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La Torre di Hanoi fine. Il gioco della Torre di Hanoi fu inventato dal matematico francese Eduard Lucas nel 1883, inizialmente con una torre di otto dischi.

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Presentazione sul tema: "La Torre di Hanoi fine. Il gioco della Torre di Hanoi fu inventato dal matematico francese Eduard Lucas nel 1883, inizialmente con una torre di otto dischi."— Transcript della presentazione:

1 La Torre di Hanoi fine

2 Il gioco della Torre di Hanoi fu inventato dal matematico francese Eduard Lucas nel 1883, inizialmente con una torre di otto dischi fine

3 Il problema della Torre di Hanoi deriva da una antica leggenda indiana che recita così: «nel grande tempio di Brahma a Benares, su di un piatto di ottone, sotto la cupola che segna il centro del mondo, si trovano 64 dischi d'oro puro che i monaci spostano uno alla volta infilandoli in un ago di diamanti, seguendo l'immutabile legge di Brahma: nessun disco può essere posato su un altro più piccolo. fine

4 All'inizio del mondo tutti i 64 dischi erano infilati in un ago e formavano la Torre di Brahma. Il processo di spostamento dei dischi da un ago all'altro è tuttora in corso. Quando l'ultimo disco sarà finalmente piazzato a formare di nuovo la Torre di Brahma in un ago diverso, allora arriverà la fine del mondo e tutto si trasformerà in polvere». fine

5 Costruiamo il gioco Preparazione: infilare i dischi in un piolo, in ordine decrescente di diametro Obiettivo: Spostare l’intera torre da un piolo ad un altro nel minor numero di mosse Materiale: 3 pioli, una tavoletta di legno in cui inserire i pioli, dischi forati al centro di diametro diverso.

6 fine Regole: Spostare un disco alla volta, da un piolo ad un altro Non sovrapporre mai un disco ad uno di diametro minore Giochiamo

7 fine Qual é il numero minimo di mosse per spostare la Torre? Facendo una mossa al secondo, quanto tempo almeno sarebbe necessario per ricostruire la Torre di Brahma, con 64 dischi?

8 fine Contatore mosse Contatore mosse Con 1 disco Iniziamo con qualche disco numero minimo di mosse?

9 fine OK Contatore mosse Contatore mosse 1 numero mosse: M 1 =1 Iniziamo con qualche disco Con 1 disco

10 fine Contatore mosse Contatore mosse numero mosse: M 2 =? Iniziamo con qualche disco Con 2 dischi numero minimo di mosse?

11 fine Contatore mosse Contatore mosse 1 Iniziamo con qualche disco Con 2 dischi numero minimo di mosse?

12 fine Contatore mosse Contatore mosse 2 Iniziamo con qualche disco Con 2 dischi numero minimo di mosse?

13 fine OK Contatore mosse Contatore mosse 3 Iniziamo con qualche disco Con 2 dischi

14 fine OK Contatore mosse Contatore mosse 3 numero mosse: M 2 =3 Iniziamo con qualche disco Con 2 dischi

15 fine Contatore mosse Contatore mosse numero mosse: M 3 =? Iniziamo con qualche disco Con 3 dischi numero minimo di mosse?

16 fine Contatore mosse Contatore mosse 1 Iniziamo con qualche disco Con 3 dischi numero minimo di mosse?

17 fine numero minimo di mosse? Contatore mosse Contatore mosse 2 Iniziamo con qualche disco Con 3 dischi

18 fine Iniziamo con qualche disco Contatore mosse Contatore mosse 3 Con 3 dischi abbiamo effettuato 3 mosse

19 fine Iniziamo con qualche disco Contatore mosse Contatore mosse 4 Con 3 dischi abbiamo effettuato 4 mosse

20 fine Iniziamo con qualche disco Contatore mosse Contatore mosse 4 Con 3 dischi Ah, a destra abbiamo una torre di 2 dischi, quindi M 3 = M le mosse per spostare la torre di 2 dischi numero mosse: 3+1+3? 7 mosse ?

21 fine Iniziamo con qualche disco Contatore mosse Contatore mosse 5 Con 3 dischi continuiamo

22 fine Iniziamo con qualche disco Contatore mosse Contatore mosse 6 Con 3 dischi continuiamo

23 fine Iniziamo con qualche disco Contatore mosse Contatore mosse 7 Con 3 dischi OK

24 fine Iniziamo con qualche disco Contatore mosse Contatore mosse 7 numero mosse: M 3 =7 Con 3 dischi OK

25 fine Continuiamo con 4 dischi Contatore mosse Contatore mosse numero mosse: M 4 =? Con 4 dischi numero minimo di mosse?

26 fine Continuiamo con 4 dischi Contatore mosse Contatore mosse 1 Con 4 dischi numero minimo di mosse?

27 fine Continuiamo con 4 dischi Contatore mosse Contatore mosse 2 Con 4 dischi numero minimo di mosse?

28 fine Continuiamo con 4 dischi Contatore mosse Contatore mosse 3 Con 4 dischi numero minimo di mosse?

29 fine Continuiamo con 4 dischi Contatore mosse Contatore mosse 4 Con 4 dischi numero minimo di mosse?

30 fine Continuiamo con 4 dischi Contatore mosse Contatore mosse 5 Con 4 dischi numero minimo di mosse?

