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Esempio 1 Un bombardiere vola con velocità orizzontale v x costante di 400 km/h ad una altezza di 3000 m dirigendosi verso un punto che si trova esattamente.

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1 Esempio 1 Un bombardiere vola con velocità orizzontale v x costante di 400 km/h ad una altezza di 3000 m dirigendosi verso un punto che si trova esattamente sulla verticale del suo bersaglio. Quesito: a quale angolo di vista ф deve essere sganciato il proiettile per colpire il bersaglio ? Definiamo il quesito in un sistema di assi cartesiani di riferimento x-y y x vxvx 3000 m 1

2 Quello che ci aspettiamo è una cosa del genere, e siamo interessati alla determinazionedell’angolo di vista ф al quale deve essere sganciato il proiettile y x 3000 m ф 2

3 La velocità iniziale v 0 del proiettile al momento in cui viene sganciato avrà le seguenti componenti: v 0x = 400 km/h = 111 m/s v 0y = 0 Il tempo t di caduta del proiettile è connesso all’altezza della caduta y dall’equazione: y = v 0y t – ½ g t 2 dove v 0y = 0 e y = −3000 m Da cui t = (−2y/g) 1/2  (−2(−3000) m / 9,8 m/s 2 ) 1/2 = 24,8 s La distanza orizzontale x percorsa dal proiettile durante questo tempo t sarà: x = v 0x t = 111 m/s x 24,8 s = 2750 m L’angolo sarà ф = arctan (x/y) = arctan (2750/3000) = 42,5° 3

4 Esempio 2 Un giocatore di calcio colpisce una palla ad un angolo di 30° con l’orizzontale, imprimendo una velocità iniziale di 20 m /s. 4

5 Per rispondere ai quesiti, supporremo che il moto della palla avviene in un piano verticale. y x v 0 = 20 m/s Ф = 30° 5

6 1° Quesito: Trovare l’istante t in cui la palla raggiunge il punto più alto della sua traiettoria Nel punto più alto, la componente verticale della velocità ( v y ) è zero. Scriveremo quindi: v y = v 0 sin Ф − gt  v 0 sin Ф − gt = 0 Da cui ricaveremo: t = v 0 sin Ф / g dove: Ф = 30° v 0 = 20 m/s g = 9,8 m/s 2 t = [ 20 x ½] m/s / 9,8 m/s 2 = 1,02 s 6

7 2° Quesito: Qual è l’altezza massima y m raggiunta dalla palla ? Scriveremo: y = (v 0 sin Ф) t − ½ gt 2 L’altezza massima si raggiunge a t = 1,02 s Quindi : y m = ( [ 20 x ½] m/s) x 1,02 s) − 1/2 (9,8 m/s 2 ) x ( 1,02 s) 2 = 5,1 m 7

8 3° Quesito: Qual è lo spostamento orizzontale della palla e per quanto tempo rimane in aria ? Scriviamo nuovamente l’equazione per la componente verticale del moto: y = (v 0 sin Ф) t − ½ gt 2 Riflettiamo sul fatto che lo spostamento in orizzontale richiesto si raggiunge quando la palla raggiunge una quota y uguale a quella iniziale e cioè y = 0. La formula pertanto si riduce a: (v 0 sin Ф) t − ½ gt 2 = 0  (v 0 sin Ф) t = ½ gt 2 (v 0 sin Ф) = ½ gt t = 2 (v 0 sin Ф) / g t = ( 40 m/s x ½ ) / 9,8 m/s 2 = 2,04 s Per lo spostamento orizzontale scriveremo: x = v x t = (v 0 cos ф) t = 20 m/s x ½ √ ( 3 ) x 2,04 = 35 m 8

