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Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014 1 UN MONDO DI PROBLEMI, MA … MATEMATICI Spunti per insegnare.

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1 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio UN MONDO DI PROBLEMI, MA … MATEMATICI Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici 25 marzo 2014

2 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Perché non si può dividere per 0? Il motivo per cui non è possibile eseguire la divisione per 0 è giustificato dalle seguenti considerazioni. Sia X ∊ R X≠0 se ∃ y t.c. X/0 = Y Si avrebbe anche: X = 0Y. Dato, però, che ogni numero moltiplicato per 0 dà come risultato 0, risulterebbe: X = 0 (in evidente contrasto con l'ipotesi iniziale).

3 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Perché non si può dividere per 0? Supponiamo: X = 0, ∄ un unico numero reale Y, t. c. 0/0 = Y 0 = 0Y ∀ Y quindi, il risultato di tale operazione sarebbe indeterminato.

4 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio INTRODUZIONE DELLO ZERO I MUSICANTI DI BREMA

5 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Gli animali sono quattro

6 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Restano tre animali ESCE L’ASINO

7 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Restano due animali ESCE IL CANE

8 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Resta un animale ESCE IL GATTO

9 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Restano zero animali ESCE IL GALLO

10 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Il paese delle fate è molto bello perché è costruito con tante case colorate. In ogni casa abita una fata con delle bacchette magiche fatte così: una bacchetta magica una sola magia, una sola magia da ogni bacchetta magica. C'è la casa azzurra dove abita la fata Fiordaliso che ha 10 bacchette magiche. C'è la casa gialla dove abita la fata Polentina con le sue 5 bacchette magiche. C'è la casa verde dove abita la fata Lattuga che purtroppo ha perso le sue bacchette al parco giochi.

11 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Disegna le bacchette magiche di Fiordaliso

12 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Disegna le bacchette magiche di Polentina

13 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Disegna le bacchette magiche di Lattuga

14 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Quale fata può fare più magie? (Ricordati che per ogni magia ci vuole una bacchetta magica e che con una bacchetta magica si può fare una sola magia). …………………………………………………………………… ………………………………….. Quale fata non può più fare neanche una magia? Perché…………………………………………….. …………………………………………………………………… ……………………………………

15 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Alcune precisazioni didattiche In quali numeri gli zeri sono necessari? 3,20 3,02 3,200 3,202 NO perchè non cambia il valore del numero Sì perchè cambia il valore del numero NO perchè non cambia il valore del numero

16 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Alcune precisazione didattiche Quando gli zeri sono necessari? 3,2 – 1,548 = È necessario scrivere: 3,200 – 1,548 = Gli zeri aggiunti non cambiano il valore del numero, ma rendono possibile la sottrazione ?

17 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Alcune precisazione didattiche Quando gli zeri sono necessari? 11 : 8 =? Calcola il quoziente della seguente divisione approssimato ai decimi Quando si calcola il quoziente di una divisione approssimato ai decimi, ai centesimi …, è opportuno aggiungere lo zero o gli zeri già all’inizio. 11,0 : 8 =

18 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Alcune precisazione didattiche Quando gli zeri sono necessari? 654 : 6 =109 Calcola il quoziente delle seguenti divisioni A scuola si usa dire: Quando il divisore non “ci sta” nel dividendo significa che “ci sta” zero volte. È meglio dire è contenuto 0 volte e lo 0 va scritto al quoziente. 4,2 : 7 = 0,6

19 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Alcune precisazione didattiche Lo zero a sinistra dei numeri interi. Nelle date: 03/06/00 – 18/06/08 In questo contesto lo zero indica la mancanza di unità o di decine. A sinistra dei numeri naturali lo zero non serve altrimenti non avremmo più i numeri con una, due, tre cifre, ma sempre con infinite cifre. …00032

