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Stefano Hajek Università di Perugia. Contesto: ISVAP 577 Parte IV art. 16.1: “Per ciascuna delle fonti di rischio identificate dall’impresa come maggiormente.

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1 Stefano Hajek Università di Perugia

2 Contesto: ISVAP 577 Parte IV art. 16.1: “Per ciascuna delle fonti di rischio identificate dall’impresa come maggiormente significative sulla base dei processi di cui all’art. 15, l’impresa stessa è tenuta ad effettuare analisi prospettiche quantitative attraverso l’uso di stress test, per valutare l’impatto sulla sua situazione finanziaria di andamenti sfavorevoli dei fattori di rischio, singolarmente considerati o combinati in un unico scenario.”

3 Scenario Analysis WORKFLOW

4 Scenario Analysis OUTPUT

5 TOOLS Interest rates Volatility Hedging Distribution Fitting Stima della volatilità Interest rates modeling Distribution (frequency & severity) fitting Fund rebalancing (Dynamic ALM)

6 INTEREST RATES “2.17 The observed data showed that in general higher interest rates were associated with higher absolute changes in interest rates. The log-normal model exhibits this property and the calibration of the lognormal model appeared more robust than the normal model The log-normal model treats proportionate changes in interest rates as a log-normal process, so it has been assumed that the distribution of the n-year spot rate in 12 months is given by: R12(n) = R0(n)× e X, where x is distributed N(m n, s n 2 )” – CEIOPS, QIS3 calibration paper, April 2007

7 INTEREST RATES IN - Vettore Term Structure - Vettore Maturities - Vettore volatilità stimate OUT - Matrice Forward Rates

8 INTEREST RATES Processo lognormale per i tassi d’interesse con drift log r(t,T) e varianza (ampiezza della perturbazione stocastica nell’intorno di log r(t, T) )  Drift determinato secondo il principio di non arbitraggio Interpolazione lineare delle rilevazioni storiche mancanti

9 INTEREST RATES (HJM) Processo per i tassi d’interesse Applicando il lemma di Ito Imponendo la condizione di non arbitraggio Passando alla rappresentazione in tempo discreto Sostituendo d ln[p(t,T)]

10 VOLATILITY IN Vettore tassi di variazione storici OUT - Vettore volatilità attese - Parametri modello - Statistiche accessorie Variance Equation C ARCH(1) GARCH(1) S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat1.8413

11 VOLATILITY (GARCH) Il modello GARCH è sensibile alle più recenti dinamiche del tasso di variazione della serie storica su cui viene calibrato in quanto, ad ogni istante, incorpora un fattore correttivo della stima effettuata all’istante precedente: in pratica se il modello, ad esempio, tendesse mediamente a sovrastimare il dato, il termine correttivo risulterebbe pesato in modo tale da compensare tale sovrastima Si dimostra semplicemente che tale formulazione equivale all’assunzione di una media mobile i cui termini sono pesati in misura esponenzialmente decrescente man mano che ci si allontana dal valore più recente: Aggiungendo il termine di volatilità per il medio periodo: La stima dei parametri è basata sul metodo iterativo di Newton

12 IN - Vettore frequenze osservate OUT - Scalare parametri distribuzione - Scalare test Kolmogorov- Smirnov - Vettore Hill Plotting Distribution Fitting (EVT)

13 Le distribuzioni di probabilità di impatto e frequenza vengono ricondotte alle loro presunte forme archetipe, e per ciascuna forma vengono stimati i parametri per i quali la distribuzione meglio approssima i dati osservati. Si suppoga ad esempio di dover stimare i parametri di una Pareto Generalizzata con funzione di densità Per k≠0

14 Distribution Fitting (EVT) Consideriamo i momenti teorici della distribuzione: Integriamo per sostituzione Risolvendo rispetto ad  e k:

15 Black & Scholes HEDGING Offrire un minimo garantito ad un cliente equivale a vendergli una floor option e comporta per la compagnia la necessità di effettuare una copertura mediante la creazione di un portafoglio di replica; il valore di tale portafoglio è fornito dalle formule di Black & Scholes assieme alle quote di immunizzazione (da investire cioè in attività non rischiose)

16 IN - Scalare time horizon - Scalare minimo garantito - Scalare valore sottostante - Scalare interest rates - Scalare volatilità attesa - Scalare timestep OUT - Scalare investment weight Black & Scholes HEDGING

17 Si consideri il prezzo di un’opzione secondo il modello Black & Scholes Tale valore corrisponde a quello di un portafoglio con azioni per un valore di ed obbligazioni per un valore di Si calcoli il valore di un portafoglio costituito da un’opzione put ed un titolo sottostante


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