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I NUMERI NATURALI DIMENSIONE EPISTEMOLOGICA fine.

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Presentazione sul tema: "I NUMERI NATURALI DIMENSIONE EPISTEMOLOGICA fine."— Transcript della presentazione:

1 I NUMERI NATURALI DIMENSIONE EPISTEMOLOGICA fine

2 Cos'è un numero naturale? FregeEnriquesPeano Definizioni dal Libro VII degli Elementi: Unità è ciò secondo cui ogni cosa è detta uno Numero è la moltitudine composta di unità Euclide Definiamo i numeri naturali!! fine

3 Cos'è un numero naturale? EuclideEnriquesPeano Approccio cardinale definizione di numero naturale come classe di equivalenza di insiemi finiti equipotenti Frege Definiamo i numeri naturali!! fine

4 Cos'è un numero naturale? EuclideFregePeano Approccio con le grandezze confronto tra grandezze omogenee e unità Enriques Definiamo i numeri naturali!! fine

5 Approccio ricorsivo descrizione assiomatica dell'aritmetica ciò che studieremo Cos'è un numero naturale? EuclideFregeEnriquesPeano Definiamo i numeri naturali!! fine

6 Cos'è un numero naturale? Definiamo i numeri naturali!! Poiché questi enti (numeri, punti, ecc.) hanno sempre sfidato ogni tentativo di una adeguata descrizione, lentamente sorse tra i matematici del XIX secolo l'idea che la questione del significato di questi oggetti come cose sostanziali, se pure ha senso, non lo avesse nel campo della matematica. Le uniche affermazioni rilevanti che li riguardano non si riferiscono alla realtà sostanziale, e stabiliscono soltanto delle relazioni tra gli oggetti matematicamente non definiti e le regole che governano le operazioni con essi. fine

7 Cos'è un numero naturale? Definiamo i numeri naturali!! Nel campo della scienza,matematica, non si può e non si deve discutere ciò che i punti, le rette, i numeri sono effettivamente: ciò che importa e ciò che corrisponde a fatti verificabili sono la struttura e le relazioni, che due punti determinano una retta, che i numeri si combinano secondo certe regole per formare altri numeri, ecc. fine

8 Assiomatica di Peano Nel lavoro di sistemazione della matematica, presentava una descrizione assiomatica dell'aritmetica tra tutti i concetti aritmetici a disposizione, se ne scelsero alcuni senza darne una definizione esplicita e si utilizzarono per definire altri concetti. tra tutte le proposizioni aritmetiche vere, se ne scelsero alcune che sono accettate senza dimostrazione. Concetti primitivi Assiomi o postulati fine

9 Assiomatica di Peano Nel lavoro di sistemazione della matematica, presentava una descrizione assiomatica dell'aritmetica Concetti primitivi Assiomi o postulati Perché scegliere alcuni concetti senza definirli? Non si può definire ogni concetto? un caso forse noto: Euclide e la geometria fine

10 Assiomatica di Peano Concetti primitivi Sc 0 fine

11 Assiomatica di Peano Assiomi o postulati fine

12 Assiomatica di Peano Assiomi o postulati Lo zero è un numero Ogni numero ha un successivo ed uno solo Lo zero non è successivo di alcun numero Se due numeri hanno successivi uguali, allora sono uguali Principio d'induzione matematica fine Definizione operazioni

13 Assiomatica di Peano Assiomi o postulati Lo zero è un numero fine

14 Assiomatica di Peano Assiomi o postulati Ogni numero ha un successivo ed uno solo fine

15 Assiomatica di Peano Assiomi o postulati Lo zero non è successivo di alcun numero fine

16 Assiomatica di Peano Assiomi o postulati Se due numeri hanno successivi uguali, allora sono uguali fine

17 Assiomatica di Peano Assiomi o postulati Principio ( o metodo) d'induzione matematica Il metodo si compone di due passi: 1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di solito, si prova per M = 0 o M = 1) 2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1 L’assioma afferma che: Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ). fine

18 Assiomatica di Peano La definizione delle operazioni addizionemoltiplicazione Addizione + per ogni coppia (a,b) di numeri naturali associa il numero naturale a + b in modo che valgano le due proprietà seguenti: a + 0 = a a + Sc(b) = Sc(a + b) fine

19 Assiomatica di Peano addizionemoltiplicazione Moltiplicazione x per ogni coppia (a,b) di numeri naturali associa il numero naturale a x b in modo che valgano le due proprietà seguenti: a x 0 = 0 a x Sc(b) = (a x b) + a La definizione delle operazioni fine


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