20 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Alcune precisazione didattiche L’uso dello zero nell’ordinamento dei numeri decimali con la parte intera uguale L’ordinamento dei numeri decimali con la parte intera uguale viene facilitato dal pareggiare il numero di cifre decimali: es. 3,6 ; 3,17; 3,129, ecc si ordinano più facilmente se si scrive 3,600 ; 3,170; 3,129 così il confronto avviene... fra interi: 600 ; 170 ; 129. In fondo è come ridurre tutto in millesimi: 3 600; 3 170;

21 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Lo zero … nel paesaggio

22 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Lo zero … nella poesia L'AVVENTURA DELLO ZERO di Gianni Rodari C'era una volta un povero Zero tondo come un o, tanto buono ma però contava proprio zero e nessuno lo voleva in compagnia. Una volta per caso trovò il numero Uno di cattivo umore perché non riusciva a contare fino a tre. Vedendolo così nero il piccolo Zero, si fece coraggio, sulla sua macchina gli offerse un passaggio; schiacciò l’acceleratore, fiero assai dell’onore di avere a bordo un simile personaggio. D’un tratto chi si vede fermo sul marciapiede? Il signor Tre che si leva il cappello e fa un inchino fino al tombino… e poi, per Giove il Sette, l’Otto, il Nove che fanno lo stesso. Ma cosa era successo? Che l’Uno e lo Zero seduti vicini, uno qua l’altro là formavano un gran Dieci: nientemeno, un’autorità! Da quel giorno lo Zero fu molto rispettato, anzi da tutti i numeri ricercato e corteggiato: gli cedevano la destra con zelo e premura (di tenerlo a sinistra avevano paura), gli pagavano il cinema, per il piccolo Zero fu la felicità.

23 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio E per finire con lo zero … Zero: mancanza di un segno o segno di una mancanza? (G. Giorello, 1981 Enciclopedia Einaudi; vol. 14)

24 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio ALCUNI NUMERI NATURALI NELLA E LELLA Questa è la storia delle formichine Nella e Lella che tutto il giorno girano per il mondo per capire se è rotondo. Camminano sia in montagna, sia in pianura: la loro vita è proprio dura! Raccolgono semi in eterno per sopravvivere al lungo inverno. Durante i loro viaggio tanti amici possono incontrare e con loro si fermano un po’ a giocare. Ma il lavoro che le aspetta è impaziente e lo devono riprendere immediatamente.

25 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Ecco le formichine Nella e Lella, contale e scrivi il numero che ti dice quante sono. Ogni formichina utilizza un solo sacco per ritirare le provviste. Dai ad ogni formichina un solo sacco. Rispondi: C’è un sacco per ogni formica?…. Ogni sacco è usato da una sola formica?…….. Quante sono le formiche?………. Quanti sono i sacchi?....

26 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio LA RACCOLTA La formica Nella decide di raccogliere i semi in un bellissimo giardino pieno di fiori colorati. Riesce a trovare 4 semi gialli a forma di stella e 2 arancioni tondi tondi: in tutto 6 bellissimi semi da portare con orgoglio nel formicaio. Ecco i semi che ha raccolto la formica Nella; colorali e scrivi quanti sono. I semi raccolti da Nella sono……

27 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Anche la formica Lella ha raccolto, nello stesso giardino, sei semi tutti verdi e a forma di triangolo. Disegna e colora i semi che ha raccolto Lella e scrivi quanti sono.

28 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SEMI A CONFRONTO Colora i semi di Nella e quelli di Lella I semi di Nella sono tanti quanti quelli di Lella?……… Cosa puoi fare per essere sicuro?..

29 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio NUOVI AMICI Nella e Lella stanno lavorando con molto impegno quando sentono delle vocine allegre: qualcuno si sta divertendo. Decidono di fermarsi un momento a curiosare. Tra l’erba scorgono otto allegre chioccioline che stanno giocando. Nella e Lella decidono di farsi avanti per conoscere questi allegri animaletti.

