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Numeri figurati Numeri triangolari fine. Abbiamo delle monete... e le disponiamo in modo da formare dei triangoli... Il numero di monete disposte in modo.

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Presentazione sul tema: "Numeri figurati Numeri triangolari fine. Abbiamo delle monete... e le disponiamo in modo da formare dei triangoli... Il numero di monete disposte in modo."— Transcript della presentazione:

1 Numeri figurati Numeri triangolari fine

2 Abbiamo delle monete... e le disponiamo in modo da formare dei triangoli... Il numero di monete disposte in modo opportuno a formare un triangolo rappresenta un fine

3 Quante monete? Costruiamo i numeri triangolari 1 fine

4 Costruiamo i numeri triangolari Il primo numero triangolare che indichiamo con T1T1 proseguiamo … proseguiamo... = 1 Quante monete? 1 fine

5 Costruiamo i numeri triangolari T1T1 = 1 1 T1T1 Quante monete? fine

6 Costruiamo i numeri triangolari T1T1 = 1 1 T1T1 Quante monete? fine

7 Costruiamo i numeri triangolari T1T1 = T1T1 Quante monete? fine

8 Costruiamo i numeri triangolari 1+1 T1T1 = 1 T1T1 Quante monete? fine

9 Costruiamo i numeri triangolari 1+2 T1T1 = 1 T1T1 Quante monete? fine

10 Quante monete? Costruiamo i numeri triangolari proseguiamo … proseguiamo Il secondo numero triangolare che indichiamo con T2T2 = 3 T1T1 = 1 T 2 è uguale alla somma dei primi due numeri naturali T1T1 fine

11 Quante monete? Costruiamo i numeri triangolari 1+2 T2T2 = 3 T1T1 = 1 T1T1 T2T2 Partiamo da T 2 che abbiamo già costruito fine

12 Quante monete? Costruiamo i numeri triangolari T2T2 = 3 T1T1 = 1 T1T1 T2T2 fine

13 Quante monete? Costruiamo i numeri triangolari T2T2 = 3 T1T1 = 1 T1T1 T2T2 fine

14 Quante monete? Costruiamo i numeri triangolari T2T2 = 3 T1T1 = 1 T1T1 T2T2 fine

15 Quante monete? Costruiamo i numeri triangolari T2T2 = 3 T1T1 = 1 T1T1 T2T2 fine

16 Quante monete? Costruiamo i numeri triangolari Il terzo numero triangolare che indichiamo con T3T3 = T2T2 = 3 T1T1 = 1 proseguiamo … proseguiamo... T 3 è uguale alla somma dei primi tre numeri naturali T1T1 T2T2 fine

17 Quante monete? Quanto vale T 4 ? T3T3 T2T2 T1T1 T3T3 = 6 T2T2 = 3 T1T1 = 1 T1T1 T2T2 T3T3 Partiamo da T 3 che abbiamo già costruito fine

18 Quante monete? T3T3 T2T2 T1T1 T3T3 = 6 T2T2 = 3 T1T1 = T1T1 T2T2 T3T3 Partiamo da T 3 che abbiamo già costruito Quanto vale T 4 ? fine

19 Quante monete? T3T3 T2T2 T1T1 T3T3 = 6 T2T2 = 3 T1T1 = T1T1 T2T2 T3T3 fine Quanto vale T 4 ?

20 Quante monete? T3T3 T2T2 T1T1 T3T3 = 6 T2T2 = 3 T1T1 = T1T1 T2T2 T3T3 fine Quanto vale T 4 ?

21 Quante monete? T3T3 T2T2 T1T1 T3T3 = 6 T2T2 = 3 T1T1 = T1T1 T2T2 T3T3 fine Quanto vale T 4 ?

22 Quante monete? Quanto vale T 4 ? T3T3 T2T2 T1T1 T3T3 = 6 T2T2 = 3 T1T1 = T1T1 T2T2 T3T3 fine

23 Quante monete? Quanto vale T 4 ? T3T3 T2T2 T1T1 T4T4 = 10 T3T3 = 6 T2T2 = 3 T1T1 = T 4 è uguale alla somma dei primi quattro numeri naturali T1T1 T2T2 T3T3 Abbiamo aggiunto 4 monete per costruire T 4 partendo da T 3 fine

