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Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni +2 CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie.

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Presentazione sul tema: "Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni +2 CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie."— Transcript della presentazione:

1 Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni +2 CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie Prof. Ing. S. Pascuzzi Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio e del Paesaggio Agro-Forestale Corso di Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni +2 CFU Esercitazioni)

2 Materiale di studio Appunti dalle lezioni BIGATTI Anna Maria – ROBBIANO Lorenzo MATEMATICA DI BASE Casa Editrice Ambrosiana ZWIRNER Giuseppe ISTITUZIONI DI MATEMATICHE Parte prima CEDAM Editrice

3 Elementi di geometria analitica

4 4 Coordinate nella retta Rette e segmenti orientati. Loro misura La retta è una linea aperta dotata di due versi, uno opposto all’altro orientata positivonegativo Una retta si dice orientata quando sia fissato su di essa un verso che si chiamerà positivo; l’opposto sarà detto verso negativo coppia orientata Due punti del piano A e B formano una coppia orientata quando sono considerati in un certo ordine

5 5 Coordinate nella retta Rette e segmenti orientati. Loro misura origineestremo opposti Il punto A si chiama origine ed il punto B estremo del segmento. I due segmenti AB e BA si dicono opposti. segmento orientato Se (A, B) è una coppia orientata di punti, il segmento di estremi A e B dicesi segmento orientato e si indica con AB. AB r

6 6 Coordinate nella retta Rette e segmenti orientati. Loro misura Chiameremo misura del segmento orientato AB rispetto all’unità di misura u, il numero reale che rappresenta il rapporto tra il segmento AB e quello unitario u, al quale numero si attribuisce il segno positivo o negativo a seconda che il verso del segmento orientato AB coincide od è opposto al verso positivo fissato su r. AB r u

7 7 Coordinate nella retta Rette e segmenti orientati. Loro misura La misura di un segmento orientato è un numero relativo, cioè un numero positivo o negativo a seconda che il verso positivo del segmento considerato coincide od è opposto al verso positivo fissato sulla retta r dove giace il segmento. Le misure dei segmenti AB e BA sono numeri opposti; cioè: AB+BA=0 AB r u

8 8 Coordinate nella retta Ascisse sulla retta Una retta orientata r viene suddivisa da un punto O arbitrario (punto di origine) in due semirette, una positiva (contiene i punti successivi ad O nel verso positivo) l’altra negativa O r P Preso sulla retta r un punto qualsiasi P e fissata una unità di misura, sia x la misura del segmento orientato OP. Il numero x così determinato chiamasi ascissa del punto e si scrive P(x).

9 9 Coordinate nella retta Ascisse sulla retta L’ascissa del punto P è un numero reale, positivo, negativo o nullo. Viene stabilita una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta orientata r e l’insieme dei numeri reali. Un sistema di ascisse sulla retta r è determinato quando è fissato il punto di origine, il verso positivo sulla retta r e l’unità di misura r u

10 10 Coordinate nella retta Distanza orientata di due punti di una data retta. Dati due punti P 1 e P 2 mediante le loro ascisse x 1 e x 2, trovare la misura del segmento orientato P 1 P 2 O r P1P1 P2P2 si ha:P 1 P 2 =x 2 -x 1 La misura del segmento orientato P 1 P 2 è uguale alla differenza tra l’ascissa di P 2 e quella di P 1

11 11 Misura degli angoli Unità pratica di misura degli angoli: grado (novantesima parte dell’angolo retto) minuto primo (sessantesima parte del grado) minuto secondo (sessantesima parte del minuto primo) R  ’’ O R’  :  ’ = R : R’  R  ’  R’ Se Unità teorica di misura degli angoli Su due circonferenze concentriche di raggi R e R’ si considerano due archi che sottendono lo stesso angolo al centro

12 12 Misura degli angoli in radianti Unità teorica di misura degli angoli: radiante (angolo al centro di una circonferenza di raggio arbitrario che sottende un arco di lunghezza uguale al suo raggio) 360° 22 180°  90°  45°  360° : 2  = y° : x Le misure di un arco e dell’angolo al centro ad esso sotteso, quando si prenda come unità di misura per gli archi il raggio e per gli angoli il radiante, sono espresse dallo stesso numero

13 13 Fasci orientati di rette Fascio proprio di rette di un piano: insieme di tutte le rette di un piano passanti per un punto fisso (centro del fascio) S S Una retta del fascio può ruotare intorno ad S in due sensi o versi fra loro opposti, uno positivo e l’altro negativo Un fascio si dice orientato quando si assume un verso come positivo (verso antiorario) Un fascio con verso positivo e con verso positivo di ciascuna sua retta si definisce fascio orientato di rette orientate

14 14 Misura degli angoli orientati Chiameremo angolo delle due rette orientate a e b, l’angolo convesso individuato dalle semirette positive a e b L’angolo ab è positivo, quando la semiretta positiva a deve ruotare nel verso positivo per descrivere l’angolo convesso ab Siano a e b due rette orientate, distinte e appartenenti al fascio orientato di centro S S b a S a b La misura di un angolo orientato ab è positiva o negativa a seconda che l’angolo ab sia positivo o negativo Le misure degli angoli orientati ab e ba sono due numeri opposti: ab = -baossiaab + ba = 0

15 15 Coordinate cartesiane nel piano O – origine x – asse delle x (delle ascisse) y – asse delle y (delle ordinate) Fissiamo sul piano due rette orientate non parallele. O y x P A B u OA = a OB = b Coordinate cartesiane del punto P (ascissa, ordinata) Viene stabilita una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali O y x I II IVIII

16 16 Coordinate cartesiane nel piano Considereremo sempre assi cartesiani ortogonali O y x III IVIII P P(a,b) O y x O y x O y x O y x P P' y -y x yy x-x PP' y -y x -x

17 17 Distanza di due punti Consideriamo due punti P 1 e P 2 in un sistema di assi cartesiani ortogonali OA 1 =x 1 ;OA 2 =x 2 ; OB 1 =y 1 ;OB 2 =y 2 P 2 (x 2,y 2 ) O y x P 1 (x 1,y 1 ) A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 Q P 1 Q = A 1 A 2 = x 2 - x 1 QP 2 = B 1 B 2 = y 2 -y 1 Teorema di Pitagora triangolo rettangolo P 1 QP 2 : d 2 = P 1 P 2 2 = P 1 Q 2 + QP 2 2 e quindi:d 2 = (x 2 -x 1 ) 2 + (y 2 -y 1 ) 2 da cui segue la formula:

18 18 Distanza di due punti Distanza di un punto P(x,y) dall’origine: P(x,y) O y x Esempio. - La distanza dei due punti P 1 (3,5), P 2 (7,4) è:

19 19 Coordinate del punto di mezzo di un segmento Per il teorema di Talete si ha: P 2 (x 2,y 2 ) O y x P 1 (x 1,y 1 ) A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 A 1 A = x- x 1 AA 2 = x 2 -x B 1 B = y-y 1 BB 2 = y 2 -y si ha: P (x,y) A B A 1 A P 1 PB 1 B P 1 P AA 2 PP 2 BB 2 PP 2 ed essendo: P 1 P PP 2 = 1 da cui: Le coordinate del punto medio di un segmento sono eguali alla media aritmetica delle coordinate omonime degli estremi ==

20 20 Coordinate del punto di mezzo di un segmento Si ha: Esempio. – Determinare le coordinate del punto medio del segmento che ha per estremi i punti: P 1 (-5,-3), P 2 (7,-9)


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