30 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Ecco le chioccioline che attirano l’attenzione di Nella e Lella. Colorale e contale. Quante sono le chioccioline viste da Nella e da Lella?………………

31 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio CHI CERCA TROVA Oggi è domenica e le formichine Nella e Lella decidono di fare un gioco con la loro amica chiocciolina Marta. La formica Lella prima nasconde 8 semi tondi tondi, poi farà da arbitro. Nella e Marta dovranno cercare i semi nascosti. Vincerà chi troverà più semini. Al via Nella parte di corsa, mentre Marta cammina lentamente, ma osserva tutto con molta attenzione. Alla fine del gioco l’arbitro Lella controlla i bottini: Nella ha scoperto 3 semini, mentre Marta ne ha scovati 4. Chi ha trovato più semini?…..

32 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Prima di rispondere completa il disegno. HA TROVATO ……………… HA TROVATO ……………… Con i numeri possiamo scrivere che 4 è maggiore di 3 4 > 3

33 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Questi sono i semini che aveva nascosto Lella. Colora di rosso i semini scovati da Nella. Colora di giallo i semini trovati da Marta. Sei riuscito a colorare tutti i semi?….. Perché?……………

34 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio

35 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 1 pag.109 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) PAOLO E ALICE SI DIVERTONO CON IL TIRO A SEGNO ALICE PAOLO IO HO FATTO PIÙ PUNTI IO HO FATTO MENO PUNTI LEGGI CHE COSA DICONO I FUMETTI E DISEGNA LA FRECCIA CHE MANCA

36 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 1 pag.109 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) PAOLO E ALICE SI DIVERTONO CPN IL TIRO A SEGNO ALICE PAOLOSILVIA AL GIOCO SI UNISCE SILVIA PER UN’ALTRA PARTITA. DOPO IL PRIMO TIRO: IO HO FATTO 5 PUNTI IO HO FATTO PIÙ PUNTI DI SILVIA IO HO FATTO MENO PUNTI DI PAOLO Confronta il tuo lavoro con quello dei tuoi compagni. Tutti avete scelto gli stessi numeri? ……… Perché …………………

37 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE AL TIRO A SEGNO 42c (Colombo Bozzolo, Costa, Alberti, Nel mondo della matematica, vol 1, Erickson)(Colombo Bozzolo, Costa, Alberti, Nel mondo della matematica, vol 1, Erickson) Grande Aquila Saggia ha fatto appendere il bersaglio per il tiro a segno a un albero. Iniziano la sfida al tiro a segno Piede Veloce e Orecchio di Lepre

38 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Nel secondo lancio, Piede Veloce ha fatto tre punti in più di Orecchio di Lepre. Quale punteggio ha ottenuto Orecchio di Lepre? Disegna la sua freccia nella zona giusta.

39 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE AL TIRO A SEGNO La parte è centrata sul confronto e sulla quantificazione della differenza, quantificazione che può essere registrata sia tramite la sottrazione 17 – 3 = … sia tramite l’addizione aperta 3 + … = 17.

40 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE AL TIRO A SEGNO 42d Nel terzo lancio Orecchio di Lepre è riuscito a centrare la zona che vedi nel disegno. Piede Veloce non ha perso. Quale punteggio può avere realizzato Piede Veloce? Scrivi tutte le possibilità. ………………… Confronta la tua risposta con quella dei tuoi compagni e discutine con l’insegnante

41 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE AL TIRO A SEGNO Del primo quesito della scheda 42d si sottolinea che l’informazione “non ha perso” dà luogo a due possibili esiti: Piede Veloce può o avere pareggiato, quindi realizzato un punteggio uguale a quello di Orecchio di Lepre, oppure avere vinto, per cui avere ottenuto un punteggio maggiore di quello dello sfidante.

42 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Nella nuova sfida al tiro a segno ogni partecipante deve tirare una dopo l’altra tre frecce. Vince chi ottiene il punteggio totale maggiore. Occhio di Falco, con tutte e tre le frecce andate a segno, ha ottenuto 39 punti. Il disegno mostra i punti fatti da Occhio di Falco con due frecce. Quanti punti ha ottenuto con la terza freccia? Rispondi alla domanda del problema e registra la strategia che hai usato per ottenere il punteggio.

