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Lequazione di Schrödinger in tre dimensioni Equazione di Schrödinger in una dimensione: la naturale estensione dellequazione di Schrödinger in tre dimensioni.

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Presentazione sul tema: "Lequazione di Schrödinger in tre dimensioni Equazione di Schrödinger in una dimensione: la naturale estensione dellequazione di Schrödinger in tre dimensioni."— Transcript della presentazione:

1 Lequazione di Schrödinger in tre dimensioni Equazione di Schrödinger in una dimensione: la naturale estensione dellequazione di Schrödinger in tre dimensioni è: in forma compatta: dove A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

2 Estensioni alle tre dimensioni Leq. di Schrödinger è lineare anche in 3-d e ancora possibile ricercare le soluzioni con la tecnica della separazione delle variabili: si troveranno in questo modo le soluzioni stazionarie ad energia definita: eq. di Schrödinger in 3d indipendente dal tempo e normalizzazione: e proprietà di continuità analoghe al caso 1-d A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

3 tentiamo una soluzione nella forma: lequazione : soluzione: la richiesta di continuità in 0 e in L x porta alla quantizzazione in x. e similmente per le altre coordinate divienedato che da cui si ottiene per lenergia: A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Buca di potenziale infinita in 3D

4 Forze (e potenziali) centrali Meccanica Classica : forze centrali: le forze centrali sono conservative: durante il moto si conserva il momento angolare Meccanica Quantistica : proprietà analoghe per i potenziali centrali U(r) : si avranno soluzioni numeri quantici associati al momento angolare: due (??) : numero quantico associato al modulo : numero quantico associato ad una componente numero quantico magnetico: principio di indeterminazione di Heisenberg: non si hanno stati a definito L x, L y, L z e solo due ! con momento angolare definito. A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

5 Eq. di Schrödinger - indipendente dal tempo - in coordinate polari sferiche le variabili angolari compaiono solo in un termine percio ricerco le soluzioni nella forma: che sostituito nellequazione di Schroedinger fornisce A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

6 Momenti angolari Armoniche sferiche: operatore L z : operatore L 2 : i numeri quantici m ed l servono per classificare gli stati stazionari tridimensionali; definiscono completamente la parte angolare della funzione donda P l,m polinomi associati di Legendre A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

7 Funzione spaziale soluzioni nella forma: una equazione differenziale in una funzione: per stati legati si avrà una relazione di quantizzazione ed un nuovo numero quantico che è detto numero quantico principale (n) dipende da l ma non da m gli stati stazionari saranno quindi identificati da terne di numeri: degenere per m una generica soluzione di stato legato sarà: le condizioni iniziali/al contorno definiscono i coefficienti c n,l,m A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

8 Atomo di idrogeno Sistema protone-elettrone tenuto insieme dalla forza elettromagnetica massa ridotta: e un potenziale centrale: conosciamo già le soluzioni angolari : - armoniche sferiche - parte radiale: lenergia è quantizzata: occorrono 13.6 eV per liberare lelettrone dal legame atomico, ossia per ionizzare un atomo di idrogeno e detta energia di Rydberg infatti A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

9 Soluzioni radiali le soluzioni allequazione sono dette funzioni di Laguerre: raggio di Bohr: distanza media elettrone-protone: A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

10 Livelli energetici El01 23 n=1 n=2 n=3 n=4 s p d l = Lettera: s p d f g h capienza e - : Notazione spettroscopica Questa struttura di base rimane anche per altri atomi Idrogeno: 1e 1s 1 1s 1 2s 0 2p 0 …. Elio: 2e 1s 2 1s 2 2s 0 2p 0 …. Litio: 3e 1s 2 2s 1 1s 2 2s 1 2p 0 …. Ossigeno: 8e 1s 2 2s 2 2p 4 1s 2 2s 2 2p 4 3s 0 3p 0 …. Argento: 47e 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 4 4d 10 5s 1 le proprietà chimiche dipendono solo dallultimo livello occupato A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

11 Transizioni tra livelli E n=1 n=2 n=3 n=4 Serie di Lyman Serie di Balmer Perdita di energia per passaggio tra due stati (transizione) lenergia è emessa sotto forma di energia luminosa: 1 fotone di energia Δ E la serie di Balmer da luce visibile A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli


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