =q

17 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Esempio Trovare la soluzione dellequazione x³+6x=20. Per trovare la soluzione di questa equazione, posto x=a–b risolvere il sistema: ab=6/3=2 a3-b3=20 Dalla prima equazione, preso b=2/a e sostituitolo nella seconda equazione, otteniamo a³-8/a³=20; facendo il m.c.m. si ha a 6 -20a³-8=0. Posto a³=t, lequazione si trasforma in t² -20t–8=0 che ha come soluzioni, applicando la formula ridotta, t=10± ma, poiché la nostra incognita è il lato di un cubo, la soluzione negativa non sarà accettabile, per cui lunica soluzione che possiamo considerare è t=10+ Quindi si avrà a= e b=2/a, quindi b=2/, che razionalizzando si può scrivere come: Quindi

18 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Ciò equivale alla forma che si trova nellopera di Bombelli Ora e poiché Operando allo stesso modo su si ha che Come si è detto in precedenza Bombelli introdusse i numeri immaginari per trattare le equazioni cubiche anche nel caso irriducibile, circostanza che capitava assai più frequentemente della risoluzione con radicali cubici reali. Il nome proposto per lunità immaginaria (oggi i) è proprio solo di Bombelli: poiché non si può chiamare né più, né meno, però lo chiamerò più di meno (+ i) quando egli si dovrà aggiungere, e quando si dovrà cavare lo chiamerò men di meno (- i).

19 Classe II B - anno scolastico 2002/03 François Viète Fontenay-le-Comte 1540 Parigi 1603

20 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Convocato al parlamento di Parigi nel 1571, fu dapprima consigliere presso il parlamento di Bretagna, poi presso quello di Parigi dove divenne consigliere di Enrico III e di Enrico di Navarra. Introdusse luso delle lettere nel calcolo per rappresentare le quantità note e le incognite e portò contributi fondamentali alla teoria delle equazioni. La prima raccolta della sua Opera mathematica fu pubblicata solo nel 1643: ciò ne impedì la valorizzazione mantenendo nellombra i suoi meriti. 1579, Canon Mathematicus: introduzione di frazioni decimali, in luogo di quelle sessagesimali, per ottenere tavole trigonometriche migliori (inventa le regole di prostaferesi). Conferma dellintuizione bombelliana riguardo allesistenza di una relazione tra il caso irriducibile delle equazioni di 3° grado e il problema della trisezione dellangolo. Dallequazione x3 + px + q = 0 con la sostituzione x = my si ottiene, infatti, lequazione y3 + yp/m2 + q/m3 = 0, dove m rappresenta una quantità che possiamo determinare a piacere. Confrontando ora questultima equazione con la seguente identità trigonometrica: cos3 /3 – ¾ cos /3 – ¼ cos = 0 richiedendo che sia p/m2 = - ¾ e q/m3 = - ¼ cos si ricavano per m e cos i seguenti valori reali (poiché p<0)

21 Classe II B - anno scolastico 2002/03 De aequationum recognitione et emendatione Risoluzione trigonometrica dellequazione di 3° grado. Presentazione di funzioni simmetriche per le equazioni fino al 5° grado. Conservazione del formalismo dellalgebra retorica usato da Cardano e Bombelli. Es.: per indicare luguaglianza preferì abbreviare in aeq il latino aequalis, ignorando, invece, il simbolo =, già introdotto nel 1557; tuttavia propose di indicare con consonanti le grandezze o quantità che si ritenevano note e le vocali per rappresentare le incognite nelle equazioni.

22 Classe II B - anno scolastico 2002/03 IL SETTECENTO E LOTTOCENTO Crescita popolazione: teorie di Malthus e Hume Inghilterra: rivoluzione agricola, capitalismo agrario, lavoro salariato, rivoluzione industriale; altri Paesi arretrati Grandi potenze mercantili europee; imperi coloniali Indipendenza Stati Uniti dAmerica (1776) Liberismo e fisiocrazia Rivoluzione dei consumi: nuovi alimenti importati dallAmerica Nascita della politica dellequilibrio come soluzione alle guerre del secolo Illuminismo francese: lEncyclopèdie; diffusione anche nel resto dEuropa Giusnaturalismo e contrattualismo Rivoluzione francese e ascesa napoleonica

23 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Niel Henrick Abel Norvegia

24 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Testi di grandi matematici: Eulero, Newton e Lagrange Nel 1821, a soli diciannove anni fece una scoperta eccezionale: riuscì a dimostrare che è impossibile risolvere unequazione di quinto grado attraverso una formula. Nel 1823 scoprì che è impossibile risolvere in radicali unequazione generale di quinto grado e ne ricavò il problema inverso: quello della classificazione completa delle equazioni algebriche risolvibili in radicali. N.H.Abel

25 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Evariste Galois Bourg-la-Reine 1811 – Parigi 1832

26 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Arrestato nel 1831 per le sue idee repubblicane ed espulso dallEcole Normale di Parigi. Pubblicazione postuma dei manoscritti: fama indiscussa di matematico geniale. Galois ricavò che a ogni equazione risolvente è associato un gruppo di numeri algebrici intermediario fra il corpo generato dalle radici dellequazione in esame e quello determinato dai suoi coefficienti. La risolubilità per radicali di unequazione di grado n dipende quindi dalla presenza o meno di determinate proprietà nella sequenza di gruppi da cui è costituita. Queste proprietà sono sempre presenti per la equazioni di grado 4. In generale non ci sono per quelle di grado >4. E. Galois in un disegno dellepoca

27 Classe II B - anno scolastico 2002/03 Realizzazione:Manuela ZARDONI Flaminia SPARACINO Elisabetta BORRONI Linuccia BLANCO Veronica COLLINI Si ringrazia per la collaborazione: Daniela Zardoni Liceo Classico Linguistico D. Crespi - Busto Arsizio


Scaricare ppt "Classe II B - anno scolastico 2002/03 da Tartaglia a Galois."

Presentazioni simili


Annunci Google