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© De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Metodo circuitale: componenti e leggi di Kirchhoff.

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1 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Metodo circuitale: componenti e leggi di Kirchhoff Capitolo 1

2 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Modello a parametri concentrati Modello Matematico un modello matematico di un fenomeno fisico può avere diversi gradi di accuratezza e di complessità spesso in problema ingegneristico reale le variabili fisiche sono distribuite nello spazio e nel tempo un modello che tenga conto di queste variazioni è accurato ma può essere molto difficile da risolvere un modello semplificato può trascurare parte di queste variazioni ed essere più facile da gestire con un ragionevole sforzo

3 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Modello a parametri concentrati Sistema Matematico modello matematico di un sistema meccanico complesso

4 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Modello a parametri concentrati

5 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Modello a parametri concentrati Sistema meccanico Molti fenomeni fisici sono coinvolti nel sistema e dalla sua analisi si può evidenziare che i più importanti sono: o Inerzia del sistema o Comportamento elastico dei materiali o Dissipazione di energia Tutte le quantità legate a questi comportamenti sono distribuite nella struttura ed un modello accurato dovrebbe tenerne conto Questo richiede che tutte le proprietà dei materiali siano definite in maniera puntuale e che le loro interazioni siano definite da equazioni alle derivate parziali definite da operatori quali gradiente divergenza e rotore

6 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Modello meccanico Componente massa l’inerzia del sistema è legata alla massa delle parti in movimento della struttura (per semplicità (!) si trascura la rotazione) la massa è distribuita su tutta la struttura con valori di densità differenti ad esempio nel cerchione, nelle molle o nel pneumatico ecc. da un’analisi del sistema si trova facilmente come la massa sia concentrata nella ruota (cerchio+ pneumatico) il modello può quindi essere semplificato trascurando il contributo di alcune masse di valore minore (assi, molle ecc.) e concentrando la massa nel baricentro della ruota la massa della ruota a questo punto può essere misurata su una bilancia in laboratorio

7 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Modello meccanico Componente massa una volta che il valore della massa sia noto M, il suo comportamento può essere modellato dalla seconda legge della dinamica (2) dato che la massa è concentrata in un punto (il baricentro) l’operatore di derivata è quello di derivata totale "d" e non più quello di derivata parziale "∂" il parametro massa M è coinvolto anche nella definizione di energia cinetica (3)

8 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Modello meccanico Componente molla la risposta elastica della struttura è legata alle deformazioni reversibili di tutte le sue parti quali assi in acciaio, parti in gomma, molle ecc. in maniera analoga a quanto esposto per la massa, anche per l’elasticità il contributo principale è dovuto alla molla che collega la ruota al telaio e che può essere rappresentata attraverso la legge di Hooke: (4) dove k el può essere misurata in laboratorio il comportamento elastico può immagazzinare energia elastico secondo la: (5)

9 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Modello meccanico Dissipazione ogni struttura reale è caratterizzata da forme di dissipazione di energia la dissipazione può essere legata a diversi tipi di attrito e, ne caso in esame, il contributo maggiore deriva dall’attrito viscoso lo smorzatore viscoso può essere descritto da un’equazione non lineare: (6) dove k v può essere misurata in laboratorio il componente dissipativo può dissipare l’energia immagazzinata o fornita al sistema dall’esterno.

10 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Modello meccanico Equazione complessiva le equazioni caratteristiche dei singoli componenti o fenomeni (massa, molla, attrito) non sono da sole sufficienti a definire il comportamento del sistema un’equazione ulteriore che descrive la loro interazione va aggiunta: ad esempio l’equazione di bilancio delle forze interne uguale alla sommatoria delle forze esterne: (7) (8)

11 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Modello meccanico Equazione complessiva l’equazione finale è un’equazione differenziale ordinaria dato che tutte le dipendenze dalle coordinate spaziali sono state rimosse e concentrate nei parametri M, k el, k v la soluzione dell’equazione richiede quindi solo l’integrazione in termini della variabile tempo t (derivate totali) come contropartita: o tutte le nozioni sulle variabili interne al problema viene persa e solo x e k ext sono note o nessuna indicazione sul rispetto di eventuali vincoli fisici è data (ad esempio massimo stress sui componenti ecc.) (8)

12 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Fenomeni tecniciFenomeni naturali Fenomeni elettromagnetici