43 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE AL TIRO A SEGNO Il secondo quesito della scheda 42d può essere risolto con operazioni successive registrate con l’addizione aperta … = 39 con operazioni separate: = – 19 = 20 con l’espressione 39 – (11 + 8) = 20 con una catena di operatori per tentativi nel completamento dell’addizione aperta … = 39. Pure il procedere per tentativi può essere in qualche modo regolamentato; per esempio, gli alunni possono rilevare che la somma delle unità dei due addendi noti è 9, quindi la cifra delle unità dell’addendo incognito deve essere 0: l’unico punteggio che ha 0 come cifra delle unità è 20; in effetti: =

44 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE AL TIRO A SEGNO 42e Anche Dente di Lupo è riuscito a mandare a segno tutte e tre le frecce e ha realizzato 45 punti. Ecco la situazione dopo avere lanciato la prima freccia. Che punti può avere ottenuto Dente di Lupo con ognuna delle altre due frecce? Torva tutte le possibili soluzioni, spiegando il procedimento che hai seguito.

45 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE AL TIRO A SEGNO Piede veloce centra il bersaglio con tutte le frecce, ma realizza solo 30 punti: in quali zone possono essere arrivate le sue frecce? Rispondi alla domanda, spiegando il procedimento che hai seguito per trovare tutte le possibili soluzioni

46 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Si devono trovare tre numeri con somma 30; si può osservare che dovendo dare una somma pari necessariamente i numeri sono o tutti e tre pari oppure due dispari e un pari. Se si ipotizza che i tre centri siano in settori diversi si hanno solo le possibilità = 42 che non è il punteggio ottenuto da Piede Veloce … = 30 che non ha soluzione. Almeno due centri devono avere colpito lo stesso settore; non è però possibile che tutte e tre le frecce abbiano colpito lo stesso settore, perché nessuno dei punteggi in tale caso è uguale a 30. Ne segue che solo due frecce hanno dato lo stesso punteggio, quindi si hanno due addendi uguali la cui somma è pari, per cui pure il terzo addendo deve essere pari. In base a queste considerazioni, dalla tabella si ricavano le coppie  16, 14 ,  8, 22 , le quali permettono di concludere che Piede Veloce può avere colpito con due frecce il settore da 8 punti e con una freccia il settore da 14 con due frecce il settore da 11 e con una freccia il settore da 8. Punteggi possibili:

47 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Per la risoluzione del secondo quesito della scheda 42e può essere utile impostare una tabella in cui si registrano i punti guadagnati anche con ripetizione dei settori colpiti: n° centri punti

48 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE AL TIRO A SEGNO Si rivela particolarmente efficace anche per i quesiti seguenti riflettere sul comportamento dei numeri pari e dei numeri dispari rispetto all’addizione: due numeri dello stesso tipo, ossia appartenenti alla stessa classe di congruenza modulo 2, hanno per somma un numero pari; due numeri di tipo diverso, ossia appartenenti a classi di congruenza diverse modulo 2, hanno per somma un numero dispari. Si può estendere l’analisi anche a somme di tre addendi: una somma è pari se tutti i tre addendi sono pari oppure uno è pari e due sono dispari una somma è dispari se tutti i tre addendi sono dispari oppure uno è dispari e due sono pari. Nel caso del problema di Occhio di Falco dove ha ottenuto 39 punti, la somma dei punteggi dei due tiri fatti (pag. 57) è dispari, un addendo è pari e l’altro è dispari, quindi l’addendo mancante deve essere pari: la scelta si riduce a 8, 14, 20.pag. 57