9 4° Quesito: Qual è la velocità della palla quando tocca terra ? In sostanza, per definire il vettore velocità in questione dobbiamo ricavare le sue componenti v x e v y per le quali potremo scrivere: v x = (v 0 cos ф) t v y = v 0 sin ф − gt Dove: t = 2,04 s, e quindi: v x = (v 0 cos ф) t = 20 m/s x ½ √ ( 3 ) = 17,3 m/s v y = v 0 sin ф − gt = 20 m/s x ½ − ( 9,8 m/s 2 ) x 2,04 s = − 10 m/s v = (v 2 x + v 2 y ) ½ = 20 m/s ф = arctan (v x / v y ) = arctan (− 10/17,3 ) = − 30° 9

10 Risultato prevedibile in base a semplici considerazioni di simmetria. y x v = 20 m/s Ф = 30° v = 20 m/s Ф = -30° Ф = 30° 10

11 Esempio 3 Un cannone viene puntato verso un bersaglio posto ad una altezza h che, attraverso un semplice meccanismo, viene abbandonato in caduta libera esattamente quando il proiettile lascia la bocca del cannone. Si osserva che: qualunque sia la velocità iniziale del proiettile, esso colpisce sempre il bersaglio. 11

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15 Spiegare il fenomeno. 15

16 Come spiegare il fenomeno ? Faremo le seguenti considerazioni: se non intervenisse l’accelerazione dovuta alla gravità: a)Il bersaglio non cadrebbe b)Il proiettile si muoverebbe in linea retta verso il bersaglio 16

17 In un dato tempo t, il proiettile cade verso il basso di una distanza −½ g t 2 dalla posizione che avrebbe avuto lungo la linea retta di volo 17 −½ g t 2 Nello stesso intervallo di tempo, il bersaglio cade della medesima distanza −½ g t 2 lungo la verticale Quindi quando il proiettile incrocia la traiettoria di caduta del bersaglio, se lo trova esattamente davanti !!!

18 18 Esempio 4 La luna gira intorno alla terra facendo un giro completo in 27,3 giorni. Si assuma che l’orbita sia circolare e che abbia un raggio di km. Qual è il modulo dell’accelerazione della luna verso la terra ? Trasformiamo prima i dati in Unità SI: r = km = 385 x 10 6 m Il periodo T di rivoluzione è: T = 27,3 giorni = 23,6 x 10 5 s La velocità della luna (in modulo) che supporremo costante é: v = 2π r / T = 1020 m /s L’accelerazione centripeta è pertanto: a = v 2 /r = 0,00273 m/s 2 Ovvero: 2,8 x g

19 19 Esempio 5 Si consideri un satellite artificiale che ruota attorno alla terra e si supponga per semplicità che esso viaggi proprio sopra la superfice terrestre. Quesito: Si calcoli il modulo della velocità del satellite, assumendo un raggio della terra R = km Sulla superfice terrestre l’accelerazione di gravità vale: g = -9,8 m/s 2 ed è questa l’accelerazione che fa muovere il satellite di moto circolare, è cioè la sua accelerazione centripeta. Da cui a = v 2 /R  v = (a R) 1/2 = 7668 m/s = 27.5 km/h

20 20 Esempio 6 La bussola di un aeroplano indica che si sta dirigendo verso est. Si registra un forte vento che soffia in direzione nord. 1° Quesito: Mostrare su di un diagramma la velocità dell’aeroplano rispetto al suolo. Nord Est α v u v’ u = vettore della velocità dell’aria rispetto al suolo (punta verso nord) v’ = vettore della velocità dell’aeroplano rispetto all’aria (punta verso est) v = vettore della velocità dell’aeroplano rispetto al suolo ( = v’ + u da determinare) y x

21 21 Risulta evidente che: v x = modulo ( v’ ) = v’ v y = modulo ( u ) = u α = arctan (v y / v x ) = arctan(u / v’) Il modulo della velocità v dell’aeroplano rispetto al suolo sarà: v = (( v’ ) 2 + u 2 ) 1/2 Così, per esempio, se l’aeroplano si muove rispetto all’aria di 300 km/h e la velocità del vento rispetto al suolo è di 60 km/h si avrà: v = ( ) 1/2 = 306 km/h α = arctan (60 / 300) = 11° 20’


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