13 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Modello elettromagnetico Quantità elettriche i fenomeni dell’elettromagnetismo sono governati dalle equazioni di Maxwell che sono equazioni differenziali alle derivate parziali (gradiente, rotore e divergenza) la soluzione delle equazioni di Maxwell richiede quindi un’integrazione sia nello spazio che nel tempo esistono tecniche matematiche che consentono di risolvere questi problemi (ad es. metodo degli elementi finiti) ma queste non sono di facile utilizzo in ambiente tecnico come nel caso precedente anche qui l’approccio a parametri concentrati può facilitare la soluzione del problema esiste inoltre un’ipotesi fondamentale per questo approccio che verrà discussa in seguito

14 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Modello elettromagnetico Componente concentrato le principali differenze rispetto al problema meccanico riguardano: o le variabili utilizzate sono tensioni e correnti o i campi elettromagnetici non sono limitati ai mezzi materiali ma si estendono nello spazio condizione necessaria affinché si possa definire un modello concentrato è che si possa limitare l’estensione spaziale del fenomeno

15 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Modello elettromagnetico Componente a due morsetti l’interazione del componente con l’esterno deve avvenire solo attraverso: o la corrente elettrica che fluisce attraverso i suoi terminali o morsetti i o la tensione elettrica che si presenta tra i suoi morsetti v Entrambe le quantità sono scalari e dipendenti dal tempo: o i = i(t) o v = v(t) dimensioni fisiche nel sistema SI sono: ampere, A, volt, V il componente più semplice è quello con una sola coppia di morsetti detto dipolo

16 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Modello elettromagnetico Componente a n morsetti non tutti i fenomeni elettromagnetici possono essere descritti da componenti dipolari in questi casi componenti più complessi a n-morsetti si possono definire i genere i morsetti sono numerati a partire dallo 0

17 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Modello elettromagnetico Notazioni grafiche e segno delle grandezze correnti e tensioni sono quantità scalari che hanno un segno. La notazione grafica delle grandezze deve aiutare ad evidenziare il loro segno tutte le notazioni presentate sono equivalenti

18 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Modello elettromagnetico Equazioni costitutive i componenti dipolari devono soddisfare equazioni che legano tra di loro le grandezze ai morsetti in maniera analoga a quanto visto per i componenti meccanici, queste equazioni legano tra di loro le variabili ai morsetti e vengono chiamate equazioni costitutive o caratteristiche tensione-corrente v = v(i; t) (9) i = i(v; t) (10) alcuni fenomeni sono naturalmente descritti da equazioni che hanno come variabile indipendente la tensione o la corrente mentre per altri la notazione è indipendente

19 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Componenti elettromagnetici Quanti tipi di componenti esistono? i fenomeni elettromagnetici sono molto complessi e quindi, in linea di principio, ci si potrebbe aspettare di trovare un numero di componenti molto elevato in realtà, come si è messo in evidenza per i problemi meccanici, i componenti elementari non sono molti al fine di suddividere i componenti in classi si possono utilizzare diversi criteri dato che i componenti sono modelli matematici, il processo di classificazione produrrà alla fine una serie di equazioni costitutive dei componenti stessi

20 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Componenti ideali/reali Teoria e realtà i componenti definiti in maniera matematica spesso si comportano in maniera diversa da quelli reali componenti ideali sono quelli che rappresentano un singolo fenomeno elettromagnetico e ne costituiscono un modello unico componenti reali sono costruiti con materiali che seguono leggi differenti da quelle ipotizzate nel modello e quindi sono caratterizzati da effetti parassiti Molla ideale e molla reale una molla costruita con acciaio è caratterizzata non solo da un comportamento elastico ma anche da una massa e quindi da effetti di inerzia che la molla ideale non ha

21 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Componenti attivi e passivi Che cosa alimenta i componenti? i componenti passivi necessitano di una sorgente di potenza esterna per dare luogo a qualche trasformazione energetica e sono generalmente chiamati carichi i componenti attivi sono in grado di trasferire potenza ai terminali dei carichi i componenti attivi forniscono questa potenza a spese di qualche altra forma di energia che trasformano in termini elettromagnetici Batteria dell’auto il motore di avviamento di un motore a combustione interna viene alimentato da un accumulatore a piombo-acido il quale, durante la marcia, viene ricaricato dall’alternatore: si comporta quindi sia da componente attivo che passivo