49 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio In modi analoghi ai precedenti può essere risolto il primo quesito della scheda 42e: (pag. 44)pag. 44 la somma di tre addendi deve essere dispari (45) e si sa che un addendo è pari (20); ne segue che dei due addendi mancanti uno deve essere pari e l’altro deve essere dispari. Si devono verificare, dunque, solo le coppie (8, 11), (8, 17), (14, 11), (14, 17); tra queste, risolvono il problema (8, 17) e (11, 14). Si osserva che l’individuazione di una delle due coppie permette di ricavare anche l’altra; infatti, se si fosse trovata la coppia (11, 14), si potrebbe concludere che anche la coppia (8, 17) e soluzione, in quanto il suo primo termine si ottiene sottraendo 3 a 11 e il suo secondo termine si ottiene addizionando 3 a 14, quindi la loro somma è uguale a quella di : 11+14=25 -3-3  =25

50 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE AL TIRO A SEGNO 42f I quattro piccoli pellerossa si sfidano su un nuovo bersaglio. Vince la sfida chi, lanciando tre frecce, realizza il punteggio maggiore. I quattro amici hanno una buona mira, perché ognuno riesce a mandare a segno tutte le proprie frecce. Nelle tabelle sono indicati alcuni loro punteggi

51 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Completa le tabelle in base alle informazioni assegnate. Esegui le operazioni necessarie sul quaderno 1° tiro2° tiro3° tiroTotale punteggio Occhio di Falco10114 Orecchio di Lepre ha colpito tre settori diversi. 1° tiro2° tiro3° tiroTotale punteggio Orecchio di Lepre17 Piede Veloce ha ottenuto un punteggio totale doppio di quello di Occhio di Falco. 1° tiro2° tiro3° tiroTotale punteggio Piede Veloce Dente di Lupo ha colpito sempre lo stesso settore e si è classificato secondo. 1° tiro2° tiro3° tiroTotale punteggio Dente di lupo 28 Punteggi possibili:

52 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Nei quesiti della scheda 42f non è rilevante l’ordine in cui i punteggi sono stati ottenuti, per cui le terne di punti non sono ordinate. Orecchio di Lepre ha un punteggio totale dispari, per cui i punti parziali devono essere o tutti dispari o due pari e uno dispari: i tre numeri dispari nel bersaglio hanno come somma 19 ( ), per cui la soluzione corrisponde alla seconda tipologia di addendi gli unici numeri pari presenti nel bersaglio sono 10 e 6, quindi l’addizione aperta … = 17 è completata in modo unica da 1.

53 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Occhio di Falco ha totalizzato 28 punti, numero che può essere somma o di tre numeri pari o di due numeri dispari e un numero pari: per avere tre numeri pari uno dei settori che danno un punteggio pari deve essere stato colpito almeno due volte; si hanno i casi = = = = 18 nessuno dei quali risolve il quesito con un solo un addendo pari si hanno i casi = = 21 le altre combinazioni comprendenti il numero 6 forniscono un risultato minore di 21, quindi non danno soluzioni al quesito; ne segue che l’addendo pari deve essere = = 28 soluzione le altre combinazioni comprendenti il numero 10 danno somme minori di 18, quindi non risolvono il problema. Si conclude che l’unica soluzione è la terna non ordinata di punteggi  10, 15, 3 . Punteggi possibili:

54 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Per individuare il punteggio di Dente di Lupo è opportuno procedere in modo inverso rispetto ai casi precedenti: si determina il triplo di ciascuno dei punti guadagnati in ciascun settore del bersaglio e si considerano solo i risultati che sono minori di 28 e maggiori di 17. L’unica soluzione possibile è 18, quindi Dente di Lupo ha colpito per tre volte il settore da 6 punti. Dente di Lupo ha colpito sempre lo stesso settore e si è classificato secondo. 1° tiro2° tiro3° tiroTotale punteggio Dente di lupo Punteggi possibili:

55 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10a) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Nella zona “Far West” del parco Giocolandia si può partecipare a sfide di tiro al bersaglio con arco e frecce. Con ciascun lancio ogni giocatore guadagna tanti punti quanti indicati nel settore colpito dalla freccia; se la freccia non colpisce il bersaglio, il lancio vale 0 punti. Con il bersaglio sotto disegnato si sono sfidati Manuel e Nicola: ciascuno ha effettuato cinque lanci i cui esiti sono registrati nella tabella seguente NicolaManuel N. di lanci punteggi Come è finita la partita? ……………… Giustifica la tua risposta ………………..

