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Università degli Studi di Bologna Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Ottimizzazione Combinatoria ALGORITMI EURISTICI PER PROBLEMI.

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1 Università degli Studi di Bologna Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Ottimizzazione Combinatoria ALGORITMI EURISTICI PER PROBLEMI DI PACKING di Alberto Nuzzo Relatore: Chiar.mo Prof. Ing.Paolo Toth Correlatori: Prof. Ing. Alberto Caprara Dott. Ing. Michele Monaci Anno Accademico

2 Il Bin Packing Problem Dati: n oggetti (items) con peso w j > 0 (j =1,…,n) m contenitori (bin) identici con capacità c Obiettivo: inserire tutti gli items nei bin in modo che: in ogni bin la somma dei pesi degli items inseriti non superi la capacità del bin stesso il numero dei bin utilizzati sia minimo

3 Applicazioni: taglio di unità standard di materia prima; imballaggio per problemi di immagazzinamento e di trasporto; impaginazione articoli nei giornali; problemi di determinazione di layout. Il Bin Packing Problem

4 Modello Matematico “tradizionale”: Il Bin Packing Problem Indicando con : –n numero di oggetti da inserire –m numero di contenitori a disposizione –N = {1,..,n} insieme degli oggetti da considerare –M = {1,..,m} insieme dei contenitori disponibili –w j peso dell’oggetto j con w j  1( j  N ) –c capacità dei contenitori posta pari a 1

5 Modello Matematico “tradizionale”: BPP Complessità: NP-HARD min y i (1) subject to x ij = 1  j  N (2) w j x ij  y i  i  M (3) y i  {0,1}  i  M (4) x ij  {0,1}  i  M,  j  N (5) Il Bin Packing Problem

6 Modello Matematico di tipo Set-Covering: S = {S  N : w j  1, w j > 1  i  N\S } risulta: min  S  S  S subject to  S  1  j  N  S  0  S  S  S intero  S  S dove:  S = Sia S la famiglia di tutti gli insiemi di oggetti costituenti riempimenti massimali ammissibili, ovvero: Il Bin Packing Problem

7 min  S  S  S subject to  S  1  j  N  S  0  S  S  S intero  S  S Caratteristiche: – |S| elevata – Set Covering  NP-Hard Il Bin Packing Problem dove:  S = Modello Matematico di tipo Set-Covering:

8 Generalizzazione del BPP è l’m-Dimensional Vector Packing Problem (m-DVPP) in cui: Il Two-Dimensional Vector Packing Problem ogni oggetto j ha m attributi w j 1,…,w j m ≥ 0 (j=1,…,n) con w j i > 0 i contenitori hanno m capacità c 1,…,c m > 0 Ogni attributo è indipendente dagli altri. 2-DVPP 2-DVPP : caso particolare del m-DVPP dove: gli attributi degli oggetti e dei relativi contenitori sono 2

9 x ij = 1  j  N w j x ij  y i  i  M v j x ij  y i  i  M y i   0,1   i  M x ij   0,1   i  M,  j  N Modello Matematico “tradizionale”: subject to min y i dove: Il Two-Dimensional Vector Packing Problem w j  1 peso dell’oggetto j nella prima dimensione (j=1,…,n) v j  1 peso dell’oggetto j nella seconda dimensione (j=1,…,n) c = d = 1 capacità contenitori nelle due dimensioni

10 Modello Matematico di tipo set-covering: Tale modello risulta invariato a meno della ridefinizione di S: S =  S  N : w j  1 AND v j  1, w j > 1 OR v j > 1  i  N\S  Il Two-Dimensional Vector Packing Problem

11 Il Two-Dimensional Bin Packing Problem Generalizzazione del BPP è l’m-Dimensional Bin Packing Problem (m-DBPP) in cui: ogni oggetto j ha m dimensioni w j 1,…,w j m > 0 (j=1,…,n) i contenitori hanno m capacità c 1,…,c m > 0 Le varie dimensioni sono tra loro correlate. 2-DBPP 2-DBPP : caso particolare dell’m-DBPP dove: le dimensioni degli oggetti e dei relativi contenitori sono 2

12 Applicazioni : Problemi di impaccamento e caricamento veicoli; problemi di gestioni risorse; problemi di taglio di unità standard di materia prima. Il Two-Dimensional Bin Packing Problem

13 w1w1 h1h1 H y W x Bin 1Bin 2 Items

14 Il Set Covering Problem Definiamo: A = (a ij ) matrice binaria di m righe ed n colonne se a ij = 1 si dice che la colonna j copre la riga i c = (c j ) vettore n-dimensionale dei costi dove c j rappresenta il costo della colonna j ( j  S ) Obiettivo: determinare un sottoinsieme di colonne S  N, di costo minimo, tale che ogni riga i  M sia coperta come minimo da almeno una colonna j  S

15 Nel caso dei problemi in esame si considera: c j = 1 j  N Modello Matematico è il seguente: dove: xj = xj = (j  S) a ij x j  1  i  M (2) x j   0,1   j  N (3) min c j x j (1) subject to Il Set Covering Problem

16 C F T Algoritmo Proposto Calcolo Lower Bound Algoritmi Euristici Algoritmo Esatto Algoritmi Euristici Perturbati Hashing Soluzione Ottima Fine Algoritmo RIEMPIMENTIRIEMPIMENTI Y K I MATRICE SCP

17 Algoritmi Euristici Algoritmo Esatto Algoritmi Euristici Perturbati Hashing Soluzione Ottima Fine Algoritmo RIEMPIMENTIRIEMPIMENTI Calcolo Lower Bound Y K I MATRICE SCP Algoritmo Proposto Fase 1

18 Gli algoritmi presentati relativamente alla Fase 1 sono implementati in FORTRAN 77, mentre l’algoritmo YKI è implementato in C++ e sono stati testati nel laboratorio di Ricerca Operativa su un calcolatore in dotazione al dipartimento del D.E.I.S., con le seguenti caratteristiche: Processore: PIII Frequenza: 700Mhz Memoria: 128Mb di RAM. Sistema Utilizzato

19 Le Istanze per il 2-DVPP 10 Classi ( 1,...,3 Spieksma; 4,...,10 Caprara e Toth); Per ogni Classe problemi con n oggetti, dove n assume i valori di: 25, 50, 100, 200 ( 4 Dimensioni ); 10 Istanze per ogni categoria Classe-Dimensione; Classe 10 Numero n di oggetti multiplo di tre, dove n assume i valori di: 24, 51, 99, 201.

20 Le Istanze per il 2-DBPP 10 Classi ( 1,...,6 Berkey e Wang, 7,...,10 Martello e Vigo); Per ogni Classe problemi con n oggetti, dove n assume i valori di: 20, 60, 80, 100 ( 5 Dimensioni ); 10 Istanze per ogni categoria Classe-Dimensione.

21 2-DVPP TFASE1 = 90 sec, TES = 9, TCFT = 90, TYKI = 600 Alberto Nuzzo:

22 2-DBPP TFASE1 = 45 sec, TES = 9, TCFT = 135, TYKI = 600

23 2-DBPP TFASE1 = 45 sec, TES = 9, TCFT = 135, TYKI =

24 CONCLUSIONI L’algoritmo YKI fornisce un lower bound sensibilmente più alto, quindi migliore, in quasi tutte le istanze considerate. Nei due problemi presi in esame, cioè il 2-DVPP e il 2-DBPP, l’algoritmo CFT offre in quasi tutte le istanze risultati migliori dell’algoritmo YKI.


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