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1 ELEMENTI DI PROIETTIVA. 2 Gli enti geometrici fondamentali sono: il punto, la retta e il piano Gli enti geometrici fondamentali sono descritti dai postulati.

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1 1 ELEMENTI DI PROIETTIVA

2 2 Gli enti geometrici fondamentali sono: il punto, la retta e il piano Gli enti geometrici fondamentali sono descritti dai postulati esistenziali (verità non dimostrabili assunte come principi base di tutta la geometria descrittiva): Il punto non ha dimensioni La retta è un insieme infinito di punti ed ha una sola direzione Il piano è un insieme infinito di rette ed ha due dimensioni È consuetudine indicare i punti con lettere maiuscole (P, A, B….), le rette con lettere minuscole (r, a, b…) e i piani con lettere dellalfabeto greco (α, β…)

3 3 Postulati di appartenenza I postulati di appartenenza descrivono le relazioni immediate fra enti: 1. Due punti distinti, A eB, individuano una retta 2. Due piani distinti α e β individuano una retta (αβ) 3. Tre punti non allineati individuano un piano 4. Tre piani distinti, che non appartengo alla stessa retta, individuano un punto 5. Una retta e un punto che non si appartengono individuano un piano 6. Una retta e un piano che non si appartengono individuano un punto

4 4 Operazioni geometriche fondamentali: proiezione e sezione Proiezione Il centro di proiezione può essere un punto proprio, o improprio Proiettare un punto P da un centro S significa costruire una retta che passa per entrambi e prende il nome di retta proiettante Se proiettiamo da un centro S finito un numero qualsiasi di punti appartenenti ad un piano otteniamo un fascio di rette, se i punti proiettanti non appartengono ad un piano otteniamo una stella di rette. Se proiettiamo da un centro S una retta r otteniamo un piano, detto anche piano proiettante. Retta proiettante

5 5 Fascio di rette Stella di rette Stella di rette e di piani Retta punteggiata Piano rigato e punteggiato

6 6 Sezione Loperazione di sezione si può svolgere nel piano, ad esempio sezionando un fascio di rette, o nello spazio sezionando per esempio una stella di rette. Nel primo caso la sezione avviene utilizzando una retta e si ottiene una retta punteggiata, nel secondo caso (il più diffuso) utilizzando un piano detto piano di sezione, di proiezione, di quadro o ancora, piano iconico e si ottiene un piano rigato e punteggiato.

7 7 Enti impropri Lo spazio euclideo, finito, ampliato del concetto di infinito si dice spazio proiettivo. Data una retta r e un punto esterno ad essa (S) possiamo tracciare la parallela alla retta data immaginando di collegare S con un punto P che si allontana dal punto A infinitamente. Le due rette saranno parallele quando S si unirà con il punto P appartenente a r e posto allinfinito. La retta r è composta quinti di un numero infinito di punti propri e di un punto improprio. Per indicare questultimo si usa il termine direzione.

8 8 La giacitura è linsieme delle infinite direzioni delle rette di un piano, la giacitura è detta anche retta impropria del piano e può essere giustificata con un procedimento analogo a quello appena illustrato per la direzione di una retta. (per ulteriori delucidazioni su questo argomento vedi pagg.1-19 di Docci, Migliari, La scienza della rappresentazione) Centro di proiezione proprio S Centro di proiezione improprio S

9 9 La geometria proiettiva studia le proprietà invariantive delle figure piane sottoposte ad operazioni di proiezione e sezione. Le proprietà proiettive sono tre: Appartenenza, Allineamento, Incidenza Appartenenza Se il punto P appartiene alla retta r anche la sua immagine P appartiene alla proiezione r della retta r. Allineamento Se A B e C sono tre punti allineati anche le loro immagini A,B e C sono allineate. Incidenza Se due o più rette complanari sono incidenti in un punto P anche le loro immagini sono incidenti nel punto P.

