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CALCOLO LETTERALE Perché? E’ opportuno rappresentare i numeri con lettere dell’alfabeto per fare affermazioni che valgono indipendentemente dal valore.

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1 CALCOLO LETTERALE Perché? E’ opportuno rappresentare i numeri con lettere dell’alfabeto per fare affermazioni che valgono indipendentemente dal valore dei numeri.

2 POTENZE Dato un numero reale a ed un numero naturale n, si dice potenza ennesima di a a n = a a … a n volte Esempio: 3 2 = 3 3 (-2) 2 = (-2) (-2) = 4 (-2) 3 = (-2) (-2) (-2) = -8

3 PROPRIETA’ DELLE POTENZE Dati a, b  R, m, n  N a n + m = a n a m, a -n = 1 / a n a n - m = a n : a m,n  m, se n = m, a  0 (a:b) n = a n : b n,b  0 (ab) n = a n b n, (a n ) m = a n m, a 0 = 1,

4 ESERCIZI = : 3 3 = 3 1 ((2) 3 ) 2 = (2) 6 (5 2) 2 : 5 0 = (5) 2 (2) 2 (8) 0 = = 1 / 3 4 e 2 e 3 e -4 = e (- 2) 2 (-2) 3 = -32

5 RADICALI Si dice radice ennesima (n  N) aritmetica del numero reale non negativo a l’unico numero reale non negativo b tale che b n = a Si pone per convenzione:

6 PROPRIETA’ DEI RADICALI

7 ESERCIZI

8 ESPRESSIONE NUMERICA E LETTERALE Una espressione numerica è un insieme di operazioni da eseguire su determinati numeri secondo un determinato ordine: {[(-1+3) 2 8]+(5 4)}:2= Una espressione letterale è una espressione numerica in cui i numeri sono in tutto o in parte rappresentati da lettere: {[(-a+b) 2 c]+(d e)}:2=

9 VALORE DI UNA ESPRESSIONE LETTERALE Esempio: se a = 1 b = 0 c = 1 a + 2b + 1/c = 2 N.B. Non è possibile dare a c il valore 0! Insieme di definizione della espressione letterale è l’insieme di valori che possiamo attribuire alle lettere senza che l’espressione perda di significato

10 MONOMIO Una espressione letterale in cui sono presenti solo le operazioni di moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza: Esempio:3ab 2 3 = coefficiente ab 2 = parte letterale

11 Grado di un monomio Grado complessivo del monomio è la somma degli esponenti delle lettere del monomio Grado del monomio rispetto a una lettera è l’esponente con cui tale lettera compare nel monomio Esempio: 3ab 2 è un monomio di grado complessivo 3, di grado 1 rispetto ad a, di grado 2 rispetto a b.

12 POLINOMIO La somma di più monomi, detti termini del polinomio: Esempio: 3ab + 2ac + 4b 3 Grado complessivo del polinomio è il massimo dei gradi dei singoli monomi (nell’esempio 3) Grado complessivo del polinomio rispetto a una lettera è il massimo dei gradi dei singoli monomi rispetto a quella lettera (nell’esempio 1 rispetto ad a e c, 3 rispetto a b)

13 ADDIZIONE SOTTRAZIONE PRODOTTO PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di particolari polinomi per i quali è possibile stabilire il risultato con pochi calcoli DIVISIONE OPERAZIONI TRA POLINOMI

14 DIFFERENZE DI QUADRATI (x + y) (x - y) = (x 2 - y 2 ) Esempi: (2x + y) (2x - y) = (4x 2 – y 2 ) (2ab 3 + c) (2ab 3 - c) = (4a 2 b 6 – c 2 ) (9x 2 y 2 – 4a 2 b 2 ) = (3xy + 2ab) (3xy - 2ab) (x-3) 4 – 81 = [(x –3) 2 –9] [(x –3) 2 +9] = [(x –3) –3] [(x –3) +3] [(x –3) 2 +9]

15 QUADRATO DI UN BINOMIO (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 Esempi: (a – 3b) 2 = a 2 – 6ab +9b 2 (a + 2b) 2 = a 2 + 4ab +4b 2 ((3/2)a + b 2 ) 2 = (9/4)a 2 + 3ab 2 + b 4

