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Una variabile aleatoria ( v.a.) e una applicazione che associa ad ogni risultato dello spazio degli eventi un numero reale nellintervallo [0,1] variabili.

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Presentazione sul tema: "Una variabile aleatoria ( v.a.) e una applicazione che associa ad ogni risultato dello spazio degli eventi un numero reale nellintervallo [0,1] variabili."— Transcript della presentazione:

1 una variabile aleatoria ( v.a.) e una applicazione che associa ad ogni risultato dello spazio degli eventi un numero reale nellintervallo [0,1] variabili aleatorie discrete e continue discreta una v.a. discreta e rappresentata da una tabella che definisce un modo grafico di rappresentare una v.a. discreta e l istogramma la probabilita associata ad ogni valore numerico assunto dalla v.a. il valore numerico assunto dalla v.a. discreta in un istogramma si presentano in successivi intervalli ( bins ) le probabilita (frequenze relative ) kP(k) 11/ es. : lancio di un dado attenzione a non confondere il concetto di a caso con lidea di distribuzione uniforme es. : distribuzione della somma dei risultati nel lancio di due dadi il lancio di due dadi e a caso, ma la somma dei risultati ottenuti non e distribuita in modo uniforme

2 la funzione f(x) che definisce la v.a. X e definita di modo che: se x, con continua una v.a. continua e rappresentata da un funzione continua e derivabile il grafico della f(x) puo essere pensato come un istogramma di binnaggio infinitesimo f(x) 0 x densita di probabilita f(x) e detta densita di probabilita, e il valore numerico assunto dalla v.a. continua X

3 per caratterizzare in modo sintetico, ma approssimativo, una v.a. si fa uso di indicatori di centralita e di dispersione. i principali indicatori sono il valor medio come indice di centralita e la varianza come indice della dispersione intorno al valor medio Valor medio e Varianza di una v.a. per v.a. discrete per v.a. continue f(x) 0 x f(x)dx

4 valor medio = np v.a. di Poisson (eventi rari) valore medio = varianza = npq varianza = es. 4! = ? o binomiale alcune tra le principali distribuzioni discrete sono : v.a. Bernoulliana

5 v.a.Gaussiana v.a. Uniforme [a,b] se la v.a. assume un valore costante in [a,b] altrove valor medio = varianza = valor medio =varianza = alcune tra le principali v.a. continue sono : f(x) x 0 a b G(, 2 ) il 68% della probabilita (dell area sotto la curva) e compresa tra il 95% della probabilita (dell area sotto la curva) e compresa tra il 99.7% della probabilita (dell area sotto la curva) e compresa tra e e e per una gaussiana si ha che si parla di v.a. uniforme ( distribuzione casuale ) nellintervallo

6 Gaussiana Standard o Normale se e f(x) 0 x N(0,1) la funzione definita come larea da - ad un generico punto z di una gaussiana standard, e detta funzione degli errori ( error function in inglese, da cui la denominazione erf( z ) ) altre importanti densita di probabilita sono la Chi Quadratoe la t di Student Funzione degli errori

7 importanza della gaussiana : teorema del limite centrale Vai allapplet Galton

8 Statistica finito negli esperimenti si effettua sempre solo un numero finito di misure, spesso molto limitato nella teoria della probabilita si ha a che fare con v. a. che possono assumere un numero discreto o una infinita, numerabile o meno, di valori, campione linsieme delle misure effettuate costituisce il campione oggetto della statistica predittiva e di determinare le caratteristiche della popolazione incognita basandosi su una serie finita di misure ripetute esempio : determinare la statura degli studenti di Ingegneria misurando le stature dei soli presenti in aula oggi a seconda che si tratti di v.a. discrete o continue ma esistera una statura vera ??? per stimare il valor medio di solito si fa uso in statistica dello stimatore media aritmetica in realta esiste una distribuzione di stature caratterizzabile tramite valori medi e varianza, parametri che pero sono incogniti e che occorrera quindi stimare a partire dalle misure effettuate, ossia a partire dai dati campionari