22 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Convenzioni di segno Convenzione utilizzatori/generatori il differente comportamento in termini di potenza viene inserito nelle convenzioni di segno di corrente e tensione Convenzione utilizzatoriConvenzione generatori

23 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Classificazione dei componenti passivi Quanti tipi di carico esistono? la caratterizzazione dei carichi può essere fatta in base al loro comportamento energetico in base a questo criterio i componenti possono essere suddivisi in: o componenti in grado trasformare energia di tipo elettromagnetico in un’altra forma di energia o componenti in grado di immagazzinare energia nel campo elettrico o componenti in grado di immagazzinare energia nel campo magnetico sistema meccanico questa suddivisione in termini energetici era già stata utilizzata nei sistemi meccanici: massa → energia cinetica, Molla → energia elastica ed attrito → energia dissipata

24 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Prima classe di carichi Resistore l’effetto Joule definisce che una corrente elettrica fluente in un conduttore genera calore, quindi questo fenomeno appartiene alla prima classe di carichi questa classe di componenti è descritta da una equazione costitutiva di tipo algebrico che lega tra loro tensione e corrente allo stesso istante: (11) che è chiamata prima legge di Ohm

25 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Definizione Il componente si chiama resistore ed il suo parametro R resistenza le dimensioni fisiche nel sistema SI sono ohm, Ω Simbolo graficoResistore

26 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014Resistore Resistore se il parametro R è costante la caratteristica v - i è lineare dato che in questo caso R è indipendente dal tempo il componente è detto Lineare e Tempo Invariante (LTI) Simbolo grafico Definizione in questo caso v e i sono legati ad ogni istante da una relazione che può essere riportata in un piano con assi i e v Se i → x e v → y la pendenza della retta è R

27 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014Resistore Resistore nonlineare se il parametro R cambia il suo valore in funzione della corrente i, il resistore è nonlineare in questo caso la relazione tra i e v non è più rappresentata da una retta nel piano v - i Caratteristica R = R(i) Passività dato che il componente è passivo, la sua caratteristica deve contenere l’origine del piano v – i, cioè non è in grado di avere v 0 se la corrente è nulla

28 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014Resistore Conduttanza molto spesso è conveniente definire il valore di conduttanza G di un resistore come l’inverso della sua resistenza (12) (13) le dimensioni fisiche di G sono chiamato siemens simbolo S

29 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014Condensatore Fenomeno fisico i condensatori sono componenti in grado di immagazzinare energia nel campo elettrico e quindi appartengono alla seconda classe dei componenti passivi il campo elettrico può essere creato prevalentemente nella regione di spazio compresa tra due parti conduttrici isolate e sottoposte ad una differenza di potenziale Proprietà Cons. carica Fenomeno conservativo

30 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014Condensatore Fenomeno fisico la carica del condensatore cresce proporzionalmente al valore di tensione applicata (14) il coefficiente di proporzionalità C è chiamato capacità del componente e dipende da: o Geometria della struttura C ∝ o Materiali presenti nel dominio C Simbolo grafico Unità di misura La capacità si esprime in farad F e molto spesso valori di capacità sono nell’ordine dei mF, F, ecc.

31 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014Condensatore Caratteristica v - i l’equazione Q = Cv non è una equazione costitutiva perché in essa non appare la corrente i la corrente i può essere ottenuta come derivata rispetto al tempo della carica (15) nell’ipotesi che C non dipenda dal tempo t come conseguenza l’equazione costitutiva è un’equazione differenziale ordinaria che non lega tra di loro i valori istantanei di v e i

32 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014Condensatore Caratteristica v - i l’equazione costitutiva i = i(v) contiene un operatore derivata, quindi la caratteristica v = v(i) deve quindi utilizzare un operatore integrale (16) il dominio di integrazione può essere suddiviso in due intervalli: (17) (18)

33 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014Induttore Definizione il componente induttore immagazzina energia nel campo magnetico ⇒ terza classe di utilizzatori una corrente che fluisce in un conduttore crea, nella regione di spazio circostante, un campo magnetico ed un flusso magnetico concatenato con l’avvolgimento λ - i il flusso magnetico concatenato dipende da i: λ = Li (20) spesso L =Li [L] = henry simbolo H Simbolo grafico

