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Università degli studi di Lecce Automi e macchine di Turing Automi e macchine di Turing Corso Seminariale a.a. 2005 - 2006 Macchia Sara Corso di laurea.

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1 Università degli studi di Lecce Automi e macchine di Turing Automi e macchine di Turing Corso Seminariale a.a Macchia Sara Corso di laurea in Matematica e Informatica

2 Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto 2/61 Automi e macchine di Turing Introduzione Perché si studia la teoria degli automi? La teoria degli automi è lo studio di dispositivi computazionali o “macchine”. Gli automi, originariamente, furono proposti per creare un modello matematico che riproducesse il funzionamento del cervello.

3 Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi e macchine di Turing Gli automi finiti sono degli utili modelli per molti importanti tipi di software: software per la progettazione e la verifica del comportamento dei circuiti digitali; l’ ”analizzatore lessicale” di un compilatore; software che eseguono una scansione di testi molto lunghi per trovare parole, frasi, ecc.; software per verificare i protocolli di comunicazione o protocolli per lo scambio sicuro di informazioni. Introduzione 3/61

4 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi Cos’è un automa? Un automa è un dispositivo, o un sistema in forma di macchina sequenziale, che, ad ogni istante, può trovarsi in un determinato “stato”. Lo scopo dello stato è quello di ricordare la parte rilavante della storia del sistema. Finché ci sono solo un numero finito di stati, l’intera storia del sistema non può essere ricordata. 4/61

5 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi Esempio 1 rappresenta gli stati rappresenta l’input indica lo stato iniziale Un automa finito che rappresenta un interruttore on/off 5/61

6 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi Esempio 2 Un automa finito che riconosce la parola then L’automa ha bisogno di cinque stati rappresenta l’unico stato finale possibile 6/61

7 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi Descrizione modellistica Il modello di un automa consiste di un dispositivo di controllo, con un numero finito di stati, una testina di lettura e un nastro infinito diviso in celle. …… Stato Testina Controllo a stati finiti 7/61

8 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi Definizione Si chiama automa a stati finiti deterministico (ASFD) un sistema M definito come segue M = (Q,A,t,q 0,F)dove Q è un insieme finito di stati A è un insieme finito di caratteri che costituiscono l’alfabeto t: QxA->Q è una funzione che associa ad ogni coppia (stato, carattere) uno stato(detta di transizione) q 0 è lo stato iniziale con q 0 Q F è l’insieme degli stati finali, F Q 8/61

9 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi Vediamo come un ASFD accetta o meno una sequenza di simboli in input: sequenza di simboli in input a 1 a 2 … a n stato iniziale q 0 funzione di transizione t(q 0, a 1 ) = q 1 a 2 -> t(q 1, a 2 ) = q 2 … trovo così q 3 q 4 q 5 … q n Se q n F allora l’input a 1 a 2 … a n viene accettato, cioè la parola viene riconosciuta. 9/61

10 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi Automi a stati finiti NON deterministici Come un ASFD, un automa a stati finiti non deterministico (ASFND) ha: un insieme finito di stati; un insieme finito di simboli in input una funzione di transizione t In questo caso t non ritorna sempre e solo uno stato, ma un insieme di zero, uno o più stati, cioè l’automa può essere nello stesso tempo in stati diversi. 10/61

11 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi Esempio Un ASFND che accetta tutte e sole le stringhe di 0 e 1 che finiscono per 01. Sebbene abbia più alternative ad ogni passo, un ASFND non usa nessun meccanismo probabilistico (potrebbe portare al non riconoscimento della parola) bensì utilizza tutte le possibili transizioni. Se almeno una di esse lo porta in uno stato finale, la parola è riconosciuta. 11/61

12 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi Esempio Rappresentazione tramite albero delle alternative Vediamo cosa succede quando il nostro automa riceve come input la sequenza /61

