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1 Suono, luce, onde radio... sono tutte: perturbazioni di una proprietà fisica, con origine in una sorgente Onde meccaniche : oscillazioni del mezzo in.

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Presentazione sul tema: "1 Suono, luce, onde radio... sono tutte: perturbazioni di una proprietà fisica, con origine in una sorgente Onde meccaniche : oscillazioni del mezzo in."— Transcript della presentazione:

1 1 Suono, luce, onde radio... sono tutte: perturbazioni di una proprietà fisica, con origine in una sorgente Onde meccaniche : oscillazioni del mezzo in cui si propagano Onde elettromagnetiche : oscillazioni del campo e.m. mentre la velocità di propagazione dipende dalle caratteristiche del mezzo quali la sua elasticità, densità etc. la frequenza delle onde dipende dalla sorgente i costituenti del mezzo in cui si propaga londa oscillano intorno alla loro posizione di equilibrio un onda e una perturbazione che si propaga nel tempo e nello spazio attenzione : una perturbazione e la variazione rispetto alla configurazione di equilibrio di una o piu grandezze caratteristiche di un sistema fisico i fenomeni ondulatori non comportano il trasporto di materia : cio che si propaga sono lenergia, la quantita di moto e il momento della quantita di moto trasportati dallonda ma non viaggiano da un punto allaltro dello spazio ma attenzione: laffermazione che la velocità di propagazione dipende soltanto dalle caratteristiche del mezzo e vero, a rigore, solo nei mezzi non dispersivi Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A Fenomeni Ondulatori

2 2 infatti se il profilo della perturbazione fa una pura traslazione si dovra avere: la traslazione di un onda che si propaghi nel caso unidimensionale, di propagazione lungo lasse delle ascisse e descrivibile come senza distorsione ne attenuazione in tale caso infatti dato che e affinche cio sia vero deve essere con se londa si sposta verso destra, onda progressiva, dovra essere descritta da una funzione del tipo f(x-vt) se si sposta verso sinistra, onda regressiva, da una f(x+vt) lungo lasse delle x Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A una perturbazione scalare viene rappresentata matematicamente dalla funzione donda

3 3 f puo essere una funzione qualsiasi, purche abbia come argomento una combinazione lineare di spazio e tempo le soluzioni con opportune condizioni iniziali sono del tipo: dunque si avra e cio significa che se f ha come argomento una combinazione lineare di spazio e tempo soddisfera sempre allequazione di DAlambert ovvero Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A equazione delle onde o di DAlambert caso unidimensionale

4 4 segno negativo onda progressiva fronte donda = luogo dei punti che hanno tutti la stessa fase = fase dellonda V = velocita di fase k = numero donda = kV = pulsazione dellonda = fase iniziale nomenclatura: segno positivo onda regressiva = funzione donda Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A

5 5 la linearita dellequazione di DAlalmbert garantisce che valga il principio di sovrapposizione see una soluzionee se e unaltra possibile soluzioneper il principio di sovrapposizione anche e una possibile soluzione onda piana uniforme se in più (solo parte progressiva): onda piana una possibile soluzione allequazione di DAlambert unidimensionale e si ha Perturbazioni scalari la perturbazione e una funzione scalareossia Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A

6 6 avra, in coordinate cartesiane, tre se la perturbazione ha carattere vettoriale la equivale alle tre equazioni scalari e e la componenti se Perturbazioni vettoriali con ciascuna componente a sua volta funzione di x,y,z,t Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A si ha un onda longitudinale ( onda sonora in aria) si ha un onda trasversale se Onde longitudinali e trasversali ( onda e.m. nel vuoto) supponiamo che la perturbazione vettoriale si stia propagando lungo lasse delle ascisse e/o e e

7 7 se in più è su un piano perpendicolare a i l onda e polarizzata linearmente ( può cambiare solo il modulo) ^ ^ ^ Polarizzazione delle onde trasversali Se lestremo del vettore donda disegna un cerchio o unellisse nel piano trasversale: Polarizzazione circolare o ellittica. Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A

8 8 Onde armoniche piane uniformi Vai al Physlet Ch posto periodicita spaziale e temporale periodo temporale detto periodo periodo spaziale detto lunghezza donda descrivono una perturbazione periodica in cui la forma della funzione donda e di tipo sinusoidale, ad esempio per un onda che si propaghi lungo lasse delle ascisse e del tipo : nota bene : londa piana armonica si estende tra e e il fronte donda e un piano e si ha l ampiezza A e costante dasi ricava dovee la frequanza Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A

9 Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A onda piana e uniforme, progressiva, lungo x: onda piana e uniforme, progressiva, lungo una direzione qualsiasi dello spazio individuata dal versore onda piana e uniforme armonica, progressiva lungo la direzione individuata dal versore P ^ P i ^

10 10 il fronte donda e una sfera sorgenti puntiformi producono onde sferiche generica onda sferica: generica onda sferica armonica: onda sferica, armonica e uniforme: da notare come in tutti i casi lampiezza decresca come attenzione: anche se il fronte donda e una sfera in generale lenergia non e necessariamente distribuita in modo uniforme sul fronte donda sferico Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A Onde armoniche sferiche

