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Metodo numerico di Eulero Prof. Messina Il suo genio non ha uguali né simili “Eulero calcolava senza sforzo apparente proprio come gli uomini respirano.

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1 Metodo numerico di Eulero Prof. Messina Il suo genio non ha uguali né simili “Eulero calcolava senza sforzo apparente proprio come gli uomini respirano e le aquile volano nel vento”. Francois Arago

2 L’equazione differenziale stabilisce una relazione tra la variabile indipendente t, la funzione incognita y(t) e le sue derivate. Lo studio di un sistema si riconduce quasi sempre allo studio di una equazione differenziale.

3 Risolvere una equazione differenziale del 1°ordine data nella forma : Risolvere una equazione differenziale del 1°ordine data nella forma : derivata della funzione incognita derivata della funzione incognita Ingresso del sistema Ingresso del sistema Uscita del sistema funzione incognita Uscita del sistema funzione incognita Significa trovare la funzione u(t) che sostituita nell’equazione rende uguale a v in (t) l’espressione a sinistra del segno di uguaglianza, qualunque sia il valore di t. Significa trovare la funzione u(t) che sostituita nell’equazione rende uguale a v in (t) l’espressione a sinistra del segno di uguaglianza, qualunque sia il valore di t. Costante di tempo

4 Questo metodo consente di sostituire l’equazione differenziale con una equazione di differenze finite in un determinato intervallo di tempo. Il metodo più semplice per risolvere una equazione differenziale di 1° ordine è il metodo di Eulero.

5 Intervallo in corrispondenza del quale si vuole calcolare il valore approssimato della la funzione incognita Numero di parti con cui si vuole dividere l’intervallo considerato Per cui e u i nell’istante generico (i) u i+1 l’istante successivo. Dove u i è il valore dell’uscita nell’istante generico (i) e u i+1 il valore per l’istante successivo. Il numero di istanti di tempo in cui si valuta il valore dell’uscita Con tale metodo si può affermare che il valore della derivata calcolato in un punto è approssimativamente uguale al valore del rapporto incrementale quando l’intervallo di tempo t è piccolo e finito. Con tale metodo si può affermare che il valore della derivata calcolato in un punto è approssimativamente uguale al valore del rapporto incrementale quando l’intervallo di tempo t è piccolo e finito.

6 P 1 u P 0   t u(t) t t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 u 1 u 0 Se i=0 allora: t i = t 0 t 0 + t = t 1 t 1 + t = t 2 t 2 + t = t 3 t 3 + t = t 4 Come detto: Con il metodo di Eulero si può affermare che il valore della derivata calcolato in un punto è approssimativamente uguale al valore del rapporto incrementale quando l’intervallo di tempo t è piccolo e finito.

7 Sostituiamo ora nella equazione differenziale originaria il simbolo della derivata con quello delle differenze finite. Si sceglie il passo t - normalmente circa 10 volte minore della costante di tempo t. Dove t f è l’istante finale e t 0 l’istante iniziale Originaria Differenze finite Il numero di istanti di tempo in cui si valuta il valore dell’uscita è dato da:

8 Dove: ui è il valore dell’uscita nell’istante generico (i) nell’istante generico (i) ui+1 l’istante successivo Si sostituisce a u Si ottiene quindi: u i sarà u 0 u i sarà u 0 u i+1 sarà u 1 u i+1 sarà u 1 E se consideriamo i = 0

9 Da cui Uscita istante successivo Uscita istante precedente Costante di tempo Intervallo di tempo Detto anche “Passo” Valore di ingresso

10 Ora si può stilare una tabella, con Excel, nella quale si calcolano i valori dell’ uscita del sistema per gli istanti di tempo definiti in base alle condizioni iniziali. Supponiamo di voler studiare un sistema con  = 50s e V i = 10 nell’intervallo di tempo 0-100s e di aver scelto come passo t = 5s si ottiene un numero di istanti di tempo pari a : ABC1itu(t) , … Nella prima colonna inseriamo il valore del pedice (i), nella seconda colonna gli istanti di tempo in cui si vuole studiare l’uscita u(t) con Passo 5s e nella terza colonna si inserisce la formula dalla quale si ottiene il valore della u(t) nel corrispondente istante. = = 1 La formula viene inserita nella cella C3 e poi trascinata fino alla cella C21

11 Una volta ottenuti tutti i valori assunti dall’uscita del sistema nell’intervallo specificato 0 – 100s possiamo tracciare i grafici relativi alla risposta del sistema in funzione del tempo e analizzarne il risultato.


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