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Parabola Dato un punto F del piano F d ed una retta d

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Presentazione sul tema: "Parabola Dato un punto F del piano F d ed una retta d"— Transcript della presentazione:

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2 Parabola Dato un punto F del piano F d ed una retta d
si dice parabola l’insieme dei punti del piano equidistanti dal punto F e dalla retta d

3 Ogni punto è determinato dall’eguaglianza fra le distanze punto-retta punto-fuoco
fuoco F direttrice Per ogni punto il valore delle distanze(=raggio) è diversa, tranne che . . . fuoco F direttrice

4 L’insieme dei punti (parabola)
ha un punto particolare detto vertice è simmetrico rispetto alla linea asse di simmetria Asse di simmetria F fuoco V vertice

5 Rappresentazione della parabola nel piano cartesiano
4 2 6 8 10 F V Se nel piano inseriamo un sistema di assi cartesiani si ha la rappresentazione a fianco della parabola. Il fuoco F e il vertice V sono punti,ognuno con le sue coordinate, l’asse di simmetria è una retta parallela all’asse y.

6 Animazione : clicca sull’immagine
Variando fuoco e direttrice si possono ottenere parabole diverse per posizione . . . Animazione : clicca sull’immagine

7 Animazione : clicca sull’immagine
e per ampiezza Animazione : clicca sull’immagine

8 I punti di una parabola soddisfano tutti la proprietà eguaglianza delle distanze. Possiamo determinarne l’equazione. 5 10 4 2 6 8 F P

9 Equazione generica della parabola
a,b,c  R Asse di simmetria parallelo asse y a,b,c  R Asse di simmetria parallelo asse x Ci occuperemo qui delle parabole con asse di simmetria parallelo all’asse y Per approfondimenti vedere scheda

10 Variazione dei grafici al variare dei coefficienti
a,b,c  R Vediamo come si presenta il grafico della parabola al variare dei valori a,b,c Con il pacchetto grafico che avete a disposizione disegnate nel piano cartesiano le parabole : Esercizio 1 Esercizio 2

11 Concavità a>0 a<0 Si ottengono i grafici Esercizio 1 Esercizio 2
10 5 Esercizio 2 Concavità a> a<0

12 Vertice Esercizio 3 Al variare di a e b varia la posizione dell’ascissa del vertice, che ha infatti coordinate : Esercizio 4 Per approfondimenti vedere scheda

13 Esercizio 5 Al variare di c varia la posizione del vertice per quanto riguarda l’ordinata : il grafico della parabola risulta traslato

14 Intersezioni con gli assi
Esercizio 6

15 Quali sono i punti in cui la parabola taglia gli assi cartesiani ?
Per determinare il punto d’intersezione con l’asse y si risolve il sistema x = 0 P(0,c) Per determinare i punti d’intersezione con l’asse x si risolve il sistema Y = 0 Si ottiene un’equazione di 2° grado in x le cui soluzioni rappresentano le ascisse dei punti d’intersezione

16 La parabola ha due punti d’intersezione con l’asse x
Se b2-4ac> 0 La parabola ha un punto d’intersezione con l’asse x Se b2-4ac= 0 La parabola non ha punti d’intersezione con l’asse x Se b2-4ac< 0

17 Inoltre y=ax2+bx La parabola passa per l’origine y=ax2+c
Se c=0 y=ax2+bx La parabola passa per l’origine Se b=0 y=ax2+c La parabola ha il vertice sull’asse y Se b=0 e c=0 y=ax2 La parabola ha il vertice nell’origine

18 equazione asse di simmetria
Formule y=ax2+bx+c vertice 4 2 6 8 10 F V fuoco direttrice equazione asse di simmetria Per approfondimenti vedere scheda

19 Come si rappresenta la parabola di equazione y=ax2+bx+c nel piano cartesiano
Determinare le coordinate del vertice V 4 2 Determinare l’equazione dell’ asse di simmetria Determinare le coordinate degli eventuali punti d’intersezione con gli assi Determinare le coordinate di qualche altro punto, anche tenendo presente la simmetria V Rappresentare punti e asse nel piano : essi caratterizzano il grafico

20 Parabola : applicazioni e meccanismi
Moto di un proiettile Fontane Fuochi artificiali Ponti sospesi Proprietà focali della parabola Specchi ustori Antenna parabolica Fari dei porti Fari auto, flash, proiettori

21 Moto di un proiettile Il moto di un proiettile è il moto di un peso che viene lanciato in aria obliquamente. Il lancio di una palla da baseball, da golf o lo sparo di una pallottola sono esempi di questo moto. Galileo( ) fu il primo a studiare scientificamente tale moto e nei Discorsi e Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze dimostrò che la traiettoria di un proiettile è una parabola. Consideriamo il proiettile soggetto alla sola forza di gravità, supponendo nulla l'influenza dei vari agenti atmosferici, in particolare le forze di attrito dell'aria e  quelle del vento.

