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A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 1 Buca di potenziale unidimensionale infinita Particella in una buca di potenziale Particella confinata.

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1 A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 1 Buca di potenziale unidimensionale infinita Particella in una buca di potenziale Particella confinata in una regione limitata di spazio unidimensionale condizioni al contorno: Classicamente: -la particella può avere qualunque energia E 0 e qualunque velocità (momento) - se si misura la sua posizione i valori 0 < x < L sono equiprobabili A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

2 A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini per il principio di sovrapposizione se sono soluzioni anchee sara una possibile soluzione se supponiamo che Equazione di Shroedinger indipendente dal tempo assunto cheossia che ossia se V(x) = 0, si ha e posto l equazione di Shroedinger indipendente dal tempo si riconduce a equazione delloscillatore armonico semplice e dunque sia una soluzione si ha in conclusione: esistono due soluzioni immaginarie C 1 e C 2 saranno due numeri complessi A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli dove in generale con potenziale nullo ovunque,

3 A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini possiamo allora porre con utilizzando le formule di Eulero dove A e B si dovranno determinare in funzione delle condizioni al contorno A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli e

4 A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini assumeremo che E sia sempre maggiore di V, anche nel caso se nellequazione di Schroedinger con potenziale nullo non fosse presente il segno negativo, la sola cosa che cambierebbe e che al posto della dovremmo risolvere la ragionando in modo identico a prima e per il principio di sovrapposizione se fossero soluzioni anchee sarebbe una possibile soluzione anche in questo caso esisterebbero due in generale dei numeri complessi se ipotizzassimo cheotterremmo che si dovranno determinare in funzione delle condizioni al contorno da notare pero come queste soluzioni in linea di massima non siano normalizzabili perche lintegrale tra quindi, da un punto di vista strettamente matematico soluzioni, questa volta reali dato che diverge e quindi se possibile assumeremo che E > 0 se V = 0 ed E V > 0 se V e diverso da zero, ossia in caso contrario dovremo valutare caso per caso le possibili soluzioni scartando quelle non normalizzabili A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli cio si traduce nell imporre che l energia cinetica T sia positiva V sia negativo di modo che risulti sempre E V > 0 e dato che E e lenergia totale, cinetica piu potenziale e anche in questo caso C 1 e C 2 sarebbero negativa ! e questo equivarrebbe ad avere energia cinetica negativa !

5 A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini una prima soluzione e : ψ I (x)=0 per x < 0 per un potenziale dato da: ( buca di potenziale infinita ) la particella in questo caso non può mai trovarsi a x negative, nel caso della buca di potenziale unidimensionale infinita occorrera determinare la funzione donda A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli né a x > L e ψ III (x)=0 per x > L

6 A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini Per determinarli ricorreremo alle proprieta della funzione donda ed alle condizioni al contorno imponendo la continuità anche per x = L solo certi valori di energia sono permessi normalizzazione: dunque in questo particolare caso si puo scegliere A reale quindi: con n = 1, 2, 3, … intero A, B, e k e quindi E sono incogniti. per determinare A imporremo la condizione di normalizzazione della funzione donda richiedendo la continuità della funzione donda per x = 0 : l energia è quantizzata A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli quindi

7 A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini NB.: a) n 1, altrimenti (x) = 0 dato che se n=0 la funzione seno si annullerebbe per ogni x b) P(x) dipende da x c) Notare lequivalenza con le onde stazionarie. 7 Stati stazionari: (x) = 0 per x 0, x L autofunzioni A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli (x) 0 per 0 < x < L autovalori

8 A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 8 Buca di potenziale infinita Autovalori Esempio: elettrone in una buca di potenziale larga L=100 pm (dimensioni tipiche di un atomo) E può avere solo valori discreti (livelli energetici), con E >0. Il livello inferiore n =1 è lo stato fondamentale. Gli altri livelli di energia sono detti stati eccitati. Se fosse E = 0 sarebbe p= 0, p = 0, ma da p x=h sarebbe x = A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli vai allesercizio Livelli energetici in una buca di potenziale infinita i sistemi confinati devono avere energia E > 0

9 A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 9 Autofunzioni Densità di probabilità … … degli stati stazionari: indipendente dal tempo Parte indipendente dal tempo Buca di potenziale infinita sono funzioni ortonormali: ogni funzione f(x) può essere scritta A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

10 A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini La densità di probabilità per un elettrone intrappolato è quindi: Esempio per L= 100 pm La probabilità non è costante per tutti gli x interni alla buca di potenziale, contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare dalla fisica classica inoltre La distribuzione di probabilità varia al variare del numero quantico n. Allaumentare di n la distribuzione di probabilità tende ad essere uniforme.Cioè la fisica quantistica approssima quella classica (principio di corrispondenza) Probabilità 10 A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Buca di potenziale infinita vai allesercizio Probabilita per una particella intrappolata in una buca di potenziale infinita

11 A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 11 Buca di potenziale infinita Soluzioni dipendenti dal tempo Stato stazionario probabilità costante. Stato generico: sovrapposizione di stati probabilità variabile. Dalle relazioni di ortonormalità e di completezza si può dimostrare in generale che: … e in particolare: Conservazione dellenergia Analogo del moto di una particella A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

12 A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 12 Momento non esistono p n che soddisfino una equazione agli autovalori; cioè le n non sono autofunzioni del momento n è sinusoidale dentro la buca, ma nulla fuori dalla buca, pertanto è una forma donda complicata, rappresentabile in serie di Fourier con onde di diversa lunghezza donda. allora (p = h/ ) non vi è un momento univoco associato allautofunzione (siccome x L allora p x h/L) operatore momento e l Hamiltoniana in termini di operatori risolvere lequazione di Schoredinger indipendente dal tempo equivale a determinare operatore Hamiltoniano ci si puo domandare se le soluzioni n trovate siano anche autofunzioni delloperatore momento e classicamente quindi A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli vai allesercizio Principio di indeterminazione in una buca di potenziale infinita Buca di potenziale infinita le autofunzioni e gli autovalori dellequazione nel caso esistano, quali siano gli autovalori p n del momento che soddisfino una equazione agli autovalori

13 A.A G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 13 Riepilogo Buca di potenziale infinita A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli


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