13 Definizione Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi e macchine di Turing Automi Si chiama automa a stati finiti non deterministico (ASFND) un sistema M definito come segue M = (Q,A,t,q 0,F)dove Q, A, q 0, F sono definiti come per gli ASFD t: QxA->2 Q è una funzione che associa ad ogni coppia (stato, carattere) uno stato appartenente all’insieme 2 Q, dove 2 Q è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di Q. Es. t(q 0, a) = {q 1, q 2,q 3 } indica che la macchina nello stato q 0, se legge a può transitare in uno dei tre possibili stati 13/61

14 Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi e macchine di Turing Automi Un altro modo per visualizzare il funzionamento di un ASFND è quello di immaginare che esistano più copie dello stesso automa. Si inizia ad esaminare la parola in ingresso con un automa solo. Quando sono possibili più di una transizione si creano tanti automi quante sono le alternative. Ad ogni passo esiste un insieme di automi tutti in stati diversi. Se non è possibile una transizione l’automa viene soppresso. La parola sarà riconosciuta se alla fine almeno una delle macchine è in uno stato finale. 14/61

15 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi Equivalenza tra ASFD e ASFND Teorema Per ogni ASFND, N, ne esiste uno equivalente deterministico, D, cioè tale che L(N) = L(D) Dato N = (Q N, A, t N, q 0, F N ) definiamo D come segue: 1.Gli stati Q D rappresentano tutti i possibili sottoinsiemi di Q N (se Q N ha n stati Q D ne avrà 2 n ) [ q 0, q 1, …, q k ] = stato corrispondente all’insieme { q 0, q 1, …, q k } 2.Gli stati finali F D sono tutti i sottoinsiemi S di Q N tali che S  F N   15/61

16 Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi e macchine di Turing Automi 3.Lo stato iniziale è quello che corrisponde all’insieme {q 0 } con q 0 stato iniziale di N 4.La funzione di transizione è data da: t D ([q 0, …, q i ], a) = [t N (q 0, a)  t N (q 1, a)  …  t N (q i, a) con a generico simbolo dell’alfabeto A 5.L’alfabeto di D è identico a quello di N Resta così definito D = (Q D, A, t D, q 0, F D ) 16/61

17 Automi a stati finiti e grammatiche regolari Automi Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Abbiamo appena visto come ASFD e ASFND accettano la stessa classe di linguaggi. Vogliamo mostrare che questa classe coincide con le espressioni regolari, cioè che: 1.ogni linguaggio definito da uno dei tipi di automi è anche definito da una espressione regolare. 2.ogni linguaggio definito da un’espressione regolare è definito da uno di questi automi. 17/61

18 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi Automi a stati finiti e grammatiche regolari NFA = automa a stati finiti non deterministico con transizione su, cioè sulla stringa vuota. 18/61

19 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi Automi a stati finiti e grammatiche regolari Teorema Dato un automa a stati finiti M, esiste una grammatica regolare G t.c. L(G) = L(M) Assegnato un ASFD M = (Q,A,t,q 0,F) si costruisce la grammatica regolare con la seguente procedura: 1.l’insieme dei simboli terminali V T coincide con A; 2.l’insieme dei simboli non terminali V N coincide o è in corrispondenza biunivoca con Q; 3.il simbolo iniziale S di G è il simbolo non terminale che corrisponde a q 0 ; 19/61

20 Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi e macchine di Turing Automi Automi a stati finiti e grammatiche regolari 4.L’insieme delle produzioni P è dato da: ad ogni transizione dallo stato q i allo stato q j per effetto del carattere a h si associa una produzione N i -> a h N j, con N i e N j simboli non terminali corrispondenti a q i e q j Se q j F si aggiunge la produzione N i -> a h Allo stesso modo si dimostra che … 20/61

21 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi Automi a stati finiti e grammatiche regolari Teorema Ogni linguaggio definito da un’espressione regolare è anche definito da un automa a stati finito (non deterministico con transizione ). 21/61

22 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi Esempio Supponiamo di avere il linguaggio L = { a n b n con n>1} Vogliamo vedere se questo è riconoscibile da un automa a stati finiti. Gli automi a stati finiti posseggono una memoria finita e quindi non sono in grado di riconoscere linguaggi che, per la loro struttura, richiedono di ricordare una quantità di “informazioni” non limitate. 22/61

