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Lezione Progetto di Strutture. Sistemi a più gradi di libertà

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Presentazione sul tema: "Lezione Progetto di Strutture. Sistemi a più gradi di libertà"— Transcript della presentazione:

1 Lezione Progetto di Strutture

2 Sistemi a più gradi di libertà

3 Assegnando una deformata iniziale generica Assegnando una particolare deformata iniziale la forma varia man mano la forma resta la stessa modo di oscillazione libera del sistema Modi di oscillazione libera

4 Telaio piano (con traversi inestensibili): numero di modi di oscillazione libera = numero di piani

5 Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano): numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani Se la pianta ha due assi di simmetria, i modi di oscillazione libera sono disaccoppiati: - n modi di traslazione in una direzione Modi di oscillazione libera

6 Se la pianta ha due assi di simmetria, i modi di oscillazione libera sono disaccoppiati: - n modi di traslazione in una direzione - n modi di traslazione nellaltra direzione Modi di oscillazione libera Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano): numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani

7 Se la pianta ha due assi di simmetria, i modi di oscillazione libera sono disaccoppiati: - n modi di traslazione in una direzione - n modi di traslazione nellaltra direzione - n modi di rotazione Modi di oscillazione libera Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano): numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani

8 Se la pianta ha un asse di simmetria, i modi di oscillazione libera secondo la direzione di simmetria sono disaccoppiati dagli altri: - n modi di traslazione nella direzione di simmetria - 2n modi di traslazione e rotazione Modi di oscillazione libera Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano): numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani

9 Modi di oscillazione libera Esempio - edificio con un asse di simmetria

10 edificio con n.6 piani In una struttura intelaiata T sec a piano Periodi di vibrazione OutputModoPeriodo Sec MODALE10.72 MODALE20.66 MODALE30.64 MODALE40.25 MODALE50.24 MODALE60.23 MODALE70.13 MODALE80.13 MODALE90.13 MODALE MODALE MODALE In una struttura intelaiata i tre periodi sono abbastanza prossimi tra loro

11 Modi di oscillazione libera Spostamenti PianoModoU1U2R3 mmRadianti

12 Se la pianta non ha assi di simmetria, i modi di oscillazione libera sono accoppiati Modi di oscillazione libera Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano): numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani

13 Telaio spaziale senza impalcati indeformabili nel piano Il numero di modi di oscillazione libera è molto maggiore Modi di oscillazione libera

14 Lequazione del moto, in termini matriciali, è analoga a quella delloscillatore semplice La soluzione, in caso di moto libero con deformata modale, è una funzione armonica Dall equazione si ricavano le frequenze angolari j associate a deformate non nulle Modi di oscillazione libera

15 Modi di oscillazione libera Formula approssimata di Rayleigh Si consideri il sistema che oscilla liberamente secondo un moto armonico, con spostamenti e velocità delle masse I valori massimi delle energie potenziali e cinetiche sono Dall`eguaglianza di dette energie si desume la pulsazione associata alla forma di vibrazione fissata

16 Una qualsiasi deformata può essere espressa come combinazione delle deformate modali Equazioni del moto libero u = q q1q1 q2q2 q3q3

17 Con questa posizione, lequazione del moto Equazioni del moto libero Coordinate modali diventa ovvero

18 Nellequazione del moto (in forma matriciale) le matrici M * e K * sono diagonali, ovvero solo i termini della diagonale principale sono diversi da zero Equazioni del moto libero Coordinate modali Infatti:

19 è quindi costituito da equazioni disaccoppiate Il sistema di equazioni Pertanto, si può valutare il contributo di ciascun modo separatamente, come se fosse un oscillatore semplice Equazioni del moto libero Coordinate modali ciascuna contenente una sola incognita

20 Con la stessa posizione ( ), u = q In molti casi, oltre a M* e K*, anche la matrice C* è diagonale e le equazioni Equazioni del moto libero con smorzamento lequazione del moto in presenza di smorzamento diventa sono disaccoppiate (sistemi classicamente smorzati)

21 Lequazione del moto diventa Anche in questo caso se la struttura è classicamente smorzata il sistema si scompone in tante equazioni separate Si noti che laccelerazione del terreno è moltiplicata per j Coefficiente di partecipazione modale: indica se il contributo del modo al moto totale del sistema è più, o meno, rilevante Equazioni del moto (risposta ad un accelerogramma)

22 Consiste nel valutare separatamente la risposta della struttura vincolata a deformarsi secondo ciascuno dei suoi modi di oscillazione... T T SeSe Forze sollecitazioni spostamenti Analisi modale con spettro

23 Consiste nel valutare separatamente la risposta della struttura vincolata a deformarsi secondo ciascuno dei suoi modi di oscillazione e poi combinare le massime sollecitazioni (o spostamenti) trovati per i singoli modi Analisi modale con spettro