34 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014Induttore Caratteristica v - i come nel caso del condensatore, λ = Li non è una equazione caratteristica dato che v non compare la tensione v si può ottenere dalla legge dell’induzione elettromagnetica (20) nell’ipotesi che L non dipenda da t l’equazione sostitutiva è un’EDO di primo grado C e L hanno caratteristiche v - i simili dove v ed i scambiano i loro ruoli (dualità)

35 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014Induttore Caratteristica v – i come nel caso di C l’operatore derivata lega v a i e quindi l’equazione inversa deve contenere un operatore Integrale (21) il dominio di integrazione può essere suddiviso in due intervalli: (22) (23)

36 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Induttori accoppiati Definizione l’estensione spaziale del campo flusso magnetico può creare un’interazione con altri avvolgimenti in questo caso il flusso concatenato può dipendere anche da una corrente di un altro avvolgimento creando quindi un accoppiamento tra i due componenti (24) Il fenomeno è reciproco M 12 = M 21 = M

37 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Mutual inductor Definizione l’equazione costitutiva si ricava mediante derivata temporale (25) (26) il componente ha 4 terminali e può essere definito come componente a due porte: una per (v 1, i 1 ) ed una per (v 2, i 2 ). Simbolo grafico

38 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Componenti attivi Generatori ideali i generatori sono componenti in grado di fornire potenza ad altri componenti la potenza è generata a spese di qualche altra forma di energia quale elettrochimica, elettromeccanica ecc. generatore ideale: un generatore si dice ideale se è in grado di fornire potenza infinita agli altri componenti nella pratica nessun generatore potrà fornire potenza infinita e quindi un modello di generatore reale sarà

39 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Generatore di tensione Generatore di tensione ideale un generatore di tensione ideale è un dipolo in grado di fornire una tensione e(t) ai suoi morsetti indipendentemente dai componenti ad esso collegati la tensione e(t) è nota ma il valore della corrente che lo attraversa dipende dai carichi che il generatore alimenta per qualsiasi valore di corrente la tensione è e(t) Simbolo grafico

40 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Generatore di tensione Generatore di tensione ideale costante se il valore della tensione è costante e(t) = E, la caratteristica del generatore può essere tracciata nel piano v - i batteria in prima approssimazione una batteria può essere considerata come un generatore di tensione costante batteria in prima approssimazione una batteria può essere considerata come un generatore di tensione costante Simbolo grafico

41 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Generatore di tensione Generatore di tensione nulla un caso particolare di tensione costante e la tensione nulla in questo caso per ogni valore di corrente la tensione ai terminali del dipolo è zero il componente si chiama corto circuito e può essere visto come un generatore di tensione zero o come un resistore con resistenza uguale a zero Simbolo grafico

42 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Generatore di corrente Generatore di corrente ideale un generatore di corrente ideale è un dipolo che è in grado di fornire una data corrente a(t) indipendentemente dai componenti ad esso collegati il valore di corrente è noto ma la tensione ai morsetti del generatore dipende dai carichi ad esso collegati per valore di tensione v(t) la corrente nel dipolo è a(t) Simbolo grafico

43 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Generatore di corrente Generatore di corrente ideale costante se il valore della corrente a(t) = A costante, la caratteristica può essere tracciata nel piano v - i esempio per valore di tensione applicata la corrente ai morsetti del generatore è A in natura non si trovano facilmente esempi di generatori di corrente ma la corrente di fulmine può essere approssimata da un generatore ideale di corrente esempio per valore di tensione applicata la corrente ai morsetti del generatore è A in natura non si trovano facilmente esempi di generatori di corrente ma la corrente di fulmine può essere approssimata da un generatore ideale di corrente

44 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Generatore di tensione Generatore di corrente nulla anche per il generatore di corrente il valore zero è un caso particolare in questo caso, per qualsiasi valore di tensione applicata la corrente ai morsetti è nulla questo componente si chiama circuito aperto e può essere visto come un generatore di corrente a corrente nulla o come un resistore a R → ∞ questo componente si chiama circuito aperto e può essere visto come un generatore di corrente a corrente nulla o come un resistore a R → ∞ Simbolo grafico

45 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Componenti reali Perché componenti reali? i componenti reali hanno equazioni costitutive che sono un’approssimazione di quelle ideali più frequentemente le cause di non idealità sono dovute a: o limiti sui valori delle grandezze ai morsetti o effetti parassiti molto spesso i componenti reali possono essere espressi da combinazioni di componenti ideali