23 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi Automi a pila Un automa a pila è costituito da: un controllo a stati finiti un nastro di ingresso una memoria ausiliaria a pila di lunghezza infinita abcaab nastro di ingresso controllo finito p1p1 p2p2 … memoria a pila 23/61

24 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi Automi a pila In ogni situazione l’automa a pila può compiere due tipi di mosse: leggere il contenuto di una cella del nastro ed il simbolo in cima alla pila, passare in un nuovo stato e sostituire il simbolo letto dalla pila con una stringa (la testina avanza); come prima, ma senza leggere alcun simbolo dal nastro e senza avanzamento della testina; Questa seconda mossa permette all’automa di manipolare il contenuto della pila. 24/61

25 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi Definizione Un automa a pila M è un sistema (Q,A,R,t,q 0,Z 0,F) dove Q è un insieme finito di stati A è un alfabeto finito, detto alfabeto del nastro R è un alfabeto finito, detto alfabeto della pila q 0 Q è lo stato iniziale Z 0 R è il simbolo iniziale, cioè l’unico simbolo che appare all’inizio della pila F Q è l’insieme degli stati finali t: Q x A x R -> Q x Rè la funzione di transizione

26 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi Esempio Supponiamo di avere il linguaggio L = { 0 n 1 n 2 n con n>1} Vogliamo vedere se questo è riconoscibile da un automa a pila. Così come abbiamo visto nel caso degli automi a stati finiti, anche in questo caso la “memoria” del nostro automa non basta a riconoscere questo linguaggio. Dobbiamo potenziare ancora il nostro automa. 26/61

27 Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi e macchine di Turing Macchine di Turing Descrizione modellistica della Macchina di Turing Una MdT può essere vista come un organo di controllo a a stati finiti con associato un nastro di lunghezza infinita nel quale vengono immagazzinate le sequenze di simboli su cui si opera. programma comandi della testina e del nastro CONTROLLO …… A013 27/61

28 Automi e macchine di Turing Macchine di Turing Descrizione modellistica della Macchina di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Il comportamento della MdT può essere descritto mediante una tabella detta matrice funzionale in cui le righe rappresentano gli stati del controllo e le colonne rappresentano i simboli in ingresso. Es. la macchina si trova nello stato q i e legge il simbolo s j skqrxtskqrxt sjsj qiqi scrive un altro simbolo s k si porta nello stato q r si sposta sul nastro di una casella a sx o a dx a seconda che sia x t =D o x t =S

29 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Macchine di Turing Descrizione modellistica della Macchina di Turing La specifica delle condizioni, ad ogni passo, della configurazione del nastro, della posizione della testina e dello stato del controllo, prende il nome di descrizione istantanea (DI). Per computazione di una MdT intendiamo la sequenza finita di DI, di cui la prima è iniziale e l’ultima è finale, e ognuna è ottenuta dalla precedente in un passo. 29/61

30 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Macchine di Turing Descrizione matematica della Macchina di Turing S = {s 0, …, s n } alfabeto finito di simboli Q = {q 1, …, q m } alfabeto finito di stati M = {D, S} insieme dei simboli degli spostamenti s 0 rappresenta la casella bianca sul nastro La configurazione di una MdT ad ogni istante può essere rappresentata come una stringa infinita di simboli … s 0 s 0 s 0 s i1 s i2 s i3 … s ik-1 q r s ik s ik+1 … s if s 0 s 0 s 0 … di cui solo un numero finito è diverso da s 0 30/61

31 Automi e macchine di Turing Macchine di Turing Descrizione matematica della Macchina di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Questa stringa infinita si può rappresentare schematicamente con dove q Q, s S, S* dove S* rappresenta l’insieme di tutte le sequenze finite di simboli di S. Quindi una stringa del tipo sarà una DI della MdT. Il modo di funzionare della macchina è descritto da quintuple del tipo q i s j s ij q ij x ij con s i,s j S q i,q ij Q x ij M

32 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Macchine di Turing Definizione Una macchina di Turing Z è una terna (Q, S, P) dove Q è un insieme finito di stati S è un insieme finito di simboli (con s 0 bianco) P è un sottoinsieme di Q x S x S x Q x {S, D}, cioè l’insieme delle quintuple di Z, con la proprietà che non ci sono due quintuple con i primi due membri uguali 32/61