9 la media aritmetica non e lunico stimatore possibile del valor medio altri stimatori di centralita sono la media geometrica ma con la limitazione che tutti gli x devono essere positivi media armonica media quadratica ma con la limitazione che gli x non devono essere nulli in generale la media quadratica e sempre maggiore della media aritmetica infine, come indicatori di centralita di una distribuzione, si possono usare anche la mediana campionaria (= 50-esimo percentile ) e la moda compionaria ( = valore piu probabile)

10 Errori : errore = | valore misurato – valore vero | cause di errore: Limiti strumentali categorizzazione degli errori: misura di un intervallo di tempo usando un orologio che va troppo lento, o troppo veloce. indipendenti di solito vengono effettuate molte misure indipendenti della stessa grandezza, incertezze dovute a cause accidentali e alla limitatezza del campione di misure Casuali o statistici Sistematici si definisce ma a causa degli errori di misura il risultato varia sensibilmente da misura a misura fino a collezionare un numeroso campione di misure Cause accidentali Metodi di misura errati misura della lunghezza di un oggetto non in modo perpendicolare alloggetto ( errore di parallasse) gli errori statistici sono riducibili aumentando il numero di misure indipendenti della stessa grandezza aumentando la dimensione del campione.

11 es. : si siano effettuate n misurazioni della stessa grandezza fisica, x 1,x 2 …x n stima media aritmetica si assume come stima del valor vero della grandezza in esame la media aritmetica dei risultati ottenuti nelle varie misure la media aritmetica delle n misure e : la media aritmetica stima il valor vero, ma con un certo errore problema : come stimare lerrore statistico ? valore vero ma, ammesso che esista, quale e il per saperlo con certezza si dovrebbe fare una infinita di misure ripetute se si ha un numero finito di misure si puo solo tentare di stimarlo, con il minimo margine di errore possibile

12 come indicatore di dispersione di una distribuzione intorno alla sua media si usa la deviazione standard campionaria o errore quadratico medio, in inglese rms Root Mean Square o rms che e definito come : commento sulluso di n o di n-1 una tra le proprieta piu importanti della media aritmetica e che lerrore statistico della media aritmetica stessa e dato da:

13 Intervallo di confidenza si siano effettuate n misurazioni della stessa grandezza fisica, x 1, x 2 … x n la miglior stima del valor medio e la media aritmetica ma ripetendo una seconda volta le n misurazioni della stessa grandezza fisica, la miglior stima del valor medio continuerebbe ad essere la media aritmetica ma essendo gli x i diversi dagli x i la media aritmetica sarebbe diversa nella maggior parte dei casi, ma non sempre, se si stima il valor medio( vero ) come dunque anche la media aritmetica varia, imprevedibilmente, da campione a campione di media, o errore sulla media, si assume la deviazione standard campionaria si otterrebbe un secondo, diverso insieme di risultati: x 1, x 2 … x n si ha il 68% di probabilita di fare una stima esatta misurazioni ossia e essa stessa una variabile aleatoria come stima della fluttuazione della

14 se si stima il valor medio ( vero ) come si ha il 95% di probabilita di fare una stima esatta se si stima il valor medio ( vero ) come si ha il 99.7% di probabilita di fare una stima esatta

15 istogrammando i risultati di misure ripetute, indipendenti tra loro risulta, quasi sempre, se la distribuzione di una generica variabile aleatoria x segue la forma funzionale gaussiana il valore della percentuale che si desidera, ossia la attendibilita della stima del valor vero che si desidera ottenere, e detto livello di confidenza e si ha la probabilita che il 68% delle misure siano comprese tra il 95% delle misure siano comprese tra il 99.7% delle misure siano comprese tra e e e che le misure si distribuiscono in modo gaussiano Intervalli di confidenza anche la media aritmetica sara distribuita in modo gaussiano

