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LEZIONI DI MATEMATICA per una classe 1 liceo scientifico - Costruzione degli insiemi numerici attraverso la loro chiusura rispetto alle operazioni di Addizione e Sottrazione. Definizione delle proprietà: Commuttativa, Associativa e Distributiva. Definiz

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Presentazione sul tema: "LEZIONI DI MATEMATICA per una classe 1 liceo scientifico - Costruzione degli insiemi numerici attraverso la loro chiusura rispetto alle operazioni di Addizione e Sottrazione. Definizione delle proprietà: Commuttativa, Associativa e Distributiva. Definiz"— Transcript della presentazione:

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3 Numeri Naturali Numeri Interi senza segno / 52

4 Operazioni binarie L’ OPERAZIONE in un insieme è una legge che ad ogni coppia di elementi dell’insieme ne associa un altro operandi risultato Se il risultato appartiene allo stesso insieme degli operandi, si dice che l’ insieme è CHIUSO rispetto all’ operazione  a,b  A  c= a*b : c  A 3 / 52

5 Operazioni binarie Se il risultato appartiene allo stesso insieme degli operandi, si dice che l’ insieme è CHIUSO rispetto all’ operazione  a,b  A  c = a*b : c  A I numeri Naturali è un insieme chiuso rispetto all’ addizione ? SI ! perché sommando qualsiasi coppia di numeri naturali, si ottiene un numero naturale I numeri Naturali è un insieme chiuso rispetto alla moltiplicazione ? SI ! perché moltiplicando qualsiasi coppia di numeri naturali, si ottiene un numero naturale I numeri Naturali è un insieme chiuso rispetto alla sottrazione ? NO ! perché esistono coppie di numeri la cui differenza NON è un numero naturale: 3 – 5 = -2  N 4 / 52

6 5 / 52

7 Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è COMMUTATIVA se  a,b  A si ha a * b = b * a / 52

8 Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è COMMUTATIVA se  a,b  A si ha a * b = b * a 5 3 La moltiplicazione è Commutativa ? SI ! Perché  a,b  N : a  b = b  a La sottrazione è Commutativa ? NO ! Perché  a,b  N : a  b  b  a / 52

9 Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è COMMUTATIVA se  a,b  A si ha a * b = b * a L’ Unione tra Insiemi è Commutativa ? SI ! Perché A  B  B  A 0 1 b a c A 2 3 B A  B  { a, b, c, 0, 1, 2, 3 } 0 1 b a c A 2 3 B B  A  { a, b, c, 0, 1, 2, 3 } 8 / 52

10 Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è COMMUTATIVA se  a,b  A si ha a * b = b * a L’ Intersezione tra Insiemi è Commutativa ? SI ! Perché A  B  B  A A 0 2 B A  B  { 0, 2, 4 } B  A  { 0, 2, 4 } A B / 52

11 Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è COMMUTATIVA se  a,b  A si ha a * b = b * a La Differenza Insiemistica è Commutativa ? NO ! Perché A \ B  B \ A A 0 2 B A \ B  { 1, 3, 5 } B \ A  { 6, 8 } A B / 52

12 Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è COMMUTATIVA se  a,b  A si ha a * b = b * a Il Prodotto Cartesiano è Commutativo ? NO ! Perché A  B  B  A A  { , ,  } B  { ,  } A BA B B A    BABA A B     11 / 52

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14 Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è ASSOCIATIVA se  a,b,c  A si ha (a*b)*c = a*(b*c) / 52

15 5 3 La moltiplicazione è associativa ? SI ! Perché  a,b,c  N (a · b) · c = a · (b · c) Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è ASSOCIATIVA se  a,b,c  A si ha (a*b)*c = a*(b*c) / 52

16 5 3 La sottrazione è associativa ? NO ! Perché  a,b,c  N : (a - b) - c  a - (b - c) Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è ASSOCIATIVA se  a,b,c  A si ha (a*b)*c = a*(b*c) / 52

