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Calcolo combinatorio e probabilità. La probabilità Tratta degli eventi (fatti, fenomeni) che non si verificano con certezza e che sono detti aleatori.

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Presentazione sul tema: "Calcolo combinatorio e probabilità. La probabilità Tratta degli eventi (fatti, fenomeni) che non si verificano con certezza e che sono detti aleatori."— Transcript della presentazione:

1 Calcolo combinatorio e probabilità

2 La probabilità Tratta degli eventi (fatti, fenomeni) che non si verificano con certezza e che sono detti aleatori o casuali. Gli eventi aleatori sono eventi incerti e possibili, sono espressi da una proposizione che risulterà vera se l’evento si verifica e falsa altrimenti. Ci sono anche eventi impossibili, cioè che non si verificano mai.

3 La probabilità Lo spazio degli eventi o Universo è costituito da tutti i possibili risultati di un certo esperimento (reale o concettuale) e può essere rappresentato mediante diagrammi di Eulero-Venn. Un evento è un elemento dello spazio degli eventi. L’evento certo è l’intero Universo. L’evento impossibile è l’insieme vuoto.

4 La probabilità Si definisce evento contrario o complementare dell’evento A, l’evento che si verifica se e solo se non si verifica A. Si definisce somma logica o unione di due eventi A e B, l’evento che si verifica quando si verifica almeno uno degli eventi A o B. Si definisce prodotto logico o intersezione di due eventi A e B, l’evento che si verifica quando si verificano entrambe gli eventi A e B.

5 La probabilità

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7 Inoltre si ha: La somma logica di due eventi incompatibili A e B (che non possono verificarsi insieme) ha probabilità p(A)+p(B). Il prodotto logico di due eventi A e B ha probabilità p(A)∙p(B). L’evento complementare ha probabilità 1-p(A)

8 La probabilità Problemi Lanciando un dado non truccato qual è la probabilità che esca 5? Qual è la probabilità che lanciando un dado non truccato esca un numero maggiore di 2? Qual è la probabilità di scegliere il 5 di quadri da un mazzo di carte non truccato di 52 carte? Qual è la probabilità di scegliere il 3 di cuori o una figura di picche da un mazzo di carte non truccato di 52 carte?

9 La probabilità Problemi Si consideri un test a risposta chiusa composto da 10 domande con 4 risposte di cui 3 errate e 1 corretta. Qual è la probabilità di rispondere correttamente a tutti i quesiti mettendo a caso le risposte? Un sacchetto contiene 4 palline bianche e 2 nere. Un secondo sacchetto ne contiene 3 bianche e 5 nere. Se viene estratta una pallina da ciascun sacchetto, qual è la probabilità che siano entrambe bianche? Una moneta non truccata è stata lanciata per 3 volte e ha sempre mostrato croce. Qual è la probabilità che lanciandola ancora esca ancora croce? Qual è la probabilità che in 10 lanci di una moneta non truccata non esca mai testa?

10 Il calcolo combinatorio Ha come oggetto lo studio dei modi in cui si possono associare, secondo regole stabilite, gli elementi di due o più insiemi o di uno stesso insieme. Risolve il problema di conoscere in quanti modi può presentarsi un fenomeno. Per esempio il calcolo dei casi possibili.

11 Il calcolo combinatorio Permutazioni In quanti modi diversi posso disporre k oggetti distinti? k(k-1)(k-2) … 1 = k! Esempio: Quante sigle diverse di 3 lettere posso formare con le lettere R, G e B?

12 Il calcolo combinatorio

13 Gruppi con ordine diverso degli elementi sono da intendersi diversi.

14 Il calcolo combinatorio Gruppi con ordine diverso degli elementi sono da intendersi diversi.

15 Il calcolo combinatorio Gruppi con ordine diverso degli elementi sono da considerarsi uguali

16 Il calcolo combinatorio Gruppi con ordine diverso degli elementi sono da intendersi uguali.

17 Il calcolo combinatorio Problemi In quanti modi diversi si possono collocare 10 libri diversi in una libreria? Quanti sono gli anagrammi della parola ORO? Quanti sono gli anagrammi della parola ORRORE? In quanti modi posso disporre 13 palline, sapendo che ce ne sono 3 gialle, 5 rosse e 4 bianche? Dati 5 frutti diversi, in quanti modi posso preparare una macedonia con 2 di essi? In quanti modi si possono scegliere i 3 rappresentanti in una classe di 12 alunni?

18 Il calcolo combinatorio Problemi Quante quaterne si possono formare estraendo i 90 numeri del lotto? In quanti modi posso scegliere 3 delle 7 note musicali, tenendo conto che posso ripetere la stessa nota 3 volte? In quanti modi posso sistemare 15 pennarelli in 6 astucci? In quanti modi 3 persone possono occupare 6 posti? In quanti modi 3 persone possono iscriversi avendo a disposizione 5 palestre diverse.

19 La probabilità Problemi Qual è la probabilità che lanciando 10 volte un dado non truccato esca 5 volte il numero 3? Lanciando due dadi non truccati qual è la probabilità che la somma dei punteggi sia 4?


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