16 Sono state fatte misure ripetute ed indipendenti tra loro di una grandezza fisica, ad es. il peso di un oggetto misurato con una bilancia precisa al per mille e cio si giustifica non pensando ad un errore di misura, ma postulando che il fenomeno stesso in esame sia aleatorio si puo quindi pensare alla misurazione come al modo di stabilire quale sia la percentuale di palline di un determinato colore contenute nellurna effettuando una serie limitata supponiamo sia stata preparato un urna riempendola di un numero molto elevato, al limite infinito, di palline con colori diversi in proporzioni diverse vista la precisione della misura e piu che ragionevole attendersi che i risultati non si riproducano perfettamente ossia che la misura del peso delloggetto sia descrivibile in termini di una variabile aleatoria in conclusione: una misura sperimentale e assimilabile al verificarsi di uno tra i tanti possibili risultati che una v.a. (il piu delle volte gaussiana) puo assumere la distribuzione della variabile aleatoria e sconosciuta, ma grazie al teorema del limite centrale, molto spesso si puo assumere che sia gaussiana allo sperimentatore e pero sconosciuta la distribuzione dei vari colori delle palline nellurna di estrazioni di palline dallurna

17 compito dello sperimentatore e quello di tentare di determinare dopo aver effettuato un certo numero di estrazioni quale sia la proporzione di palline di un determinato colore, ossia di stimare il valor medio della distribuzione sconosciuta cui si da il nome di valor vero il risultato di una singola misura equivale ad effettuare lestrazione a caso di una singola pallina dallurna e a verificare quale ne sia il colore la statistica predittiva, utilizzando i risultati rigorosi della teoria della probabilita e in grado di suggerire: ossia di determinare quale sia lerrore sulla media aritmetica quale sia il margine di errore con cui si puo fare la stima in funzione della numerosita del campione, del numero di estrazioni in questo caso, di valutare quale sia lattendibilita di questa misura in termini di probabilita, ossia quale sia il livello di confidenza della stima quale sia il miglior stimatore possibile del valor medio, o valor vero, di solito la media aritmetica,

18 non avendo altre informazioni a disposizione si dovra stimare il valor medio, impropriamente detto valor vero della grandezza incognita, usando i dati del campione di misure calcoliamo la media campionaria e l errore sulla media se x i e la i-esima misura lerrore sulla media vale arrotondando lerrore ad una sola cifra sono state fatte 25 misure ripetute ed indipendenti tra loro di una grandezza fisica, ad es. il peso di un oggetto misurato con una bilancia precisa al per mille 1.72, 1.65, 1.81, 1.72, 1.72, 1.67, 1.71, 1.72, 1.74, 1.70, 1.73, 1.70, 1.76, 1.72, 1.75, 1.71, 1.71, 1.72, 1.69, 1.79, 1.74, 1.73, 1.76, 1.73, i risultati, in gm, sono : e evidente che la misura non si riproduce perfettamente

19 se il livello di confidenza prescelto e il 68 % il risultato della misura e : al 95% di livello di confidenza al 99% di livello di confidenza nota : se si utilizzasse la convenzione delle cifre significative il risultato ottenuto con il 68% andrebbe presentato come m = gm mentre se avessimo operato al 95 e 99 % di livello di confidenza andrebbe presentato come m = 1.72 gm da notare la relazione tra la precisione e il grado di fiducia, o livello di confidenza : oppure a parita di numerosita del campione, ossia a parita di n, se una cresce laltra cala o

20 per costruire un istogramma ordiniamo le misure in ordine crescente calcoliamo quale sia la frequenza con la quale si presenta un particolare risultato grafichiamo la frequenza relativa, ossia la frequenza diviso il numero totale di misure la frequenza relativa e normalizzata allunita di modo che listogramma rappresenti una distribuzione di probabilita

21 Misure Frequenza Frequenza relativa = Frequenza / N tot N tot = F i = 25 ( x i ) ( F i ) ( Fr i ) istogramma delle frequenze relative


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