17 Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è ASSOCIATIVA se  a,b,c  A si ha (a*b)*c = a*(b*c) L’ Unione tra Insiemi è Associativa ? 1 3 B A C ( A  B )  { 0, 1, 2, 3, 4, 6 } ( A  B )  C  { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 9 } 1 3 B A C ( B  C )  { 0, 1, 2, 3, 9 } ( A  B )  C  { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 9 } SI ! Perché ( A  B )  C  A  (B  C) 16 / 52

18 Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è ASSOCIATIVA se  a,b,c  A si ha (a*b)*c = a*(b*c) L’ Intersezione tra Insiemi è Associativa ? 1 3 B 9 C ( A  B )  { 0, 2 } ( A  B )  C  { 0 } 1 3 B A C ( B  C )  { 0, 3 } A  ( B  C )  { 0 } SI ! Perché ( A  B )  C  A  (B  C) A / 52

19 Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è ASSOCIATIVA se  a,b,c  A si ha (a*b)*c = a*(b*c) La Differenza Insiemistica è Associativa ? 9 C ( A \ B )  { 4, 6 } ( A \ B ) \ C  { 4 } ( B \ C )  { 1, 2 } A \ ( B \ C )  { 0, 4, 6 } NO ! Perché ( A \ B ) \ C  A \ (B \ C) A B 1 3 B 9 C A / 52

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21 Operazioni – Proprietà DISTRIBUTIVA In un insieme A in cui siano definite due OPERAZIONI ( * e # ), vale la proprietà DISTRIBUTIVA di * rispetto # se  a,b,c  A si ha a * (b # c) = (a * b) # (a * c) Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’ addizione 20 / 52

22 Operazioni – Proprietà DISTRIBUTIVA In un insieme A in cui siano definite due OPERAZIONI ( * e # ), vale la proprietà DISTRIBUTIVA di * rispetto # se  a,b,c  A si ha a * (b # c) = (a * b) # (a * c) L’ addizione è distributiva rispetto alla moltiplicazione ? NO ! Perché  a,b,c  N : a (b + c)  (a b) + (a c) 21 / 52

23 Operazioni – Proprietà DISTRIBUTIVA In un insieme A in cui siano definite due OPERAZIONI ( * e # ), vale la proprietà DISTRIBUTIVA di * rispetto # se  a,b,c  A si ha a * (b # c) = (a * b) # (a * c) L’ intersezione è distributiva rispetto all’ unione ? SI ! Perché A  ( B  C )  (A  B)  ( A  C ) ( B  C )  { 0, 1, 2, 3, 6, 9 } A B A  (B  C )  { 0, 2, 6 } 9 C 9 C 1 3 B ( A  B )  { 0, 2 } ( A  C )  { 0, 6 } (A  B )  (A  C )  { 0, 2, 6 } A / 52

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25 Elemento NEUTRO Esiste un numero che sommato con un QUALSIASI numero NON ne modifica il valore ? + ? SI ! lo 0 Esiste un numero che moltiplicato con un QUALSIASI numero NON ne modifica il valore? ? SI ! l’ 1 Si dice che u è l’ Elemento NEUTRO dell’insieme A rispetto all’operazione *, in esso definita, se  a  A si ha u * a = a * u = a 24 / 52

26 Elemento NEUTRO Esiste l’ elemento neutro per la sottrazione ? Si dice che u è l’ Elemento NEUTRO dell’insieme A rispetto all’operazione *, in esso definita, se  a  A si ha u * a = a * u = a NO ! Perché la sottrazione non è commutativa 25 / 52

27 OPPOSTO L’ OPPOSTO di un numero è il numero stesso cambiato di segno Opposto di a = -a In N esiste l’ opposto ? NO ! Perché N è l’insieme degli interi senza segno ECCEZIONE Il numero 0 (che è opposto di se stesso) 26 / 52

28 Esiste un insieme in cui tutti i suoi elementi ammettono l’ opposto ? SI ! Dobbiamo considerare un insieme numerico in cui a ogni numero è associato il segno INSIEMI NUMERICI 27 / 52