56 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Ambito matematico: aritmetica (numeri, operazioni) logica (relazioni, deduzioni). Tipo di testo: iconico/simbolico, verbale, in forma schematica. Soluzione: unica – non unica. Attività specifiche richieste nella risoluzione: uso di tabelle o diagrammi. Analisi del compito e dei possibili sviluppi Il testo del problema della scheda 10a fornisce informazioni relative alle regole del gioco del tiro al bersaglio. Il problema richiede una lettura attenta della tabella, per non incorrere nell’errore di leggere i numeri in corrispondenza dei nomi dei due giocatori come punti, invece che come quantità di lanci.quantità di lanci. Analisi del compito e dei possibili sviluppi SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10a) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)

57 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10a) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) La risoluzione si presta a diverse formalizzazioni aritmetiche, tra le quali punti di Manuel: = 100 punti di Nicola = 100 il calcolo tramite una successione di operazioni punti di Manuel 3  15 = = 100 punti di Nicola 2  5 = = 100 il calcolo tramite addizioni ripetute Analisi del compito e dei possibili sviluppi

58 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Dato che la prima sfida è terminata senza vincitori, Manuel e Nicola procedono ad un’ulteriore sfida. Ciascuno di essi effettua tre lanci: Manuel totalizza 45 punti e Nicola ne totalizza 55. Quanti punti può avere realizzato in ogni lancio ciascuno dei bambini? Per rispondere alla domanda completa la tabella ManuelNicola Totale: 45 puntiTotale: 55 punti SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10a) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)

59 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10a) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Analisi del compito e dei possibili sviluppi per Manuel (45) le soluzioni sono due: 5, 15, 25 – 15, 15, 15 per Nicola (55) le soluzioni sono tre: 0, 5, , 25, 25 – 15, 15, 25 soluzioni nelle quali non ha importanza l’ordine di realizzazione del punteggio.

60 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10b) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Utilizzando il bersaglio disegnato, Andrea deve totalizzare 23 punti lanciando cinque frecce. Prima di procedere ai lanci, osserva attentamente il bersaglio e individua i settori nei quali dovrebbero arrivare le frecce: scopre che ci sono quattro possibilità. Completa la tabella con le quattro possibilità individuate da Andrea. Punti per ogni lancio Punteggio totale 1° possibilità23 2° possibilità23 3° possibilità23 4° possibilità23

61 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10b) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Analisi del compito e dei possibili sviluppi I numeri che contrassegnano il primo bersaglio della scheda 10b sono cinque potenze consecutive di 2: 1 = 2 0, 2 = 2 1, 4 = 2 2, 8 = 2 3, 16 = 2 4 Il compito consiste, quindi, nello scomporre in quattro modi diversi il numero 23 come somma di cinque addendi che sono o potenze di 2 o il numero 0:

62 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Punti per ogni lancio Punteggio totale 1° possibilità ° possibilità ° possibilità ° possibilità SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10b) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson)

63 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10b) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Analisi del compito e dei possibili sviluppi Risoluzione per tentativiTroppo laboriosa Ricerca della soluzione con una tabella compilata in ogni riga fino a quando si ottiene un numero maggiore di 110 o si superi il numero di lanci effettuati n° di centri nel settore valore del settore

64 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10b) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Alessandra, Silvia e Alice hanno giocato con il bersaglio sotto disegnato. Ognuna ha lanciato sei frecce totalizzando 110 punti, in modo diverso dalle altre. Silvia e Alice hanno mandato a segno solo cinque frecce ciascuna; Alessandra con un lancio ha realizzato 23 punti. Quali settori hanno colpito le frecce delle tre amiche? * Completa la tabella con i punteggi che possono avere realizzato le tre amiche. Punti realizzati in ogni lancioPunteggio totale Alessandra Silvia Alice Confronta la tua risposta con quella di un tuo compagno e discutine con l’insegnante.