46 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Limiti sulle grandezze ai morsetti Limiti costruttivi in linea teorica in un resistore descritto da v = Ri, v e i possono raggiungere qualsiasi valore in pratica: o problemi termici limitano il valore di corrente o problemi dielettrici limitano il valore di tensione -I max ≤ i ≤ I max (27) -I max ≤ i ≤ I max (28) -I max ≤ i ≤ I max (27) -I max ≤ i ≤ I max (28) Caratteristica v - i

47 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Effetti parassiti Modello di componente reale i componenti reali hanno un comportamento che li fa appartenere a più classi di componenti questo può però essere utile per creare un modello equivalente del componente reale (29) Induttore reale

48 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Generatori reali Generatore reale di tensione i generatori ideali possono fornire potenza infinita ai componenti collegati nei componenti reali questo è limitato dalla potenza convertita in elettrica (elettrochimica, elettromeccanica ecc.) che può essere grande ma non infinita un generatore reale diminuisce la sua tensione quando la corrente erogata diventa grande Generatore reale di tensione

49 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Generatori reali Modello matematico un modello di questo nuovo componente può essere ottenuto da una serie di Taylor della sua caratteristica centrata nel valore i = 0 (30) o Il termine ha le dimensioni fisiche di una resistenza o è negativa perché v diminuisce se i aumenta ( = - R int ) dove R è una resistenza fittizia che tiene in conto il comportamento della sorgente reale o v (0) = E v (i) = E – R int i

50 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Leggi topologiche Come si può descrivere un circuito? i componenti elementari sono in grado di descrivere ogni fenomeno elettromagnetico ma le leggi costitutive non sono sufficienti per descrivere l’interazione di diversi componenti per descrivere le interazioni di più componenti è necessario definire un nuovo insieme di leggi queste equazioni saranno indipendenti dai componenti ma saranno funzione solo delle connessioni per definire la forma delle equazioni è necessario prima analizzare le entità principali presenti nei collegamenti circuitali

51 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Topologia del circuito Entità topologiche il modo in cui i componenti sono interconnessi definisce le loro interazioni anche se il circuito è generalmente disegnato su di un piano, si deve ricordare come ogni variabile spaziale sia stata eliminata dal modello a parametri concentrati e quindi come non ci sia alcuna indicazione sulle lunghezze le due soluzioni indicate sono diverse come geometria ma identiche come topologia

52 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Topologia del circuito Entità topologiche il circuito può essere descritto da poche entità nodo: un punto di connessione tra più collegamenti lato: un insieme di componenti connessi senza alcun nodo intermedio

53 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Topologia del circuito Entità topologiche maglia: qualsiasi insieme di lati che formano un percorso chiuso maglia elementare: una maglia che non contiene altre maglie

54 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Leggi di Kirchhoff Un nuovo insieme di equazioni le leggi di Kirchhoff sono di validità generale e si applicano ad ogni tipo di componente e di topologia possono essere scritte anche senza sapere nulla sulla natura dei componenti del circuito si possono derivare, sotto alcune ipotesi, dalle leggi dei campi elettromagnetici ma in questo caso sono presentate come un assioma esiste una ipotesi fondamentale per l’applicabilità delle leggi topologiche che verrà discussa in seguito

55 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Legge di Kirchhoff delle correnti (LKC) Interazione delle correnti le correnti interagiscono al nodo legge di Kirchhoff delle correnti: ad ogni istante la somma algebrica delle correnti afferenti ad un nodo è nulla algebrico significa che segni differenti devono essere usati per le correnti entranti o uscenti dal nodo (31) la LKC è un’equazione omogenea ⇒ la convenzione non è importante (31) la LKC è un’equazione omogenea ⇒ la convenzione non è importante Nodo

56 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Legge di Kirchhoff delle correnti (LKC) Interazione delle tensioni le tensioni interagiscono nella maglia legge di Kirchhoff delle correnti: ad ogni istante di tempo la somma algebrica delle tensioni di maglia è nulla il segno deve essere definito in base al verso di percorrenza della maglia (32) ∀ t, anche la LKT è indip. dal verso di percorrenza (32) ∀ t, anche la LKT è indip. dal verso di percorrenza Loop

