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Corso di logica matematica Prima lezione Introduzione: Antinomie logiche e semantiche. Antinomia di Russel. A è l’insieme di tutti gli insiemi X che.

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2 Corso di logica matematica Prima lezione

3 Introduzione: Antinomie logiche e semantiche. Antinomia di Russel. A è l’insieme di tutti gli insiemi X che non hanno se stessi come elemento.

4 Antinomia semantica Un uomo dice “ IO STO MENTENDO”. Se egli mente dice la verità; se dice il vero, mente.

5 La frase scritta sulla diapositiva successiva è falsa

6 La frase scritta sulla diapositiva precedente è vera

7 Uno dei compiti della logica matematica è quello di determinare il corretto uso dei simboli e delle loro combinazioni per accertare che cosa si può dimostrare usando assiomi e regole di inferenza.

8 Il calcolo proposizionale: connettivi proposizionali e Tavole di verità Consideriamo solo combinazioni vero-funzionali, nelle quali la verità o la falsità della nuova proposizione è determinata dalla verità o falsità delle proposizioni che concorrono a formarla.

9 Negazione A  A V F F V

10 Congiunzione A B A  B V V V V F F F V F F F F

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14 Forme enunciative. 1) Tutte le lettere enunciative, eventualmente con indice numerico, sono forme enunciative (A, B, C, A 1, B 2...); 2) SE  e  sono forme enunciative, allora lo sono anche (  ), (  ), (  ), (  ) e (  ). Sono forme enunciative solo quelle espressioni determinate per mezzo della 1) e della 2).

15 Ciascuna forma enunciativa determina una funzione di verità che può essere rappresentata graficamente da una tavola di verità per la forma enunciativa.

16 A BC (  A)((  A)  B) (((  A)  B)  C) V VV F V V F VV V V V V FV F F V F FV V V V V VF F V F F VF V V F V FF F F V F FF V V F

17 Tautologie Una forma enunciativa è una tautologia se e solo se la sua funzione di verità ha solo il valore V.

18 Se  è una tautologia, si dice che  implica logicamente  oppure che  è una conseguenza logica di . Se  è una tautologia, si dice che  e  sono logicamente equivalenti. Le tavole di verità costituiscono una procedura effettiva che ci permette di determinare se una forma enunciativa è una tautologia. Una forma enunciativa è una contraddizione se la sua funzione di verità ha solo il valore F.

19 Proposizione 1.1 Se  e (  ) sono tautologie, allora anche  è una tautologia.

20 Proposizione 1.2 Se  è una tautologia contenente come lettere enunciative A 1, A 2,...,A n, e  si ottiene da  per sostituzione di A 1, A 2,...,A n con, rispettivamente, forme enunciative  1,  2,...,  n, allora  è una tautologia

21 Proposizione 1.3 Se  1 deriva da  1 per sostituzione di  a una o più occorrenze di , allora ((  )  (  1  1)) è una tautologia. Quindi, se  e  sono logicamente equivalenti, lo sono anche  1 e  1.

22 Proposizione 1.4 Ogni funzione di verità è generata da una forma enunciativa in cui occorrono i connettivi , , .

23 x 1 x 2 x 3 F(x 1,x 2,x 3 ) V VV V  A  B  C F VV F V FV V  A  B  C F FV V   A  B  C V VF F F VF F V FF F F FF V   A  B  C (A  B  C)  (A  B  C)  (  A  B  C)  (  A  B  C).

24 Forma normale disgiuntiva Una forma enunciativa scritta come disgiunzioni di congiunzioni di lettere enunciative o delle loro negazioni è in forma normale disgiuntiva. Da quanto si è visto, ogni forma enunciativa può essere scritta in forma normale disgiuntiva


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