16 CUBO DI UN BINOMIO (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - y 3 Esempi: (2x - y) 3 = 8x x 2 y + 6xy 2 - y 3 (3x + y) 3 = 27x x 2 y + 9xy 2 + y 3 (x 3 - 5y) 3 = x x 6 y + 75x 3 y y 3

17 SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI (x 3 + y 3 )= (x + y) (x 2 - xy + y 2 ) (x 3 - y 3 )= (x - y) (x 2 + xy + y 2 ) Esempi: (8x 3 + y 3 )= (2x + y) (4x 2 - 2xy + y 2 ) (27x 3 - 8y 3 )= (3x - 2y) (9x 2 + 6xy + 4y 2 ) (x - 2) 3 + y 6 = [(x - 2) + y 2 )] [(x - 2) 2 - (x - 2) y 2 + y 4 )]

18 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI Mediante l’uso dei prodotti notevoli Raccoglimenti a fattore comune: Esempio: 6ab + 2a 3 c - 8ab = 2a (3b + a 2 c – 4b) Raccoglimenti parziali successivi: Esempio: 9a 2 b 3 - 3a 3 b 2 + 6bc - 2ac = 3a 2 b 2 (3b-a) + 2c (3b - a) = (3b - a) (3a 2 b 2 +2c)

19 DIVISIONE TRA POLINOMI Prenderemo in considerazione solo polinomi in una variabile Siano P 1 e P 2 polinomi ordinabili rispetto alla potenza di una data lettera, con il grado di P 1 maggiore o uguale al grado di P 2. Esistono allora due polinomi Q ed R tali che: P 1 = Q P 2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.

20 ESEMPIO 2x x 4 – 3 x x 2 + x + 1 x 3 – x x 5 – 2 x x 2 2 x 4 – 3 x x 2 + x x 4 – 2 x 3 +2 x – x x 2 - x + 1 – x 3 + x x 2 +2 x - 3 x 2 - x + 2 (2x 5 – 3 x 3 + x + 1) : ( x 3 – x 2 +1)

21 ESEMPIO (2x 5 – 3 x 3 + x + 1) = (2 x 2 +2 x – 1) (x 3 – x 2 +1) + (- 3 x 2 - x + 2) P 1 = Q P 2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto. N.B.P 1 è divisibile per P 2 se il resto è uguale a zero.

22 ESEMPIO: (20 x 4 – 14 x x - 32) : (4x 2 + 2x - 4) 20 x x x 2 – 24 x x x x 2 -6x+ 8 – 24 x x x 32 x x - 32 \\ \\\\ 20 x 4 – 14 x x x x 2 + 2x - 4

23 REGOLA DI RUFFINI Divisione di un polinomio per un binomio Sia P 1 (x) un polinomio di grado n e P 2 (x) un binomio del tipo (x ± a) con a reale, il quoziente è un polinomio di grado n – 1 ed il resto è di grado zero. P 1 (x)= (x±a) P 2 (x)+ R

24 REGOLA DI RUFFINI Coefficienti P 1 (x) ±a±a Coefficienti e termine noto P 2 (x) Termine noto P 1 (x) Resto

25 ESEMPIO (x 2 - 1) : (x + 2) x = (x + 2) (x –2)

26 REGOLA DEL RESTO Il resto della divisione di un polinomio P 1 (x) per un binomio del tipo (x + a) è il valore che P 1 assume per x = - a R= P 1 (-a) Esempio: (x 2 - 1) : (x + 2) P 1 (-2) = 3

27 OSSERVAZIONE Se P 1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è un divisore del termine noto di P 1 e b è un divisore del termine di grado massimo di P 1. Nell’esempio precedente:P 1 = (x 2 - 1) avrei dovuto provare con +1 e –1: P 1 (+1) = 0 quindi P 1 è divisibile per (x - 1) P 1 (-1) = 0 quindi P 1 è divisibile per (x + 1)

28 ESEMPIO x x 2 - 7x – 6 = (x -2) (x 2 +5x+3) P 1 (x) = x x 2 - 7x – 6 P 1 (±1)  0 P 1 (2) =


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