22 Animazione : clicca sull’immagine
Rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani il moto, supponendo che l’origine sia il punto nel quale il proiettile inizia a muoversi obliquamente con velocità v0 Facendo un po' di conti si scopre che la funzione del moto ha la forma: y =ax2 +bx: la TRAIETTORIA è una parabola passante per l'origine e con concavità rivolta verso il basso. v0 Animazione : clicca sull’immagine Per approfondimenti vedere scheda

23 Scheda 4 moto di un proiettile
Il moto di un proiettile è il moto di un peso che viene lanciato in aria obliquamente. Il lancio di una palla da baseball, da golf o lo sparo di una pallottola sono esempi di questo moto. Galileo( ) fu il primo a studiare scientificamente tale moto e nei Discorsi e Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze dimostrò che la traiettoria di un proiettile è una parabola. Consideriamo il proiettile soggetto alla sola forza di gravità, supponendo nulla l'influenza dei vari agenti atmosferici, in particolare le forze di attrito dell'aria e  quelle del vento. Rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani il moto, supponendo che l’origine sia il punto nel quale il proiettile inizia a muoversi con velocità v0 e con un angolo di inclinazione θ v0 g : accelerazione di gravità v0 : velocità iniziale, θ : angolo formato col terreno (alzo)

24 Le coordinate del punto P (x,y) che individua la posizione del proiettile al passare del tempo t sono x = v0x t y = v0y t - 1/2 g t2 v0x: componente orizzontale della velocità iniziale v0 v0y: componente verticale della velocità iniziale v0 L'accelerazione è quella gravitazionale ed essendo diretta verso la terra è negativa, quindi va sottratta v0y v0 v0x g L’equazione della traiettoria si ottiene eliminando il tempo t. Si ha così : y = v0y / v0x x - 1/2 g x2/ v0x2 che ha la forma: y =ax-bx2, ed è l'equazione di una parabola passante per l'origine e con concavità rivolta verso il basso; e questo prova che la TRAIETTORIA di un proiettile è una parabola. Nel caso in cui un proiettile venga lanciato da un'altezza h, y ha anche un termine noto, che significa che parabola descritta non passa per (0, 0).

25 Per ottenere la traiettoria in funzione dell’alzo θ : essendo
v0x = v0 cos θ v0y = v0 sin θ si ottiene x = (v0 cos θ) t y = (v0 sin θ) t - 1/2 g t2 La funzione che si ottiene eliminando t è y = (tang θ) x -[ g/2 v0 2cos2 θ ] x2 θ Gittata ymax Per ottenere l’altezza massima del proiettile corrispondente ad un certo valore di v0 e di θ si può determinare il vertice della parabola. Perciò si avrà : ymax= v0 2sin2 θ /g Per ottenere la gittata intersecando con l'asse delle x si ha : Gittata = v02 sin 2θ /g 30° 15° 45° 60° 75° Variamo la funzione per l'alzo a che varia da 0° a 90°. Si può osservare che la gittata massima si ottiene per 45° e che le gittate sono uguali per angoli che differiscono ugualmente da 45°,cioè per angoli complementari.

26 Antenna parabolica I grandi radiotelescopi e le antenne paraboliche con le quali si ricevono le trasmissioni televisive dai satelliti agiscono secondo lo stesso principio: i segnali, praticamente paralleli data la grande distanza da cui provengono, rimbalzano sull'antenna e vengono concentrati sul ricevitore posto nel suo fuoco, aumentando così considerevolmente la potenza in ingresso. In altre parole, l'antenna parabolica funge da amplificatore, o meglio da condensatore dei segnali, altrimenti piuttosto deboli, provenienti dai satelliti.

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29 Fari dei porti LANTERNA di Genova
Lo stesso  principio viene utilizzato in modo opposto nei fari dei porti, nelle calotte dei fari per auto e moto e nei proiettori in genere: una luce posta nel fuoco viene irradiata parallelamente all'asse del fuoco. Un raggio proveniente dal fuoco viene riflesso dalla parabola in una direzione parallela all'asse. fuoco F LANTERNA di Genova

30 Colosso di Rodi Colosso di Rodi
Probabilmente il primo faro ad utilizzare le proprietà focali della parabola fu proprio il faro di Rodi, considerato all'epoca una delle sette meraviglie del mondo. Alto 85 metri poteva esser visto a circa 50 km di distanza. Esso fu costruito ad Alessandria  (Rodi era una isoletta davanti al porto cittadino) nel 280 a. C. cioè nell'epoca e nei luoghi in cui lo studio delle coniche da parte dei Greci era in pieno sviluppo. Colosso di Rodi

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32 Fari auto, flash, proiettori
La luce emessa dalla lampadina posta nel fuoco della superficie riflettente parabolica dirige i raggi uscenti in direzione parallela all’asse, creando un fascio di luce meno disperso, di più alta luminosità direzionata. Tale principio viene sfruttato in generale nella costruzione di proiettori Moto d’epoca Guzzi Sport14 Ingrandimento della calotta del faro

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34 Fontane Apparato per mostrare la traiettoria parabolica dei liquidi (Istituto e Museo di Storia della Scienza, Firenze, ITALIA). Gli strumenti esposti in questa sala furono costruiti nell'officina del Museo di Fisica dal 1775, sotto la direzione di Felice Fontana ( ).

35 La Barcaccia - Roma Euroflora Genova Fontana di produzione

36 Fontana di produzione

37 Proprietà focali della parabola
Il fuoco della parabola ha interessanti proprietà relative alla riflessione e convergenza dei raggi luminosi. fuoco F Un raggio proveniente  secondo una direzione parallela all'asse della parabola quando incontra la superficie parabolica viene riflesso nel fuoco.

38 Questa proprietà giustifica tra l'altro il nome stesso di fuoco.
Se dunque vogliamo concentrare in un punto dei raggi paralleli (o praticamente paralleli, come ad esempio quelli del sole) si dovrà usare una superficie riflettente a forma di parabola (paraboloide). Se la parabola è orientata verso il sole allora cattura i raggi solari, cioè tutti i raggi riflessi convergono nel fuoco F. Così facendo si può costruire uno specchio ustorio, capace di incendiare un pezzo di carta o di legno posto nel suo fuoco. Questa proprietà giustifica tra l'altro il nome stesso di fuoco. paraboloide superficie ottenuta dalla rotazione di una parabola attorno al suo asse Animazione : clicca sull’immagine


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