33 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Macchine di Turing Definizione Introduciamo ora la relazione |- tra descrizioni istantanee DI. Diremo che due DI sono in relazione |- tra loro se la seconda DI rappresenta la configurazione ottenuta in un passo da quella rappresentata dalla prima DI. DefinizioneSia Z = (Q, S, P) una MdT. La relazione |- è definita come segue: se qss’q’D P se qss’q’S P 33/61

34 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Macchine di Turing Definizione Una computazione della MdT Z è una sequenza finita z 0, z 1, z 2, …, z m di descrizioni istantanee DI di Z tali che z m è una DI terminale, cioè se z m = allora nessuna quintupla in P inizia con qs, ed inoltre z j |- z j+1 per. 34/61

35 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Macchine di Turing Esempio Calcolo del successivo di un numero Costruire la MdT che, dato un numero scritto in base 10, ne calcola il successivo. La matrice funzionale è: b q0q0 1q 1 D2q 1 D3q 1 D4q 1 D5q 1 D6q 1 D7q 1 D8q 1 D9q 1 D0q 0 S1q 1 D q1q1 q 0 1 deve ancora essere sommato q 1 1 è già stato sommato 35/61

36 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Macchine di Turing Macchine di Turing generalizzate Teorema di equivalenza tra MdT ordinarie e generalizzate Data una MdT Z con n nastri, il j-esimo dei quali è di dimensione k j ed è esaminato da h j testine, questa può essere simulata da una MdT Z’ con nastro monodimensionale esaminato da una sola testina. 36/61

37 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Macchine di Turing Macchine di Turing generalizzate Teorema (Shannon, 1956) Una qualsiasi Mdt con n simboli ed m stati può essere simulata da una MdT a due stati, aumentando opportunamente il numero di simboli del suo alfabeto. Teorema (Shannon, 1956) Una qualsiasi Mdt può essere simulata da una MdT con un alfabeto di due simboli, aumentando opportunamente il numero dei suoi stati. 37/61

38 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Sia S un linguaggio in cui descrivere i nostri algoritmi. Un algoritmo che termini sempre definisce una funzione f A. Se i dati iniziali e i risultati finali si considerano la codifica dei numeri naturali, ad ogni algoritmo A che termina viene associata una funzione f A : N -> Nfunzione calcolata dall’algoritmo Nel caso la funzione non sia definita per alcuni valori verrà detta parziale. 38/61

39 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Si noti che mentre ad ogni algoritmo A di S è associata una sola funzione f A, la stessa funzione f può essere associata a più di un algoritmo f=f A’ =f A’’. Sia A S l’insieme di tutti i possibili algoritmi in S. L’insiemeF S ={f A |A A S } è l’insieme delle funzioni calcolabili in S e la sua ampiezza è la più chiara misura della potenza del linguaggio S. Ci chiediamo se esiste un formalismo S t.c. il suo insieme F S comprenda tutte le funzioni. 39/61

40 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Sia S un insieme finito di N elementi, allora la sua cardinalità sarà uguale a N (#S=N) Un sottoinsieme di S è perfettamente individuato da un numero binario di N cifre: la i-esima cifra dice se nel sottoinsieme è presente o no l’i-esimo elemento s i di S. Es. Se S={s 1, s 2, s 3 } allora il numero binario 011 indica il sottoinsieme {s 2, s 3 }. Il numero dei possibili sottoinsiemi di S è pari al numero di numeri binari di N cifre, cioè 2 N. 40/61

41 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Quindi la cardinalità dell’insieme dei sottoinsiemi di S (2 S ) sarà 2 N. Ragionando in modo analogo si vede come un sottoinsieme dell’insieme N sia individuato da un numero binario di infinite cifre. Es …corrisponde biunivocamente al sottoinsieme dei numeri pari Quindi se esistesse una corrispondenza biunivoca tra i numeri naturali e sottoinsiemi di numeri naturali, allora esisterebbe anche una corrisp. biunivoca tra naturali e numeri binari di infinite cifre 41/61