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29 29 I FERRI DEL MESTIERE

30 30 Occorrente per disegnare: Carta: da schizzo, carta lucida, carta opaca (fogli formato A4 e A3) cartoncino liscio (disegno tecnico) e ruvido (disegno a mano libera) Nastro adesivo di carta, o da carrozziere Matite: portamine con mine da 2 mm. La durezza delle mine varia da quelle molto dure 4H, 2H a quelle dure HB, fino a quelle morbide 2B 4B Colori: si possono usare, al posto dei pastelli tradizionali, le mine colorate. Queste ultime consentono di tracciare linee rette e sottili. Per campiture ampie e sfumate è meglio ricorrere ai pastelli o, per chi ha un minimo di esperienza, agli acquarelli. Gomme: per cancellare la matita su fogli opachi va bene una gomma a pasta bianca, per il disegno a mano libera è meglio la gomma pane e per i dettagli la gomma/matita; per i disegni a china, sul lucido, lunica è la lametta da barba. Dopo aver cancellato con la lametta da barba bisogna ripassare con una gomma dura e ripristinare lo strato grasso della carta con un po di borotalco. Squadrette: vanno scelte di buona qualità (Vittorio Martini) e tenute nella custodia per evitare che i bordi possano sbeccarsi. Per coppia si intende una squadretta con angoli 30°, 90° e 60° e una con angoli 45°, 90° e 45°. La dotazione minima prevede una coppia di squadrette grande (25 cm circa) e una piccola (10 cm circa) Compasso: i migliori hanno una vite che consente di regolarne lampiezza con la massima precisione, hanno una prolunga, per archi di cerchio molto grandi, e lattacco per i pennini.

31 31 Esercitazione del Attaccare il foglio sul tavolo con il nostro adesivo di carta 2.Ridurre il foglio formato A4 (21 cm X 29,7 cm) in un foglio quadrato (20 cm x 20 cm) 3.Realizzare una serie di rette verticali distanti 1 cm 4.Realizzare, sullo stesso foglio una serie di rette orizzontali distanti 1 cm 5.Ridurre il foglio formato A4 (21 cm X 29,7 cm) in un foglio quadrato (20 cm x 20 cm) 6.Realizzare una serie di rette inclinate a quarantacinque gradi rispetto il bordo del foglio e distanti 1 cm 7.Ridurre il foglio formato A4 (21 cm X 29,7 cm) in un foglio quadrato (20 cm x 20 cm) 8.Realizzare 36 rette verticali disposte alla stessa distanza luna dallaltra 9.Ridurre, con il compasso, il foglio formato A4 (21 cm X 29,7 cm) in un foglio quadrato (20 cm x 20 cm) 10.Realizzare delle rette orizzontali distanti 1.27 cm luna dallaltra

32 32 Prendendo spunto da questa immagine realizzare sedici differenti tipi di texture a mano libera

33 33 Ritagliare nove quadrati aventi il lato di 2 cm e provare a realizzare una composizione grafica astratta….

34 34 Lavoro da fare a casa: Stampare il Programma, e praticare un foro nei punti indicati in copertina; fissare i fogli con piccoli anelli … Se non trovate gli anelli fissate i fogli con delle piccole clips Scaricare la foto realizzata in aula, stamparla formato 20 X 20 e inserirla nel programma Ritagliare lautoritratto in formato 20 X 20 e inserirlo nel programma Inserire nel Programma del corso le esercitazioni fatte in aula

35 35 Raccogliere il materiale relativo al tema assegnato 10 immagini di panorami reali (riportare per ognuno la località e la nazione) 3-5 descrizioni letterarie (di autori importanti!) Vi suggerisco alcuni nomi: Spazio: Isaac Asimov, Notturno ; Verne, Nuvole:vedi De Andrè, Le Nuvole, Luigi Ghirri (è un fotografo), Quasi niente; Aristofane, Le nuvole; la nuvola può essere anche quella atomica, quella minacciosa dei temporali… Foreste: Calvino, Il barone rampante; Fiume: Lago: Manzoni…(vedi anche la ragazza del Lago è un film) oppure le descrizioni fiabesche… Mare: Pedrag Matvejevic, Il Mediterraneo, Garzanti, 1992, Sciascia, Il mare color del vino; Deserto: Italo Calvino, Collezione di sabbia, Mondatori, immagini tratte da film

36 36 Rispondete intuitivamente alle domande seguenti e provate a graficizzare la risposta 1. Il luogo assegnato può essere rappresentato più facilmente da: punti, linee, o superfici? (se può essere esemplificato da linee definire se queste sono orizzontali o verticali, se sono rette, spezzate o linee sinuose. Per i piani la differenza può essere fatta fra superfici piane, superfici composite (composte da più piani) superfici ondulate.) 2. Qual è il colore prevalente? È piatto o presenta sfumature? Prova a campionarlo: inserisci più tessere relative al colore o ai colori che rappresentano il sito. 3. Quali aggettivi puoi usare per definire la materia che lo compone? Ruvida/liscia Compatta/sciolta Dura/morbida Fredda/calda Solida/fluida Trasparente/opaca … 4. Che tipo di luce lo illumina? Abbagliante, flebile, opaca, scomposta, uniforme, puntuale …


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