57 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Ipotesi fondamentale dei circuiti Le leggi di Kirchhoff sono sempre valide? le leggi di Kirchhoff impongono ad ogni istante temporale un bilancio di tensioni e correnti nei fenomeni elettromagnetici questo può non essere sempre verificato il problema principale è legato alla velocità di propagazione dei segnali elettromagnetici che può essere approssimativamente considerato uguale alla velocità della luce nel vuoto c ≃ 3 * 10 8 m /s ritardi nella trasmissione del segnale dipendono quindi dalla lunghezza del percorso

58 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Tempo di ritardo È importante il tempo di propagazione? se una struttura elettromagnetica ha le dimensioni di 1m un segnale iniettato ad un terminale arriva all’altro in un tempo pari a: (33)

59 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Scala temporale del fenomeno Apprezzabilità del tempo Δτ un tempo di ritardo Δτ = 3ns può essere trascurabile o meno in funzione della scala temporale del fenomeno in studio alla frequenza di f = 50Hz → T = 1/f = 20ms il tempo Δτ è trascurabile alla frequenza di f = 100MHz → T = 1/f = 10ns il tempo Δτ è uguale ad un terzo del periodo in questo ultimo caso il tempo di ritardo è una frazione importante della scala temporale e non può essere trascurato ⇒ se la scala temporale si riduce le distanze devono essere minori

60 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Relazione spazio tempo Propagazione immediata le leggi di Kirchhoff devono essere verificate ad ogni istante ma, in caso di ritardo apprezzabile, alcune variabili potrebbero non essere ancora attive (per es. in una maglia le tensioni su alcuni lati potrebbero non essere ancora state raggiunte dal segnale) l’ipotesi fondamentale delle LK e quindi di tutto il metodo circuitale è che il tempo di propagazione del segnale sia trascurabile lunghezza d’onda del segnale λ = cT, ipotesi valida se L << λ per es. alla frequenza industriale di f = 50Hz ⇒ λ = 3 * 108 * 20 * 103 = 6000km e quindi il limite è quasi sempre verificato

61 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Connessioni circuitali Serie/parallelo sebbene le connessioni circuitali possano assumere forme molto complesse, in molti casi esse possono essere ricondotte alla combinazione di elementi connessi in serie e/o in parallelo queste connessioni sono analizzate per trovare espressioni semplificate le connessioni sono presentate nel caso di resistori ma l’approccio è valido per tutti i componenti

62 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Connessione serie due o più componenti sono collegati in serie se sono percorsi dalla stessa corrente Due resistoriEquazioni costitutive v 1 = R 1 i 1 (35) v 2 = R 2 i 2 (36) Equazioni topologiche i = i 1 i 2 (37) v AB - v 1 - v 2 = 0 (38) (38)

63 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Connessione serie Partitore di tensione (39) (40) la tensione v AB si ripartisce tra i resistori ed ogni quota k –esima è proporzionale a (41)

64 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Connessione parallelo due o più componenti sono connessi in parallelo se sono sottoposti alla stessa tensione Due resistoriEquazioni costitutive v 1 = R 1 i 1 (42) v 2 = R 2 i 2 (43) Leggi di Kirchhoff i = i 1 + i 2 (44) v AB = v 1 = v 2 (45) (46)

65 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Connessione parallelo Resistore equivalente (47) la formula precedente è valida per due resistori in parallelo in generale dato che nella connessione parallelo compare il termine è più conveniente utilizzare conduttanze (48) la formula vale in caso di N resistori in parallelo

66 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Connessione parallelo Partitore di corrente in caso di due resistori (49) la corrente i si ripartisce in ogni resistore come (50) (51)

67 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Connessioni a tre terminali Connessioni stella/triangolo non tutte le connessioni canoniche si presentano con due morsetti, ma il concetto di equivalenza può essere esteso anche a reti con tre connessioni Connessione a stella o a YConnessione a triangolo o a Δ

68 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Connessioni a tre terminali Stella → triangolo date le resistenze di una stella R A, R B, R C, trovare le resistenze del triangolo equivalente (52) (53) (54) nel caso

69 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Connessioni a tre terminali Stella → triangolo date le resistenze di un triangolo R AB, R BC, R CA, trovare le resistenze della stella equivalente (55) (56) (57) nel caso