42 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Ragioniamo per assurdo e ammettiamo che tale corrispondenza esista. Sia B i = b io, b i1, … il numero binario corrispondente al naturale i e sia b ij la sua j-esima cifra. 01…j… 0b 00 b 01 …b 0j … 1b 10 b 11 …b 1j … ……………… ib i0 b i1 …b ij … ……………… 42/61

43 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Consideriamo il numero B = b 00, b 11, …, b ii, … ottenuto prendendo gli elementi sulla diagonale. Calcoliamo il suo complementare B’. B’ non è contenuto nella tabella perché se così fosse apparirebbe in una certa riga, ad esempio la k-esima e risulterebbe B’=B k ASSURDO perché la k-esima cifra di B’ starebbe sulla diagonale e quindi sarebbe b kk anziché il suo complementare. Questo ci dice che la corrispondenza cercata nn esiste e che quindi#N < #2 N 43/61

44 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Se F b = {f|f: N ->{0, 1} } insieme delle funzioni binarie definite su N abbiamo che #2 N = F b Infine ponendo F = {f|f: N -> N}, poiché F b  F si ottiene#F b <= #F Quindi#N < #2 N = #F b <= #F da cui#N < #F cioè le funzioni dai naturali ai naturali non sono numerabili. 44/61

45 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Torniamo al nostro generico linguaggio S. Supponiamo di aver ordinato tutti i simboli di S (finiti) in un modo qualsiasi. Supponiamo poi di considerare tutti gli algoritmi scritti in S (infiniti) e di ordinarli in base al numero di simboli da cui sono composti, poi seguendo le precedenze tra simboli. Appena fatto l’ordinamento abbiamo ottenuto anche una corrispondenza biunivoca tra gli algoritmi di S e alcuni (o tutti) i numeri naturali. 45/61

46 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Quindi, ricordando che A S denota l’insieme degli algoritmi di S, abbiamo #A S <= #N, ma abbiamo appena dimostrato che #N < # F, pertanto #A S < #F. Dalla definizione di F S abbiamo #F S <= #A S (poiché F S può essere messo in corrispondenza biunivoca con il sottoinsieme di A S ottenuto togliendo da A S tutti gli algoritmi che calcolano la stessa funzione, tranne quello di indice minimo). 46/61

47 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Ricapitolando, abbiamo che #F S <= #A S < # Fda cui #F S < # F e, essendo F S  F, abbiamo finalmente F S  F che era quanto volevamo dimostrare, cioè che l’insieme delle funzioni calcolabili in S è solo un sottoinsieme dell’insieme di tutte le funzioni dai naturali ai naturali. 47/61

48 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Vogliamo ora associare alla generica macchina di Turing Z una funzione dai naturali ai naturali, così come abbiamo fatto per il generico algoritmo A. Bisogna definire innanzitutto una codifica dei numeri naturali in termini delle DI iniziali delle MdT c i : N -> D I Anche se non tutte le DI iniziali sono codifica di qualche naturale, ciò non importa. Invece, ad ogni naturale deve corrispondere una diversa DI iniziale. 48/61

49 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Bisogna poi definire una seconda (de)codifica tra le DI finali e i naturali c f : D f -> N In questo caso ogni naturale deve essere la decodifica di qualche DI finale, ma non necessariamente una sola. Infine, ricordando che una MdT Z definisce una funzione parziale g z : D I -> D F allora la composizione delle tre funzioni c i, g z e c f definisce una funzione parziale f z : N -> N che è detta funzione calcolata dalla MdT Z. 49/61

50 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Come codifica c i scegliamo: ad ogni numero naturale corrisponde una DI iniziale in cui tutto il nastro è bianco, eccetto una sequenza di n simboli s 1 consecutivi, lo stato interno è q 0 e la testina è posizionata col simbolo s 1 più a sinistra. Es. Al numero 3 corrisponde la DI iniziale … s 0 s 0 q 0 s 1 s 1 s 1 s 0 s 0 s 0 … 50/61