31 fine Continuiamo con 4 dischi Contatore mosse Contatore mosse 6 Con 4 dischi numero minimo di mosse?

32 fine Continuiamo con 4 dischi Contatore mosse Contatore mosse 7 Con 4 dischi Ah, al centro abbiamo una torre di 3 dischi, quindi M 4 = M 3 + ? Finora abbiamo effettuato 7 mosse

33 fine Continuiamo con 4 dischi Contatore mosse Contatore mosse 8 Con 4 dischi Ah, al centro abbiamo una torre di 3 dischi, quindi M 4 = M ?

34 fine Continuiamo con 4 dischi Contatore mosse Contatore mosse 8 Con 4 dischi Ah, al centro abbiamo una torre di 3 dischi, quindi M 4 = M le mosse per spostare la torre centrale Il numero di mosse è 7+1+7? 15 mosse ?

35 fine Continuiamo con 4 dischi Contatore mosse Contatore mosse 9 Con 4 dischi continuiamo

36 fine Continuiamo con 4 dischi Contatore mosse Contatore mosse 10 Con 4 dischi continuiamo

37 fine Continuiamo con 4 dischi Contatore mosse Contatore mosse 11 Con 4 dischi continuiamo

38 fine Continuiamo con 4 dischi Contatore mosse Contatore mosse 12 Con 4 dischi continuiamo

39 fine Continuiamo con 4 dischi Contatore mosse Contatore mosse 13 Con 4 dischi continuiamo

40 fine Continuiamo con 4 dischi Contatore mosse Contatore mosse 14 Con 4 dischi continuiamo

41 fine Continuiamo con 4 dischi Contatore mosse Contatore mosse 15 Con 4 dischi OK numero mosse: M 4 =?

42 fine Continuiamo con 4 dischi Contatore mosse Contatore mosse 15 Con 4 dischi OK numero mosse: M 4 =15

43 fine Riassumiamo … ? 5 ? n

44 fine … confrontiamo il numero di mosse con le potenze di 2 … 15731? dischi mosse Potenze di

45 fine … confrontiamo il numero di mosse con le potenze di 2 … 15731? Ah! Il numero di mosse è una potenza di 2 meno uno Eh, sì. E l’esponente della potenza é il numero di dischi della torre

46 fine Congettura: Per spostare una torre di D dischi, sono necessarie almeno M = 2 D - 1 mosse 15731? D 2 D - 1

47 fine Peano ci aiuta con il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica (Assioma dell’Induzione) Il metodo si compone di due passi: 1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di solito, si prova per D = 0 o D = 1) 2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1 L’assioma afferma che: Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ).

48 fine Applico nel nostro caso il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica 1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 1 (la prima torre che abbiamo costruito): il numero di mosse dato dalla formula é = 1 OK

49 fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1.

50 fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1. Cioé, dimostro che se una torre di d dischi si sposta in 2 d -1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2 d+1 -1 mosse

51 fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1. Cioé, dimostro che se una torre di d dischi si sposta in 2 d - 1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2 d+1 -1 mosse 2 d - 1 mosse

52 fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1. Cioé, dimostro che se una torre di d dischi si sposta in 2 d - 1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2 d+1 -1 mosse Aggiungiamo un disco. Quante mosse?

53 fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1. Cioé, dimostro che se una torre di d dischi si sposta in 2 d - 1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2 d+1 -1 mosse Aggiungiamo un disco. Quante mosse? Quelle per spostare la torre di d dischi, cioé 2 d -1

54 fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1. Cioé, dimostro che se una torre di d dischi si sposta in 2 d - 1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2 d+1 -1 mosse Aggiungiamo un disco. Quante mosse? Quelle per spostare la torre di d dischi, cioé 2 d per l’ultimo disco

55 fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1. Cioé, dimostro che se una torre di d dischi si sposta in 2 d - 1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2 d+1 -1 mosse Aggiungiamo un disco. Quante mosse? Quelle per spostare la torre di d dischi, cioé 2 d le mosse per spostare di nuovo la torre di d dischi

56 fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1. Cioé, dimostro che se una torre di d dischi si sposta in 2 d - 1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2 d+1 -1 mosse Aggiungiamo un disco. Quante mosse? Quelle per spostare la torre di d dischi, cioé 2 d le mosse per spostare di nuovo la torre di d dischi, cioè 2 d d -1.

57 fine Aggiungiamo un disco. Quante mosse? Quelle per spostare la torre di d dischi, cioé 2 d le mosse per spostare di nuovo la torre di d dischi, cioè 2 d d -1 = 2* 2 d -1 = 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1. Cioé, dimostro che se una torre di d dischi si sposta in 2 d - 1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2 d+1 -1 mosse

58 fine Aggiungiamo un disco. Quante mosse? Quelle per spostare la torre di d dischi, cioé 2 d le mosse per spostare di nuovo la torre di d dischi, cioè 2 d d -1 = 2* 2 d -1 = 2 d+1 -1 Fatto! La proprietà vale per ogni D !!! 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1. Cioé, dimostro che se una torre di d dischi si sposta in 2 d - 1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2 d+1 -1 mosse

59 fine E cioè ….(clicca qui) Il numero di mosse é pari a , cioé ci vogliono secondi per spostare tutta la Torre Facendo una mossa al secondo, quanto tempo almeno sarebbe necessario per ricostruire la Torre di Brahma, con 64 dischi?


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