29 Numeri Relativi Numeri Interi con il segno ± 0+1± 3± 4± 5± 6± 7 ±10± 111± 21± 37± 14± 58± 602 ± ± ± ± Z N 28 / 52

30 RECIPROCO Il RECIPROCO di un numero è 1 diviso il numero stesso Reciproco di a = 1/a In N o in Z esiste il reciproco ? NO ! Perché sia N che Z sono insiemi di numeri interi ECCEZIONE Il numero 1 e -1 (che sono reciproci di loro stessi) 29 / 52

31 Esiste un insieme in cui tutti i suoi elementi ammettono il reciproco ? SI ! Dobbiamo considerare un insieme numerico in cui i numeri possano ammettere cifre decimali. Quindi un insieme che contenga numeri decimali, periodici e periodici misti ossia un insieme che contenga frazioni INSIEMI NUMERICI 30 / 52

32 Numeri Razionali Numeri esprimibili in forma di frazioni Z N Q ± 0+1-1/3± 3/2± 4± 5/2 6/ ±10± 111/21± 37/14± 58/ / /7 ± 10/2357± 98/ / 52

33 Elemento INVERSO Esistono numeri che sommati a un numero danno come risultato l’ elemento neutro dell’addizione ? + ? numero SI ! L’ opposto Esistono numeri che moltiplicati con un numero danno come risultato l’ elemento neutro della moltiplicazione ? ? numero 1 1/5 5 1 SI ! Il reciproco Si dice che i  A è INVERSO di a  A rispetto all’ operazione *, se il risultato dell’operazione a * b è l’elemento neutro i * a = a * i = u 32 / 52

34 Elemento INVERSO Si dice che i  A è INVERSO di a  A rispetto all’ operazione *, se il risultato dell’operazione a * b è l’elemento neutro i * a = a * i = u i = inv * (a) Q  tutti + OPPOSTORECIPROCO Z  tutti N  0N  0 Q  tutti Z  -1 N  1N  1 33 / 52

35 Radice Quadrata  -25 =  perché non esiste un numero che moltiplicato per se stesso dia un numero negativo La Radice quadrata (  ) di un numero è quel valore che moltiplicato per se stesso dà il numero :  a = b  b  b = a  25 =  5 perché    5)  (  5) = 25  3 = …  3  N perché non è un numero intero  Z perché non è un numero intero  Q perché non è un numero esprimibile con una frazione  R numeri reali 34 / 52

36 Numeri Reali tutti i Numeri che fino ad ora hai utilizzato ± 0+1-1/3± 3/2 ±  4±  5/2 6/ ±  10 ± 111/21± 37/14 ±  58/5347  / /7 ± 10/2357± 98/ Z N Q R 35 / 52

37 Tabelle riassuntive - CHIUSURA ChiusuraNZQR +  - /       36 / 52

38 CommutativaNZQR +  - /     AssociativaNZQR +  - /     Tabelle riassuntive – PROPRIETA’ DistributivaNZQR +  a  ( b+c ) = a  b + a  c 37 / 52

39 El. NEUTRONZQR +  El. INVERSONZQR +  0  1 ±1  Tabelle riassuntive – ELEMENTO Neutro e Inverso 38 / 52

40 39 / 52

41 Potenza - Definizione L’operazione b e si legge: b elevato a e indica: l’operazione di elevazione a potenza il numero b è detto base il numero e è detto esponente il risultato dell’operazione è detto potenza L’operazione b e si calcola: moltiplicando b e volte per se stesso b e = b  b ...  b e volte 4 5 = 4  4  4  4  4 = volte 40 / 52

42 Prodotto di Potenze con la STESSA BASE Prodotto di due potenze con BASE UGUALE b n  b m = ( b  b ...  b )  ( b  b ...  b ) = n volte m volte = b  b  b ...  b n + m volte = b n + m 4 3  4 5 = = 4 8 = b n  b m = b n + m 41 / 52