65 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio In tale tabella si devono cercare i numeri che hanno come somma 110. Per Silvia e Alice tale risultato è stato ottenuto con sole cinque frecce, che possono avere colpito quattro volte il settore da 17 e una volta il settore da 42: = 110 quattro volte il settore da 23 e una volta il settore da 18: = 110. Le informazioni date non sono sufficienti per stabilire quale delle due giocatrici ha realizzato una delle sequenze di punti e quale l’altra n° di centri nel settore valore del settore

66 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Alessandra con un lancio ha ottenuto 23 punti, quindi con gli altri cinque ha ottenuto 110 – 23 = 87 punti; potrebbe avere colpito tre volte il settore da 17 e due volte il settore da = 87 Dato che nulla si dice su eventuali lanci non mandati a segno da parte di Alessandra e sulla eventuale ripetizione di punteggi, è anche possibile che la ragazza abbia colpito, oltre alla volta esplicitamente indicata, altre due volte il settore da 23, una volta il settore da 18 e abbia mandato fuori bersaglio un lancio = n° di centri nel settore valore del settore

67 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10c) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Si è appena conclusa la sfida tra Luisa, Sofia e Claudio: hanno fatto un lancio a turno per un totale di tre lanci a testa. Ecco come si presenta il bersaglio a sfida terminata e i commenti dopo la gara. Dopo i primi cinque lanci era in testa Luisa, sebbene lei avesse lanciato una sola freccia

68 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10c) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Di’ la verità, Sofia, ti bruciava d’aver ottenuto un solo punto con il lancio precedente! Hai visto, Luisa, con quanta forza ho scagliato la mia ultima freccia? L’ultimo di tutti i lanci è stato un bel centro. Quanti punti ha ottenuto Claudio con il suo terzo lancio?

69 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10c) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Per rispondere alla domanda ricostruisci, completando la tabella, i punteggi realizzati nel corso della sfida. Aiutati osservando il disegno, in cui Luisa, Sofia e Claudio sono identificabili dalla propria iniziale scritta sulla maglietta. 1° lancio2° lancio3° lancio Sofia Claudio Luisa Claudio con il suo terzo lancio ha ottenuto ……….. punti.

70 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10c) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Analisi del compito e dei possibili sviluppi una lettura attenta delle informazioni verbaliiconiche valore del settore12345 n° di frecce nel settore12123 Osservazione del bersaglio

71 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10c) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Giocatore1 a possibilità 2 a possibilità 3 a possibilità 4 a possibilità Sofia (1, 3)(3, 1)(2, 2) Claudio (2, 2) (1, 3)(3, 1) Qualunque possibilità si realizzi, rimangono da attribuire solo le frecce indicate nella seguente tabella: valore del settore n° di frecce nel settore da attribuire 00022

72 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10c) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Terza informazionefumetti di Sofia e di Luisa Sofia con l’ultimo lancio ha colpito il centro del bersaglio e con il secondo lancio ha ottenuto solo un punto. Si è verificata la seconda possibilità indicata nella tabella precedente e si attribuisce a Sofia anche una dei tiri da 5 1° lancio2° lancio3° lancio Sofia315 Claudio22 Luisa5 valore del settore12345 n° di frecce nel settore da attribuire 00022

73 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10c) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Quarta informazionefumetti dello spettatore L’ultimo tiro è effettuato da Luisa, che ha dunque realizzato un altro centro. Rimangono da attribuire solo le due frecce che hanno colpito il settore da 4, per cui si ha 1° lancio2° lancio3° lancio Sofia 315 Claudio 224 Luisa 545 Si conclude che con il suo terzo lancio Claudio ha realizzato 4 punti.