24 Riassumendo... T2T2 T1T T3T3 T4T4 … e poi? fine

25 Riassumendo... T2T2 T1T T3T3 T4T4 T5T5 ? … e poi? fine

26 Riassumendo... T2T2 T1T T3T3 T4T4 T5T5 ? T 10 ? … e poi? fine

27 Riassumendo... T2T2 T1T T3T3 T4T4 T5T5 ? T 10 ? T 17 ? … e poi? fine

28 Riassumendo... T2T2 T1T T3T3 T4T4 T5T5 ? T 10 ? T 17 ? … e poi? In generale, quanto vale T M ? fine

29 Quante monete? In generale, quanto vale T M ? Per avere T M, si deve costruire un triangolo avente M monete come base e M monete in altezza TMTM = ? MmoneteMmonete M monete fine

30 In generale, quanto vale T M ? Proviamo a fare una congettura. Per avere T 5, si deve costruire un triangolo avente 5 monete come base e 5 monete in altezza Prima strategia Seconda strategia fine

31 In generale, quanto vale T M ? Proviamo a fare una congettura. Per avere T 5, si deve costruire un triangolo avente 5 monete come base e 5 monete in altezza T5T5 = 15 5monete5monete 5 monete Proviamo a spostare le monete fine

32 In generale, quanto vale T M ? Proviamo a fare una congettura. T5T5 = 15 5monete5monete 5 monete Proviamo a spostare le monete fine

33 In generale, quanto vale T M ? Proviamo a fare una congettura. T5T5 = 15 5monete5monete 5 monete Proviamo a spostare le monete fine

34 In generale, quanto vale T M ? Proviamo a fare una congettura. T5T5 = 15 5monete5monete 5 monete Proviamo a spostare le monete fine

35 In generale, quanto vale T M ? Proviamo a fare una congettura. Il numero di monete è uguale a 5*3, cioè a 5*(6:2), allora T 5 = 5*(6:2) possiamo anche scrivere T 5 = 5*[(5+1):2] oppure T 5 = 5*(5+1):2 fine

36 In generale, quanto vale T M ? Proviamo a fare una congettura. fine Seconda strategia Il numero di monete è uguale a 5*3, cioè a 5*(6:2), allora T 5 = 5*(6:2) possiamo anche scrivere T 5 = 5*[(5+1):2] oppure T 5 = 5*(5+1):2 congettura

37 T5T5 = 15 Proviamo a disporre altrettante monete In generale, quanto vale T M ? Proviamo a fare una congettura. 5monete5monete 5 monete Per avere T 5, si deve costruire un triangolo avente 5 monete come base e 5 monete in altezza fine

38 In generale, quanto vale T M ? Proviamo a fare una congettura. T5T5 = 15 5monete5monete 5 monete fine Proviamo a disporre altrettante monete

39 In generale, quanto vale T M ? Proviamo a fare una congettura. T5T5 = 15 5monete5monete 5 monete fine Proviamo a disporre altrettante monete

40 In generale, quanto vale T M ? Proviamo a fare una congettura. Ci sono 5*6 monete, ma per T 5 ne abbiamo bisogno della metà, cioè T 5 = (5*6):2 possiamo anche scrivere T 5 = [5*(5+1)]:2 oppure T 5 = 5*(5+1):2 fine

41 In generale, quanto vale T M ? Proviamo a fare una congettura. Ci sono 5*6 monete, ma per T 5 ne abbiamo bisogno della metà, cioè T 5 = (5*6):2 possiamo anche scrivere T 5 = [5*(5+1)]:2 oppure T 5 = 5*(5+1):2 congettura fine Prima strategia

42 Quante monete? In generale, quanto vale T M ? Proviamo a fare una congettura. Congettura: per ogni M > 1, il numero triangolare T M vale: T M = M*(M+1):2 Prima strategiaSeconda strategia fine

43 Congettura: per ogni M > 1, il numero triangolare T M vale: T M = M*(M+1):2 Abbiamo una bella congettura. Se fossimo sicuri che è valida, potremmo affermare (senza costruire) che T 17 = 17*(17+1):2=17*18:2=153 cioè che il 17-esimo numero triangolare è costruito con 153 monete. Come possiamo dimostrare che la congettura vale per ogni M? fine

44 Peano ci aiuta con il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica (Assioma dell’Induzione) Il metodo si compone di due passi: 1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di solito, si prova per M = 0 o M = 1) 2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1 L’assioma afferma che: Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ). fine