43 Potenze con ESPONENTE 1 La regola può anche essere utilizzata al contrario : 4 8 = = 4 2  4 6 b n  b m = b n + m Possiamo scrivere : 64 = 4 3 = = 4 2  4 1 = 4 2  4 1 = 16  4 1  4 1 = 64 / 16 = 4 b 1 = b 42 / 52

44 Potenze con ESPONENTE 0 La regola può anche essere utilizzata al contrario : 4 8 = = 4 2  4 6 b n  b m = b n + m Possiamo scrivere : 64 = 4 3 = = 4 3  4 0 = 4 3  4 0 = 64  4 0  4 0 = 64 / 64 = 1 b 0 = 1 43 / 52

45 Potenze un Caso TERRRRIFICANNNNTE Sappiamo che : INDETERMINATA 0 n = 0 b 0 = = 0 1 ? 44 / 52

46 Potenze Risolvere le seguenti operazioni applicando le proprietà viste 34 =34 = 3  3  3  3 = = 1 / 3 2 = 1 / 9 26 =26 = 2  2  2  2  2  2 = = 1 / 5 3 = 1 / = 0 00 =00 = Indeterminata  NON HA RISULTATO 21 1 =  24 =23  24 = 2 7 = 2  2  2  2  2  2  2 = =  1/3 4 = 3 7  3 -4 = 3 3 = 3  3  3 =  3 -2 = = 3 0 =  2 4  1/2 6  5 2 = = 2 5  5 2 = 32  25 = / 52

47 Elevazione a Potenza di una a Potenza Potenza di Potenza ( b n ) m = b n  b n ...  b n = m volte = b ...  b ...  b ...  b ...  b ... n volte n volte n volte n volte n volte m volte = b  b ...  b n  m volte = b n  m ( 2 3 ) 4 = 2 3  4 = 2 12 = 4096 ( b n ) m = b n  m 46 / 52

48 Potenze Risolvere le seguenti operazioni applicando le proprietà viste ( 3 2 ) 3 = 3 2  3 = 3 6 = 729 ( 2 2 ) 4 = 2 2  4 = 2 8 = 256 ( 1/3 2 ) 3 = 1/(3) 2  3 = 1/(3) 6 = 1/729 ( (3/2) 2 ) 4 = (3/2) 2  4 = (3/2) 8 = 3 8 /2 8 = 6561 / 256 ( 4 ) 5 = ( 2 2 ) 5 = 2 10 = 1024 ( (3/2) 2 ) -4 = (3/2) 2  (-4) = (3/2) -8 = (2/3) 8 = 256 / / 52

49 Prodotto di Potenze con lo STESSO ESPONENTE Prodotto di due potenze con ESPONENTE UGUALE a n  b n = a  a ...  a  b  b ...  b = n volte n volte = a b  a b  a b ...  a b n volte = ( a  b ) n 3 4  2 4 = ( 3  2 ) 4 = 6 4 = 1296 a n  b n = ( a  b ) n 48 / 52

50 Potenze Risolvere le seguenti operazioni applicando le proprietà viste 3 2  4 2 = (3  4) 2 = 12 2 = 144 ( 4 3  (1/2) 3 ) = (4/2) 3 = 2 3 =  5 -2 = (3  5) -2 = = 1/  (1/2) -2 = 4 2  2 2 = 8 2 = : 8 2 = 4 2  (1/8) 2 = (4/8) 2 = (1/2) 2 = 1/4 3 2  5 2 = (3  5) 2 = 15 2 = / 52

51 Potenze Risolvere le seguenti operazioni dopo averle inserite nella giusta categoria b n  b m = b n + m a n  b n = ( a  b ) n 3 2  5 2 = ( 3  5 ) 2 = 15 2 =  2 5 = = 2 8 =  3 7 = ( 2  3 ) 7 = 6 7 =  2 6 = ( 2  2 ) 6 = 4 6 =  2 6 = = 2 12 = 4096 = = 3 5 =    3 4 = 64  81 = / 52

52 Potenze di 0 51 / 52

53 Divertiti ? 52 / 52


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