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Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine.

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Presentazione sul tema: "Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine."— Transcript della presentazione:

1 Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine

2 Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? M d 3 0 fine

3 Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? M d fine

4 Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? M d fine

5 Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? M d fine

6 Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? M d e poi? 37 ? 1115 ? M ? fine

7 Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? Proviamo a produrre una congettura? x 6 = 18 fine

8 Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? Proviamo a produrre una congettura? x 6 = 18 ma ogni diagonale è contata due volte! Quindi sono 18 : 2 = 9 fine

9 Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? E in generale? x 6 = 18 ma ogni diagonale è contata due volte! Quindi sono 18 : 2 = 9 fine

10 Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? E in generale? 3 3 M (M - 3) ma ogni diagonale è contata due volte! Quindi sono d = M (M - 3) : 2 Ci sono M vertici e da ciascuno escono (M-3) diagonali fine

11 Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? CONGETTURA Se M è il numero dei vertici, il numero delle diagonali è d = M (M - 3) : 2 fine

12 Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? CONGETTURA Se un poligono ha M vertici il numero delle diagonali è d = M (M - 3) : 2 Abbiamo una bella congettura. Se fossimo sicuri che è valida, potremmo affermare (senza disegnare) che un poligono con 37 vertici ha 37 x 34 : 2 = 37 x 17 = 629 diagonali fine

13 Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? CONGETTURA Se un poligono ha M vertici il numero delle diagonali è d = M (M - 3) : 2 Abbiamo una bella congettura. Se fossimo sicuri che è valida, potremmo affermare (senza disegnare) che un poligono con 37 vertici ha 37 x 34 : 2 = 37 x 17 = 629 diagonali Come possiamo dimostrare che la congettura vale per ogni M? fine

14 Peano ci aiuta con il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica (Assioma dell’Induzione) Il metodo si compone di due passi: 1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di solito, si prova per M = 0 o M = 1) 2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1 L’assioma afferma che: Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ). fine

15 Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al successivo fine

16 Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al successivo fine

17 Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al successivo fine

18 Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al successivo fine

19 Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al successivo fine

20 Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al successivo fine

21 Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al successivo fine

22 Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al successivo fine

23 Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al successivo e così via fine

24 Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: è come quando spingo una tessera del domino che fa cadere via via quelle che la seguono e così via fine

25 Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: è come quando spingo una tessera del domino che fa cadere via via quelle che la seguono e così via fine

26 Applico nel nostro caso il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica 1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 3 (il primo della tabella) il triangolo non ha diagonali d = 3 (3 - 3) : 2 = 0. OK 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1.  Fatto questo, sarà certo che la formula d = M (M - 3) : 2 vale per un poligono con un numero qualsiasi di vertici M (  3). fine

27 Procedo con il passo 2 2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). fine

28 2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). m (m - 3) : 2 diagonali fine

29 2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Qui ci sono m (m - 3) diagonali m (m - 3) : 2 diagonali Disegno un altro vertice (m +1)° fine

30 2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Qui ci sono m (m - 3) diagonali Qui ci sono m (m - 3) diagonali Disegno un altro vertice (m +1)° Quante sono le diagonali? Qui ci sono m (m - 3):2 diagonali m (m - 3) : 2 diagonali fine

31 2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Qui ci sono m (m - 3) diagonali Qui ci sono m (m - 3) diagonali Disegno un altro vertice (m +1)° Quante sono le diagonali? Quelle di prima: m (m - 3) : 2 Qui ci sono m (m - 3):2 diagonali m (m - 3) : 2 diagonali fine

32 2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Qui ci sono m (m - 3) diagonali Qui ci sono m (m - 3) diagonali Disegno un altro vertice (m +1)° Quante sono le diagonali? Quelle di prima: m (m - 3) : 2 Quelle da (m +1)°: m - 2 Qui ci sono m (m - 3):2 diagonali m (m - 3) : 2 diagonali fine

33 2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Qui ci sono m (m - 3) diagonali Qui ci sono m (m - 3) diagonali Disegno un altro vertice (m +1)° Quante sono le diagonali? Quelle di prima: m (m - 3) : 2 Quelle da (m +1)°: m - 2 il segmento 1m: 1 Qui ci sono m (m - 3):2 diagonali Qui ci sono m (m - 3) : 2 diagonali m (m - 3) : 2 diagonali fine

34 2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Qui ci sono m (m - 3) diagonali Qui ci sono m (m - 3) diagonali In tutto sono: m (m - 3) : 2 + (m - 2) + 1 = [m (m - 3) + 2 (m - 1)] : 2 = [m 2 - 3m + 2m - 2] : 2 = [m 2 - m - 2] : 2 = (m + 1) (m - 2) : 2 Qui ci sono m (m - 3):2 diagonali Qui ci sono m (m - 3) : 2 diagonali m (m - 3) : 2 diagonali fine

35 2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Qui ci sono m (m - 3) diagonali Qui ci sono m (m - 3) diagonali In tutto sono: m (m - 3) : 2 + (m - 2) + 1 = [m (m - 3) + 2 (m - 1)] : 2 = [m 2 - 3m + 2m - 2] : 2 = [m 2 - m - 2] : 2 = (m + 1) (m - 2) : 2 = (m + 1) [(m + 1) - 3]: 2 Qui ci sono m (m - 3):2 diagonali Qui ci sono m (m - 3) : 2 diagonali Fatto! La proprietà vale per ogni M !!! fine


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