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Il Teorema di Rolle Chi era Michel Rolle ? Chi era Michel Rolle ? Cosa dice il Teorema di Rolle? Cosa dice il Teorema di Rolle? Discussione Ricostruisci.

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Presentazione sul tema: "Il Teorema di Rolle Chi era Michel Rolle ? Chi era Michel Rolle ? Cosa dice il Teorema di Rolle? Cosa dice il Teorema di Rolle? Discussione Ricostruisci."— Transcript della presentazione:

1 Il Teorema di Rolle Chi era Michel Rolle ? Chi era Michel Rolle ? Cosa dice il Teorema di Rolle? Cosa dice il Teorema di Rolle? Discussione Ricostruisci e controlla Ricostruisci e controlla A cura della V A del Liceo Scientifico “Jacopone da Todi” di Todi Torna al menu del progetto

2 Michel Rolle nasce a Ambert nel Dal 1685 è membro dell’Accademia di Parigi come “géomètre pensionnaire”. Fu uno dei matematici più abili del suo tempo, tuttavia si distinse per un atteggiamento critico verso i nuovi metodi del calcolo differenziale che si andavano allora affermando, dando luogo a vivaci polemiche con P. Varignon e Jean Bernoulli e fu al centro di alcune polemiche contro l’Hôpital sul concetto di infinito e contro la geometria di Cartesio. La sua fama è dovuta soprattutto al Teorema che porta il suo nome: Teorema di Rolle, da lui dimostrato nel Le sue opere più importanti sono: “Traité d’algebre” 1690 e “Methode pour résudre les égalités” 1691.

3 IPOTESI: f continua in [a,b] f continua in [a,b] f derivabile in ]a,b[ f derivabile in ]a,b[ f(a) = f(b) f(a) = f(b) TESI: Esiste almeno un punto c in (a,b) tale che Data una funzione qualsiasi f(x), continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile in ]a,b[ vi è almeno un punto c dell’intervallo [a,b] dove la derivata della funzione si annulla.

4 Dimostrazione:  Sia f(x) continua in [a,b], derivabile in ]a,b[, tale che f(a) = f(b). In virtù dell’ipotesi della continuità, vale il teorema Bolzano- Weierstrass, che ci assicura che esistono almeno un punto di massimo e un punto di minimo in [a,b]. Supponiamo che entrambi cadano negli estremi a e b dell’intervallo. Ad esempio, se: Max = f(a) e min = f(b), in virtù dell’ipotesi che f(a) = f(b), si ha che Max = min e quindi f(x) è costante in tutto l’intervallo [a,b]. Quindi f’(x) = 0 in tutto [a,b].

5 Supponiamo ora che almeno uno dei due, il massimo o il minimo, cada nell’intervallo ]a,b[. Ad esempio, se: Max = f(c), con c appartenente all’intervallo ]a,b[,allora il rapporto incrementale sinistro mentre il rapporto incrementale destro è

6 Come si può notare dal seguente grafico: RI - <0RI + >0

7 In virtù dell’inverso del Teorema della permanenza del segno ne segue che, il e lim ≥ 0 lim ≤ 0 E in virtù dell’ipotesi della derivabilità, i due limiti devono essere uguali e quindi: lim = = 0

8 Esaminiamo le ipotesi del Teorema di Rolle e analizziamo cosa accade se cadono le ipotesi. Consideriamo ad esempio così definita: La cui rappresentazione grafica è la seguente Se cade l’ipotesi di continuità della funzione in [a,b], la tesi continua a valere solo in alcuni casi.

9 Come è evidente, la funzione non è continua in, tuttavia la tesi continua a valere, mentre ciò non accade per la funzione, così definita La cui rappresentazione grafica è Si vede che in questo caso la tesi non vale.

10 Si possono fare considerazioni analoghe a quanto accade per la continuità, cioè, se cade l’ipotesi che f sia derivabile in ]a,b[, la tesi del Teorema di Rolle continua a valere solo in alcuni casi. Infatti, se si considera la funzione così definita x  f(x)= - x - 1 se –2 ≤ x ≤ -1 0 se -1 < x < 1 x - 1 se 1 ≤ x ≤ 2

11 rappresentata così La funzione f(x) è continua in [-2,2]; f(-2)=f( 2) = 1, ma non è derivabile in x = -1 e x = 1; tuttavia esistono infiniti punti x tra ]-1,1[ in cui f’(x) = 0.

12 Di nuovo si ritrova che la tesi continua a valere soltanto in alcuni casi. Infatti, se si considera definita da definita da la funzione è continua in, derivabile in, ma e la tesi del Teorema di Rolle non vale. Se invece si considera la funzione definita da, in tal caso, sebbene risulta che nel punto si ha che

13 Utilizzando il Teorema di Rolle, si può affermare che se l’equazione Utilizzando il Teorema di Rolle, si può affermare che se l’equazione x n + a n-1 x n-1 + … +a 1 x + a 0 = 0 ammette radici reali, allora, fra due di esse, l’equazione nx n-1 + (n-1)x n-2 + … + a 1 =0 ammette almeno una radice. Infatti, poiché f (x)= x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 1) è continua in R 2) è derivabile in R, 3) se x 1 e x 2 sono radici di f (x), allora f(x 1 ) = f(x 2 ) = 0 Per il Teorema di Rolle   almeno  ] x 1, x 2 [ tale che f ( ) = 0 cioè f ( ) = nx n-1 + (n-1)x n-2 + … + a 1 = 0.

14 Attraverso il Teorema di Rolle, si riesce a dire, ad esempio, che l’equazione 3x x – 12 = 0 ammette una sola radice reale. Infatti, il Teorema fondamentale dell’algebra ci assicura che l’equazione, essendo di grado dispari, ha almeno una radice reale. Se per assurdo esistessero due radici x 1, x 2 reali tali che f(x 1 ) = f(x 2 ) = 0, allora dovrebbe esistere un x 0 appartenente all’intervallo aperto ] x 1, x 2 [ tale che la derivata prima calcolata nel punto x 0 è uguale a zero, ma f’(x)= 15x non si annulla mai nel campo reale.

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