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Stabilità per E.D.O. (I): STABILITÀ LINEARIZZATA Marina Mancini 19-Maggio-2006.

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1 Stabilità per E.D.O. (I): STABILITÀ LINEARIZZATA Marina Mancini 19-Maggio-2006

2 2 Sistema autonomo Consideriamo un sistema di equazioni ed incognite:.. funzioni continue di variabili reali funzioni continue di variabili reali è definita e continua in è definita e continua in

3 3 (1) (1) Se partiamo dalla condizione iniziale: esiste un’ unica soluzione di (1) che verifica esiste un’ unica soluzione di (1) che verifica.Definizione: Un punto dove tutte le funzioni sono uguali a zero è detto punto fisso del sistema autonomo (1). Sistema autonomo(2)

4 4 Un sistema autonomo come (1) è lineare se e solo se tutte le funzioni sono funzioni lineari omogenee di, e:, i=1…n, i=1…n.. (2). (2) Il sistema (2) ha come soluzione. Sistema autonomo lineare

5 5 Sia, allora. E soddisfa le seguenti proprietà : 1.,, 2., e 3. vettore. Inoltre vale: Se sono autovalori di t.c. Norma di una matrice

6 6 Stabilità alla Lyapunov delle soluzioni DEFINIZIONE: Sia soluzione di (1) che soddisfa: (a) è definita per, e (b) appartiene all’insieme allora è detta stabile se: (c) t. c. ogni soluzione soddisfa (a) e (b) con,e,e (d) Fissato t. c. implica

7 7 DEFINIZIONE: La soluzione di (1) è asintoticamente stabile se è stabile e t. c. implica Una soluzione che non è stabile è detta instabile. Stabilità asintotica delle soluzioni

8 8 Consideriamo il sistema autonomo non lineare: (3) (3) e sia la soluzione di (3) all’istante t, a partire dalla condizione iniziale. e sia la soluzione di (3) all’istante t, a partire dalla condizione iniziale. Un punto è un punto fisso per (3),, se: In generale sappiamo che i punti fissi di (3) sono tutte le soluzioni reali di: pertanto pertanto Riduzione alle soluzioni nulle

9 9 Sia punto fisso di (3). Si consideri come nuova variabile: Il sistema dinamico ha punto fisso nell’origine poiché: CONCLUSIONE: Non è insomma restrittivo limitare l’analisi al caso di un sistema autonomo con punto fisso nell’origine. Riduzione alle soluzioni nulle(2)

10 10 Il processo di linearizzazione ci consente di determinare l’equivalente lineare di un sistema non lineare nell’intorno di un punto fisso. Consideriamo il sistema non lineare: con punto fisso. con punto fisso. Il punto fisso può essere preso come punto iniziale per un’espansione in serie della funzione. Arrestando tale espansione al primo ordine si ottiene: Approssimazione lineare

11 11 Dove: è l’incremento rispetto al punto fisso è l’incremento rispetto al punto fisso indica tutti i termini di ordine superiore al primo indica tutti i termini di ordine superiore al primo è nullo per definizione di punto fisso. è nullo per definizione di punto fisso. è un termine lineare descrivibile, quindi, in modo matriciale: è un termine lineare descrivibile, quindi, in modo matriciale: Il comportamento del sistema non lineare, in un intorno del punto fisso, può quindi essere descritto, in modo approssimato, dal sistema lineare: Approssimazione lineare(2)

12 12 Se e sono funzioni scalari non negative continue per è una costante non negativa e è una costante non negativa e allora Lemma di Gronwall

13 13 Dimostrazione Se allora la disuguaglianza data implica che: Integrando ambo i membri da a si ha: Lemma di Gronwall(2)

14 14 Ciò implica che Se il risultato vale e implica che è identicamente nulla e la disuguaglianza è banalmente soddisfatta. Lemma di Gronwall(3)

15 15 Consideriamo il sistema non lineare nella forma: (4) (4) termine lineare termini di ordine superiore al I Con e soddisfa: i. è continua per e ii. cioè con La condizione i. assicura la locale esistenza delle soluzioni, ii. implica quindi è soluzione di (4). ii. implica quindi è soluzione di (4). Un risultato per i sistemi non lineari

16 16 Se è una matrice costante con polinomio caratteristico stabile e soddisfa le condizioni i. e ii., allora la soluzione del sistema del sistema è asintoticamente stabile. Teorema (Stabilità Linearizzata)

17 17 Riscriviamo la definizione di stabilità per : sia soluzione di (1) che soddisfa: (a) è definita per, e (b) appartiene all’insieme allora è detta stabile se: (c) t. c. ogni soluzione soddisfa (a) e (b) con, e (d) Fissato t. c. implica Dimostrazione

18 18 Innanzitutto dimostriamo che la soluzione è definita per quando è vicino a zero. Se è la matrice fondamentale del sistema t.c., allora per ipotesi esistono due costanti positive e t.c. per. Poiché è una matrice costante, la soluzione deve soddisfare la relazione che implica che implica La prima relazione, e quindi la seconda, è certamente valida per in ogni intervallo per cui se prendiamo La prima relazione, e quindi la seconda, è certamente valida per in ogni intervallo per cui se prendiamo Dimostrazione(2)

19 19 Dalla condizione ii. segue che t.c. implica. Se prendiamo allora, per la continuità di, esiste t.c. per. Pertanto per. Per il Lemma di Gronwall si ha: Ma e sono arbitrari, quindi scegliamo t.c. e t.c. implica per. Dimostrazione(3)

20 20 Poiché è definita per, possiamo prolungare la soluzione, che esiste localmente in ogni punto, intervallo dopo intervallo, preservando la condizione. Pertanto, ogni soluzione con, è definita per e soddisfa. Ma può essere piccolo a nostra scelta, ciò implica che è stabile, e implica che è asintoticamente stabile. CONCLUSIONE: La stabilità asintotica delle traiettorie dei sistemi lineari è preservata. Dimostrazione(4)

21 21 Osserviamo che questo risultato vale anche nel caso dei sistemi non autonomi non lineari che assumono la seguente forma: soddisfa: soddisfa: i. è continua per, e ii. uniformemente rispetto a. Osservazione

22 22 Consideriamo il sistema: Dove ad-bc≠0, sono continue e con con Per il teorema precedente si ha: Esempio

23 23  Se le radici del polinomio caratteristico di hanno parte reale negativa, allora (0,0) è un punto fisso asintoticamente stabile del sistema non lineare. parte reale negativa, allora (0,0) è un punto fisso asintoticamente stabile del sistema non lineare. Esempio(2)


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