74 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10d) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Otto ragazzi hanno appena terminato una sfida con il bersaglio qui disegnato; la sfide si è conclusa con i punteggi totali indicati nella tabella. Tutti i giocatori hanno avuto una buona mira e hanno mandato a segno ogni freccia. Ognuno di loro disponeva di quattro frecce: tre frecce blu e una rossa. Il punteggio ottenuto con la freccia rossa veniva raddoppiato. Che punti può avere realizzato ciascun giocatore con ognuna delle sue frecce?

75 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Punti ottenuti con ogni freccia blu Punti con la freccia rossa Punteg gio totale Antonio32 Luciano29 Cristian28 Giacomo26 Valentina25 Zaira24 Tony22 Isabella20 SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10d) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Per rispondere alla domanda del problema completa la tabella. Confronta il tuo lavoro con quello di un tuo compagno e discutine con l’insegnante.

76 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10d) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Analisi del compito e dei possibili sviluppi Il problema ammette più soluzioni per ciascuno degli otto lanciatori: Luciano: 29 punti Punti ottenuti con ogni freccia bluPunti ottenuti con la freccia rossa

77 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10d) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Cristian: 28 punti Punti ottenuti con ogni freccia bluPunti ottenuti con la freccia rossa Punti ottenuti con la freccia rossa Punti ottenuti con ogni freccia blu Antonio: 32 punti 110

78 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10e) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Nel bersaglio rappresentato sono segnati i punti in cui si sono conficcate le frecce lanciate da Cinzia, Roberto e Daniele. Ognuno di loro ha scagliato cinque frecce: Cinzia con un lancio ha realizzato 5 punti, Daniele con due lanci ne ha realizzati 8. Alla fine i tre amici hanno totalizzato lo stesso punteggio complessivo. Chi dei tre amici ha colpito il centro del bersaglio? GiocatoriPunti ottenuti con ogni lancio punteggio complessivo Completa la tabella ?

79 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10e) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Analisi del compito e dei possibili sviluppi Prima informazioneLettura del testo I giocatori sono tre e ognuno di loro ha lanciato cinque frecce Seconda informazioneLettura del bersaglio I segni lasciati nel bersaglio sono quindici, pertanto tutti lanci sono andati a segno

80 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10e) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Terza informazioneLettura del bersaglio I giocatori terminano la sfida con uguale punteggio, quindi tale punteggio si ottiene dividendo per 3 il numero totale di punti I dati forniti dal bersaglio possono essere tradotti in una tabella: valore del settore n° di frecce nel settore Il calcolo del totale dei punti può essere impostato con un’espressione: (2  1) + (2  2) + (1  3) + (2  5) + (1  10) + (3  15) + (3  20) + (1  40) = 174. Ognuno dei tre giocatori ha realizzato 174 : 3 = 58 punti.

81 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10e) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Quarta informazioneLettura del bersaglio Una persona ha realizzato con una freccia 40 punti, per cui con le altre ha necessariamente ottenuto i punteggi 10, 5, 2, 1. Nella tabella sono indicate le frecce ancora da assegnare valore del settore n° di frecce nel settore da assegnare

82 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10e) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Il giocatore che ha ottenuto 20 con una freccia ha poi due possibilità per raggiungere 58 punti 1 a possibilità a possibilità Si ha dunque GiocatoriPunti ottenuti con ogni lanciopunteggio complessivo

83 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio GiocatoriPunti ottenuti con ogni lanciopunteggio complessivo Cinzia Roberto Daniele SFIDE ALL’ULTIMA FRECCIA (10e) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) Quinta informazioneLettura del testo Daniele con due lanci ha ottenuto 8 punti, quindi corrisponde alla terza riga della tabella; Cinzia con un lancio ha ottenuto 5 punti, quindi corrisponde alla prima riga della tabella:

84 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Dove era la pallina caduta? Collection DIAGONALE.- Math en fleche - ed. Nathan- Paris 1993 Una pallina si è staccata dal disco del tirassagno. Prima della caduta della pallina il totale dei punti marcati era 305. In quale zona si trovava la pallina che si è staccata? 305 – (5x3 + 10x3 + 50x ) = 305 – ( ) = = 305 – 295 = 10


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