45 Applico nel nostro caso il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica Passo 1 1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 1 (il primo numero triangolare): - per costruzione sappiamo che T 1 = 1 - con la formula: T 1 = 1* (1+1) : 2 = 1. fine

46 Applico nel nostro caso il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica Passo 1 1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 1 (il primo numero triangolare): - per costruzione sappiamo che T 1 = 1 - con la formula: T 1 = 1* (1+1) : 2 = 1. OK fine

47 Procedo con il passo 2 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è T m = m (m + 1) : 2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è T m+1 = (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). fine

48 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). m(m+1):2 monete mmonetemmonete m monete Abbiamo T m fine

49 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Abbiamo T m Costruiamo T m+1 m(m+1):2 monete mmonetemmonete m monete fine

50 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Abbiamo T m Costruiamo T m+1 aggiungendo m+1 monete monetemonete m+1 monete m+1 m(m+1):2 monete fine

51 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Abbiamo T m Costruiamo T m+1 aggiungendo m+1 monete. Quant'è T m+1 ? Quante monete? monetemonete m+1 monete m+1 m(m+1):2 monete fine

52 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Allora di ha: m(m + 1) : 2 + (m + 1) = monetemonete m+1 monete m+1 m(m+1):2 monete fine

53 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Allora di ha: m(m + 1) : 2 + (m + 1) = [m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 = monetemonete m+1 monete m+1 m(m+1):2 monete fine

54 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Allora di ha: m(m + 1) : 2 + (m + 1) = [m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 = [m 2 + m + 2m + 2] : 2 = monetemonete m+1 monete m+1 m(m+1):2 monete fine

55 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Allora di ha: m(m + 1) : 2 + (m + 1) = [m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 = [m 2 + m + 2m + 2] : 2 = [m 2 + 3m + 2] : 2 = monetemonete m+1 monete m+1 m(m+1):2 monete fine

56 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Allora di ha: m(m + 1) : 2 + (m + 1) = [m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 = [m 2 + m + 2m + 2] : 2 = [m 2 + 3m + 2] : 2 = (m + 1)(m + 2) : 2 = monetemonete m+1 monete m+1 m(m+1):2 monete fine

57 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Allora di ha: m(m + 1) : 2 + (m + 1) = [m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 = [m 2 + m + 2m + 2] : 2 = [m 2 + 3m + 2] : 2 = (m + 1)(m + 2) : 2 = (m + 1)[(m + 1) +1] : 2 monetemonete m+1 monete m+1 m(m+1):2 monete fine

58 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Allora di ha: m(m + 1) : 2 + (m + 1) = [m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 = [m 2 + m + 2m + 2] : 2 = [m 2 + 3m + 2] : 2 = (m + 1)(m + 2) : 2 = (m + 1)[(m + 1) +1] : 2 monetemonete m+1 monete m+1 m(m+1):2 monete Fatto! La proprietà vale per ogni M !!! fine

59 Abbiamo trovato e dimostrato una formula per calcolare l’M-esimo T M = M*(M+1) 2 Abbiamo usato strategie di tipo figurale cioè basate su aspetti percettivi.

60 Abbiamo trovato e dimostrato una formula per calcolare l’M-esimo T M = M*(M+1) 2 Avremmo potuto usare anche una strategia aritmetica come C. F. Gauss uno dei maggiori matematici di tutti i tempi

61 Gauss frequentava la scuola elementare. Si racconta che un giorno il suo precettore assegnò il compito di calcolare la somma dei primi 100 numeri naturali. Gauss scrisse subito sulla lavagnetta il numero: 5050 Come lo aveva calcolato? Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)

62 …………… addendi

63 …………… x 101 = 5050

64 Gauss frequentava la scuola elementare. Si racconta che un giorno il suo precettore assegnò il compito di calcolare la somma dei primi 100 numeri naturali. Gauss scrisse subito sulla lavagnetta il numero: 5050 Come lo aveva calcolato? Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) 50 x 101 = 5050

65 Numeri figurati fine Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici. Numeri triangolari:1, 3, 6, 10, 15, 21, …..

66 Numeri figurati fine Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici. Numeri quadrati:1, 4, 9, 16, 25, 36, …..

67 Numeri figurati fine Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici. Numeri pentagonali1, 5, 12, …..

68 Numeri figurati fine Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici. Numeri pentagonali1, 5, 12, ….. E così via


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