24 La combinazione dei risultati può essere fatta come... come combinazione quadratica completa (CQC) Analisi modale con spettro Regole di combinazione modale radice quadrata della somma dei quadrati (SRSS) dove = coefficiente di correlazione modale

25 Analisi modale con spettro Coefficiente di correlazione modale ij =T i /T j ij =0.20 =0.10 =0.02 =0.05

26 Il taglio alla base corrispondente al modo j è dove S e (T j ) è lordinata spettrale corrispondente al periodo T j M j * è detta massa partecipante Considerando tutti i modi, la massa partecipante totale coincide con lintera massa presente nella struttura Contributo dei singoli modi

27 Il primo modo è nettamente predominante per entità di massa partecipante. Le forze sono tutte dello stesso verso Gli altri modi hanno masse partecipanti via via minori. Essi danno luogo a forze discordi, che producono un effetto minore rispetto alla base Massa partecipante Contributo dei singoli modi

28 Rapporti Massa partecipante modale OutputModoPeriodoMXMY Sec MODALE MODALE MODALE MODALE MODALE MODALE MODALE MODALE MODALE MODALE MODALE MODALE Massa partecipante Esempio edificio con n.6 piani Massa partecipante molto elevata La somma delle masse partecipanti nelle direzioni x e y, considerate singolarmente, deve essere unitaria Massa partecipante meno elevata in virtù della rotazione accoppiata alla traslazione

29 Negli schemi spaziali è più difficile valutare limportanza dei modi: se il comportamento è disaccoppiato, sono eccitati solo quei modi che danno spostamento nella direzione di azione del sisma in caso contrario tutti i modi possono dare contributo se non vi è un impalcato indeformabile nel suo piano il numero di modi cresce enormemente ed è più difficile cogliere la risposta totale della struttura Considerazioni

30 Negli schemi spaziali è più probabile avere modi con periodi molto vicini tra loro: in questo caso è opportuno usare la sovrapposizione quadratica completa (CQC) Una buona impostazione progettuale deve mirare ad avere una struttura con impalcato rigido e con comportamento disaccoppiato (cioè minime rotazioni planimetriche) Contributo dei singoli modi

31 Consiste nel considerare un unico insieme di forze, che rappresentano (in modo semplificato) leffetto del primo modo Il periodo proprio può essere valutato con formule semplificate Analisi statica

32 Confronto analisi statica – modale Edificio con travi emergenti Zona 3 a g = 0.15 g Suolo B Classe di duttilità B

33 Periodi, acc. spettrali, masse part. Edificio con travi emergenti 5.1 %13.7 %70.1 %M*/M g gSeSe s0.461 s1.183 sT Modo 3Modo 2Modo 1

34 Forze statiche – modali [kN] Edificio con travi emergenti modaleanalisi pianomodo 1modo 2modo 3statica

35 Tagli statici – modali [kN] Edificio con travi emergenti pianoanalisi modale analisi statica differenza %

36 Confronto analisi statica - modale Edificio con travi a spessore

37 Periodi, acc. spettrali, masse part. Edificio con travi emergenti 5.4 %11.8 %70.9 %M*/M g g gSeSe s s1.738 sT Modo 3Modo 2Modo 1

38 Forze statiche – modali [kN] Edificio con travi a spessore analisi pianomodo 1modo 2modo 3statica

39 Tagli statici – modali [kN] Edificio con travi a spessore pianoanalisi modale analisi statica differenza %

40 Analisi statica o analisi modale? Lanalisi statica fornisce risultati attendibili purché: - la struttura abbia comportamento piano (basse rotazioni planimetriche) modo 1 modo 2 inviluppo Analisi statica Per edifici con forti rotazioni, non va bene Analisi modale

41 Lanalisi statica è cautelativa purché: - la struttura abbia periodo non eccessivamente alto - la struttura abbia comportamento piano (basse rotazioni planimetriche) Analisi statica o analisi modale?

42 Lanalisi statica è cautelativa purché: - la struttura abbia periodo non eccessivamente alto - la struttura abbia comportamento piano (basse rotazioni planimetriche) - la stima del periodo proprio sia affidabile Luso del coefficiente riduttivo rende i risultati dellanalisi statica non particolarmente gravosi rispetto a quelli dellanalisi modale Analisi statica o analisi modale?

43 Oggi lanalisi modale è sicuramente il metodo principale di riferimento per lanalisi strutturale, perché è affidabile e ormai alla portata di tutti (grazie ai programmi per computer) Lanalisi statica è però uno strumento fondamentale per capire il comportamento fisico della struttura e per valutarne a priori la risposta (e quindi anche per controllare a posteriori i risultati dellanalisi modale) Analisi statica o analisi modale?

44 FINE


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