11 11 onda armonica piana come limite di onda sferica per r espressione di un onda armonica cilindrica uniforme sorgenti puntiformi producono onde sferiche; sorgenti rettilinee producono onde cilindriche Onde cilindriche Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A a grande distanza dalla sorgente, presa una piccola porzione del fronte donda onda piana

12 12 in particolare V è la velocità con cui si muove un qualsiasi punto (fase fissa) dellonda, per esempio un massimo: l onda armonica, detta anche monocromatica, si propaga con velocita V la velocità di fase e utile solo nel caso di un onda armonica monocromatica V e detta anche velocita di fase V f ma attenzione : (esempio : luce nel vuoto...) in generale la velocita di propagazione dellonda dipende dal numero donda K Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A Velocita di fase e di gruppo

13 13 le onde armoniche mantengono la loro forma anche in un mezzo dispersivo, ma viaggiano a velocità diversa (secondo k ) le onde di altra forma, invece, propagandosi in un mezzo dispersivo si deformano nei mezzi non dispersivi la velocita di fase e una costante e non dipende dalla nei mezzi dispersivi vale la relazione dove nei mezzi dispersivi la velocita di fase dipende dalla frequenza e quindi anche dal vale a dire che e k sono direttamente proporzionali pulsazione e quindi nemmeno dal numero donda k, se V f = cost numero donda k ossia V f = V f (k) Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A

14 14 definendo lunita dei numeri immaginari come i dove Rappresentazione nel piano complesso P(x,y) i 1 R I r e asse reale asse immaginario dove r e il modulo e l argomento, o fase, di z qualunque numero puo essere scritto come cone c e detto numero complesso grazie allintroduzione dei numeri complessi da notare che siccome data una soluzione complessa, ne esiste sempre unaltra, detta complessa coniugata, puo essere risolta ogni tipo di un generico numero complesso puo essere rappresentato come un vettore nel piano complesso e il complesso coniugato di c si ha ottenuta dalla prima sostituendo i con - i equazione algebrica Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A Richiamo sui numeri complessi

15 15 o delle due coordinate sugli assi reale ed immaginario di un modulo e di un argomento, detto fase supponendo che lo sviluppo in serie dellesponenziale valga anche se x = i si ha formula di Eulero quindi in conclusione qualunque numero complesso numeri complessi equivale alla somma di due vettori nel piano complesso dati i due numeri complessie quindi o come oppure come puo essere scritto in termini da cio si deduce che la somma di due oppure Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A

16 16 se e e quindi riesce che : per cui Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A

17 17 sfruttando le proprieta della funzione esponenziale e la relazione di Eulero si ha uguagliando le parti reali ed immaginarie rispettivamente si ottiene se procedendo in modo identico a prima, da si ottienee cosi via per e analogamente per Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A Numeri complessi e funzioni trigonometriche

18 18 estraendo la radice quadrata di entrambi i membri nella uguaglianza non si puo pensare di aver ottenuto un affermazione incoerente, utilizzando la relazione di Eulero si ha e per le proprieta dell esponenziale perche la radice quadrata di un numero complesso Nota 1: cio significa che dividere un numero per i equivale a moltiplicarlo per –i mentre moltiplicare un numero per +i equivale a ruotarlo nel piano Nota 2: ossia a ruotarlo nel piano complesso di 90 gradi in senso antiorario complesso di 90 gradi in senso orario ossia i = -i non e una funzione univocamente determinata ma Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A

19 19 se un vettore ruota con velocità angolare costante = 0, le sue proiezioni sugli assi cartesiani oscillano armonicamente. con ampiezza complessa cio comporta una notevole semplificazione dei calcoli: per esempio, le equazioni integro-differenziali (con soluzione sinusoidale) diventano algebriche (lineare) il moto armonico è descritto dalla parte reale del numero complesso, dove, in questo caso, r coincide con A : dove si e posto Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A Rappresentazione di grandezze armoniche con numeri complessi

20 20 o la parte immaginaria se occorre evidenziare il seno per cui anziche derivare o integrare funzioni trigonometriche si opera su esponenziali complessi, ad esempio e poi, se occorre evidenziare il coseno, si conserva solo la parte reale del risultato, se x(t) puo essere considerata come la parte reale del numero complesso z(t) cioe se eseguiremo le operazioni richieste direttamente su z(t) e solo alla fine dei calcoli prenderemo in considerazione la parte reale del risultato metodo simbolico Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A infatti:

21 21 e quindi e vero che ad esempio: secondo esempio: ed in effetti di nuovo si ha che Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A

22 22 ma attenzione: questo metodo simbolico funziona solo se le equazioni considerate solamente le operazioni lineari infatti commutano con loperazione prendere la parte reale sono lineari nella funzione armonica in particolare, sono lineari le equazioni di Kirchhoff, di Maxwell, e di DAlambert Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A

23 23 dunque x,t) puo essere considerata come la parte immaginaria londa piana armonica progressiva con mentre un onda piana armonica regressiva e rappresentata da una funzione donda del tipo del numero complesso quindi nel piano complesso la (x,t) sara rappresentata geometricamente da un vettore rotante o fasore quindi in generale si usa rappresentare come gia detto in precedenza se un vettore ruota con velocità angolare costante 0, le sue proiezioni sugli assi cartesiani oscillano armonicamente Cambi-Piccinini-Semprini- ZucchelliA.A Espressioni di un onda piana uniforme armonica progressiva di tipo sinusoidale:

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