51 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Come codifica c f scegliamo: il numero di s 1 consecutivi alla destra della testina, compreso il simbolo puntato dalla testina stessa Es. … s 0 s 0 s 1 s 1 s 0 s 1 q i s 1 s 1 s 0 s 1 s 0 s 0 corrisponde a 2 … s 0 s 0 s 1 q i s 0 s 1 s 0 s 0 …vale 0 Con queste convenzioni resta univocamente individuata la funzione cioè la funzione calcolata dall’i- esima macchina di Turing. 51/61

52 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Consideriamo ora l’insieme di funzioni F T = { | i = 1, 2, …} Ci chiediamo: quanto è ampia la classe F T ? esiste una funzione f(x) non in F T ma calcolabile in altri formalismi? A queste domande risponde la Tesi di Church o Tesi di Turing. 52/61

53 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Tesi di Church La tesi di Church ci permette: a) di fare riferimento all’insieme delle funzioni calcolabili F C senza specificare “con macchine di Turing”; b)di assumere l’esistenza di una MdT equivalente per ogni algoritmo che sia intuitivamente tale. Esamina in dettaglio ogni ragionevole passo elementare di ogni ragionevole definizione di algoritmo e fa vedere come tale passo possa essere realizzato con una MdT. Sono solo intuitive, non costituiscono dimostrazione.

54 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Esistenza della macchina di Turing Universale Essa accetta come dati: a)la descrizione di una certa MdT Z y ; b)il dato iniziale x. Una MdT universale è quindi una particolare MdT capace di simulare, o di interpretare, ogni altra MdT. Essa è la formalizzazione più corretta di un ordinario calcolatore, infatti introduce la possibilità di avere il programma memorizzato. Un esempio molto importante di applicazione della tesi di Church è costituito dalla MdT universale. 54/61

55 Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi e macchine di Turing Problema dell’arresto L’aver dimostrato l’esistenza della MdT universale, ci mette di fronte ad un altro problema: Esiste una MdT in gradi di decidere, per una qualsiasi coppia (M,d) costituita da una MdT M e da una stringa di dati d, se quando si fornisce d a M, questa si evolve fino ad arrestarsi (o meno)? Turing ha dimostrato che la MdT universale non è in grado di decidere in ogni caso il problema dell’arresto, quindi nessuna MdT può farlo. 55/61

56 Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi e macchine di Turing Problema dell’arresto Esempio Proviamo a modificare questo semplice programma. 56/61

57 Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Esempio 57/61

58 Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi e macchine di Turing Problema dell’arresto L’ultimo teorema di Fermat afferma che non esistono quattro interi x, y, z e n con n>2 tali che x n + y n = z n Supponiamo di prendere ora il nostro programma P. Vogliamo trovare un programma che, preso in input il programma P e l’input I, dica se P (con l’input I) scrive “hello, world”. 58/61

59 Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi e macchine di Turing Problema dell’arresto Se un problema ha un algoritmo come H, che dice sempre correttamente se un’istanza del problema ha risposta “si” o “no” allora il problema si dice decidibile, altrimenti si dice indecidibile. Si prova che tale H non esiste per il nostro problema e cioè che il problema “hello, world” è indecidibile. Questo risultato negativo costruisce un limite per tutti i meccanismi computazionali. 59/61

60 Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT Problema dell’arresto Automi e macchine di Turing Problema dell’arresto Teorema di incompletezza di Gödel (primo) L’indecidibilità del problema dell’arresto si dimostra equivalente al teorema di incompletezza di Gödel: “In ogni teoria matematica T sufficientemente espressiva da contenere l’aritmetica, esiste una formula tale che, se T è coerente, allora né né la sua negazione sono dimostrabili in T” Questo teorema dimostra che qualsiasi sistema che permette di definire i numeri naturali è necessariamente incompleto: esso contiene affermazioni di cui non si può dimostrare né la verità né la falsità. 60/61

61 Automi e macchine di Turing Fonti principali: AIELLO, ALBANO, ATTARDI, MONTANARI “Teoria della computabilità, logica, teoria dei linguaggi formali” HOPCROFT, MOTWANI, ULLMAN “Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation” 61/61


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