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Procedimento per studiare una funzione Lo studio di una funzione, reale di una variabile reale y=f(x), consiste nel determinare gli elementi caratterizzanti.

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Presentazione sul tema: "Procedimento per studiare una funzione Lo studio di una funzione, reale di una variabile reale y=f(x), consiste nel determinare gli elementi caratterizzanti."— Transcript della presentazione:

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2 Procedimento per studiare una funzione Lo studio di una funzione, reale di una variabile reale y=f(x), consiste nel determinare gli elementi caratterizzanti la funzione che permettono di disegnarne il grafico;si può procedere con il seguente schema. 1.Determinazione del campo di esistenza (C.E.) : i casi che si possono presentare sono i seguenti. a)Funzioni razionali intere: il C.E.è costituito da qualunque valore della x. b)Funzioni razionali fratte: il C.E. è costituito da ogni valori della x, esclusi, se ci sono, quelli che rendono nullo il denominatore della funzione.Funzioni razionali fratte: c)Funzioni irrazionali:si devono distinguere due casi in relazione all’indice “n” della radice; se “n” è dispari il C.E. è formato da ogni x reale esclusi quelli, eventuali, che annullano denominatori, se “n” è pari il C.E. è costituito soltanto da quegli x che rendono positivo o nullo il radicando. d)Funzioni goniometriche: y=sen(x) e y=cos(x) esistono per ogni x reale; mentre y=tg(x) esiste per con k intero relativo, e y=ctg(x) esiste per ogni con k intero relativo. e)Funzioni esponenziali del tipo : la condizione che determina il C.E. è che la base sia positiva cioè, f(x)>0. f)Funzioni logaritmiche del tipo : le condizioni che individuano il C.E. sono le seguenti f(x)>0 e g(x)>0,. 1 Avanti: continua il procedimento

3 2 g) Funzioni goniometriche inverse: y=arcsen(x) e y=arccos(x) sono definite per,mentre y=arctg(x) e y=arcctg(x) esistono per ogni x reale. h) Funzioni iperboliche: sono definite per ogni x. i)Funzioni in valore assoluto: il valore assoluto non induce alcuna limitazione al C.E. della funzione. 2. Intersezioni con gli assi cartesiani per l’intersezione con l’asse x, si risolve il sistema formato dalle due equazioni: cioè si risolve l’equazione f(x)=0; per l’intersezione con l’asse y, si risolve il sistema formato da :. Può essere utile individuare anche le eventuali simmetrie rispetto all’asse y o all’origine e le eventuali periodicità. 3. Studio del segno della funzione La funzione è positiva quando il suo grafico si trova, rispetto agli assi cartesiani, dalla parte del semiasse positivo delle y ; l’intervallo di positività si determina risolvendo la disequazione :. Indietro:inizio del procedimento Avanti: continua il procedimento

4 3 4.Calcolo di limiti Si calcolano i limiti negli estremi del C.E. per vedere l’andamento della funzione; si trovano gli eventuali punti di discontinuità e si stabilisce la specie. 5. Ricerca degli asintoti Gli asintoti possono essere di tre tipi: verticali, orizzontali e obliqui. a) Asintoti verticali: una retta del tipo x=a è un asintoto verticale se è soddisfatta la condizione b) Asintoti orizzontali: una retta di equazione y=k è un asintoto orizzontale se c) Asintoti obliqui: la retta di equazione y=mx+q risulta un asintoto obliquo, per il grafico della funzione, se,dopo avere verificato che è soddisfatta la condizione, risultano finiti i valori dei due limiti Si noti che trattando lo studio di funzioni univoche la presenza di un asintoto orizzontale esclude la presenza di quello verticale e viceversa. Indietro:procedimentoInizio procedimentoAvanti:continua procedimento

5 4 Inizio del procedimentoIndietro:procedimento 6. Studio del segno della derivata prima La funzione è crescente negli intervalli che sono soluzione della disequazione mentre è decrescente per. Un punto di ascissa è un massimo relativo,, se sono soddisfatte le condizioni : Il punto è un minimo relativo se: 7. Studio del segno della derivata seconda La funzione ha la concavità rivolta verso l’alto negli intervalli che costituiscono la soluzione della disequazione mentre la concavità è rivolta verso il basso quando In un punto di massimo relativo risulta pertanto mentre in un minimo relativo si ha Un punto si dice di flesso, F, quando risulta : ;in un punto di flesso la retta tangente alla curva-grafico della funzione, attraversa la curva stessa. Quando la tengente inflessionale è parallela all’asse x,deve essere:. Avanti:continua procedimento

6 5 Inizio procedimentoIndietro. procedimento 8. Esame di situazioni particolari a) Punti in cui non esiste la derivata prima: flessi verticali, cuspidi, punti angolosi. b) Simmetrie rispetto a punti o rette particolari. Studiamo ora un esempio di funzione razionale fratta.esempio di funzione razionale fratta

7 Funzioni razionali fratte Sono funzioni razionali fratte quelle del tipo: in cui la x compare al denominatore. Sono caratterizzate dal fatto che generalmente presentano degli asintoti verticali del tipo per i valori della x in cui si annulla il denominatore. Cioè per gli x tali che risulta:,tali valori sono esclusi dal C.E. Esempio 1Esempio 1: Torna a :procedimento studio funzioni

8 Esempio 1 Campo di esistenza C.E. : Funzione: Grafico 1 (Clic per visualizzare) Torna a procedimentoTorna a funz.raz.fratte Avanti:pag.seguente

9 Intersezione asse y Intersezioni asse x Segno della funzione (Clic per visualizzare) AvantiProcedimentoFunz.raz.fratteIndietro:pag.precedente

10 Calcolo limiti in estremi C.E. Asintoti verticali: x=+1 Asintoti orizzontali: y=+1 Asintoti obliqui:non ce ne sono ProcedimentoFunz.raz.fratteIndietroAvanti (fare clic per visualizzare) X=+1 Y=+1

11 Calcolo della derivata prima Studio del segno della derivata prima Intervalli di crescenza decrescenza La funzione è crescente per: 1

12 Calcolo derivata seconda Studio segno derivata seconda Concavità verso l’alto e verso il basso La funzione ha la concavità verso l’alto per:x>11/2, verso il basso per: x<4 ma Punti di flesso:c’è un punto di flesso per x=11/2 ProcedimentoFunz.raz.fratteIndietroAvanti

13 Grafico della funzione: (fare clic per visualizzare gli elementi) ProcedimentoFunz.raz.fratteIndietro A(0,-4) C(+2,0)B(-2,0) Y=+1 X=+1 Flesso Fine


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