70 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Potenza nei componenti Potenza ed energia i componenti circuitali sono modelli matematici di fenomeni fisici e devono rispettarne le più importanti proprietà, in particolare quelle legate alla potenza e all’energia l’energia nei componenti è già stata usata nella fase di definizione dei componenti mentre la potenza non è ancora stata definita in termini circuitali la potenza è formulata direttamente in funzione delle variabili di rete e quindi verrà utilizzata più frequentemente nel seguito: o si presenteranno le formule della potenza ed energia nei componenti o si introdurrà il teorema di Tellegen sul il principio di conservazione dell’energia nei circuiti

71 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Potenza nei componenti Definizione la potenza istantanea in un componente dipolare può essere espressa in termini delle variabili di rete come: p (t ) = v (t ) i (t ) (58) dal punto di vista delle dimensioni fisiche, il prodotto di una tensione per una corrente è una potenza [watt] = [volt][ampere] la definizione ha le sue basi fisiche nel significato della tensione che è un’energia per unità di carica e la corrente che è un flusso di carica la variazione di energia della singola carica q è espressa da qv ma la sua variazione temporale è espressa da iv

72 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Potenza nei componenti Convenzioni di segno dato che la potenza è definita come il prodotto di tensione per corrente, il suo segno dipende da quelli di v e i la convenzione degli utilizzatori/generatori stabilisce una relazione tra il segno della potenza ed il suo significato fisico GeneratoriUtilizzatori

73 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014Energia Definizione la potenza è una quantità nonlineare ricavata direttamente dalle variabili circuitali e quindi è facile da valutare una volta risolto il circuito l’energia nel componente si può ricavare come l’integrale della potenza nel tempo (59) l’energia può essere immagazzinata, come nel caso di condensatori ed induttori, o dissipata come nel caso dei resistori

74 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014Resistore Definizione la potenza istantanea può essere calcolata dalla legge di Ohm come: (60) (61) in entrambi i casi la potenza può solo essere positiva (R > 0) e questo conferma che il resistore non è in grado di fornire potenza al circuito l’energia dissipata dal componente nell’intervallo (t 1 ; t 2 ) può essere calcolata come (62)

75 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014 Potenza nei componenti Definizione la potenza istantanea in un condensatore è data da: (63) in funzione del segno di v (t) e di dv / dt, la potenza istantanea può essere positiva o negativa, p < 0 ⇒ C cede potenza il differenziale dell’energia associata ad una trasformazione infinitesima dt è dato da: (64) l’ultima espressione rappresenta un differenziale esatto e quindi questo implica che la trasformazione è reversibile o conservativa

76 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014Condensatore Energia integrando il dw da zero ad un valore di tensione si ottiene: (65) quindi l’energia immagazzinata nel condensatore dipende dal valore della tensione e quindi v rappresenta lo stato energetico del componente la tensione su un condensatore è quindi detta variabile di stato qualsiasi variazione di tensione ai capi di C implica un trasferimento di potenza il cui integrale nel tempo deve bilanciare la variazione di energia immagazzinata

77 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014Condensatore più breve è l’intervallo di tempo (t 2 - t 1 ) più grandi sono la corrente e la potenza Time transformation (66) (67) (68)

78 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014Condensatore Energia la corrente e la potenza crescono se la trasformazione è rapida perché: o la stessa quantità di carica deve essere trasferita al componente in meno tempo o con gli stessi valori v 1 e v 2 la stessa energia deve essere trasferita in meno tempo in caso di una variazione istantanea di tensione la corrente e la potenza avrebbero valori infiniti dato che nessun componente è in realtà in grado di fornire potenza infinita, allora la tensione in un condensatore è una funzione continua

79 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014Induttore Definizione la potenza istantanea in un induttore può essere ricavata dalla sua equazione costitutiva come: (69) anche in questo caso, in funzione dei segni di i (t ) e di, la potenza istantanea può essere positiva o negativa e quindi ci sono configurazioni nelle quali L può cedere energia al circuito (70) (71)

80 © De Agostini Scuola, M. Repetto, S. Leva, Elettrotecnica. Elementi di teoria ed esercizi, CittàStudi, 2014Induttore Variabile di stato nel caso dell’induttore l’energia immagazzinata è proporzionale alla corrente nuovamente la corrente è una variabile che indica lo stato energetico del componente seguendo ragionamenti analoghi a quelli fatti per il condensatore si può ricavare che la corrente in un induttore è una variabile continua rispetto al tempo


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