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Powered by FlashBox. Si definisce affinità una corrispondenza biunivoca tra punti dello stesso piano che trasformi rette in rette conservando il parallelismo.

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1 Powered by FlashBox

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4 Si definisce affinità una corrispondenza biunivoca tra punti dello stesso piano che trasformi rette in rette conservando il parallelismo. Si definisce affinità una corrispondenza biunivoca tra punti dello stesso piano che trasformi rette in rette conservando il parallelismo.

5 può allora essere scritta nella forma matriciale x’ = Ax + u, in cui u =, è il vettore dell’affinità e A = è la matrice dell’affinità il cui determinante è diverso da 0 (condizione di non singolarità della matrice) x’ = ax + by + p y’ = cx + dy + q a b c d Associamo a ciascun punto P (x,y) del piano in modo biunivoco il vettore. L’affinità T di equazioni:

6 Data una trasformazione di matrice A e una superficie del piano S, sia S’ la superficie corrispondente. Il rapporto tra S’ e S è pari al modulo del det A. Si definisce elemento unito un elemento che corrisponde a se stesso nella trasformazione.

7 Si definisce dilatazione o compressione di rapporto k lungo l’asse x e di rapporto h lungo l’asse y l’affinità: Si definisce dilatazione o compressione di rapporto k lungo l’asse x e di rapporto h lungo l’asse y l’affinità: x’ = kx y’ = hy k 0 0 h di matrice:det A = kh k ≠ 0 h ≠ e vettore: con:

8 di matrice:det A = 3 x’ = x y’ = 3y ⅓ di matrice:det A = ⅓ x’ = x y’ = ⅓y

9 x’ = x + k y y’ = y 1 k 0 1 di matrice: det A = 1 Si definisce inclinazione lungo l’asse x di coefficiente k la trasformazione che fa corrispondere a ogni punto (x,y) il punto che ha la stessa ordinata y e ascissa proporzionale. Si definisce inclinazione lungo l’asse x di coefficiente k la trasformazione che fa corrispondere a ogni punto (x,y) il punto che ha la stessa ordinata y e ascissa proporzionale.

10 x’ = x y’ = kx + y 1 0 k 1 di matrice: det A = 1 Si definisce inclinazione lungo l’asse y di coefficiente k la trasformazione che fa corrispondere a ogni punto (x,y) il punto che ha la stessa ascissa x e ordinata proporzionale. Si definisce inclinazione lungo l’asse y di coefficiente k la trasformazione che fa corrispondere a ogni punto (x,y) il punto che ha la stessa ascissa x e ordinata proporzionale.

11 ESERCIZIO La trasformazione di matrice muta il quadrato Q di vertici O(0,0), A(1,0), B(1,1) e C(0,1) nel rettangolo R. Appli- cando successivamente l’inclinazione di matrice si ottiene il parallelogramma P. Calcolane l’area

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13 La similitudine è un’affinità tra punti del piano che mantiene costante il rapporto tra segmenti corrispondenti. La similitudine è un’affinità tra punti del piano che mantiene costante il rapporto tra segmenti corrispondenti. Cioè, dati i segmenti AB e CD: k è detto rapporto di similitudine.

14 x’ = ax + by + p y’ = - bx + ay + q La cui matrice associata risulta: a b -b a det A = a² + b² = k² x’ = ax + by + p y’ = bx - ay + q La cui matrice associata risulta: a b b -a det A = - a² - b² = - k² a = k cos α b = - k sin α a = - k cos α b = k sin α

15 Siano C un punto del piano e a un numero reale non nullo si definisce omotetia di centro C e rapporto a la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che a ogni punto P fa corrispondere in modo univoco il punto P’ tale che CP’ = a CP. Siano C un punto del piano e a un numero reale non nullo si definisce omotetia di centro C e rapporto a la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che a ogni punto P fa corrispondere in modo univoco il punto P’ tale che CP’ = a CP. x’ = ax + x C - ax C y’ = ay + y C - ay C La matrice associata risulta: a 0 0 a det A = a² E il suo vettore: x C – ax C y C - ay C

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17 Si definisce isometria ogni affinità tra i punti del piano che conservi le distanze (k = 1). Si definisce isometria ogni affinità tra i punti del piano che conservi le distanze (k = 1). La più semplice isometria è l’identità: x’ = x y’ = y La cui matrice associata risulta: det A = 1

18 Si definisce traslazione di vettore v la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che a ogni punto P associa il punto P’ tale che PP’ = v Si definisce traslazione di vettore v la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che a ogni punto P associa il punto P’ tale che PP’ = v Dato il vettore v = (p;q), risulta: x’ = x + p y’ = y + q La cui matrice associata risulta: det A = 1 E il cui vettore:

19 Matrice: ¼1¼1 det A = 1 Vettore:

20 ESERCIZIO Dati la traslazione di vettore e il triangolo di vertici A (0,0), B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’. A’ (x A’, y A’ ) = (x A + p, y A + q) = (9, -1) B’ (x B’, y B’ ) = (x B + p, y B + q) = (10, -1) C’ (x C’, y C’ ) = (x C + p, y C + q) = (9, 2) 9

21 Siano O un punto del piano e θ un numero reale. Si chiama rotazione di centro O e di angolo θ la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che associa il punto O il punto O stesso e che ogni punto P distinto da O associa il punto P’ tale che PÔP’ = θ. Siano O un punto del piano e θ un numero reale. Si chiama rotazione di centro O e di angolo θ la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che associa il punto O il punto O stesso e che ogni punto P distinto da O associa il punto P’ tale che PÔP’ = θ. x’ = x cos θ – y sin θ y’ = x sin θ + y cos θ La cui matrice associata risulta: cos -sin sin cos det A = 1

22 det A = 1 Matrice:

23 ESERCIZIO Dati la rotazione di angolo θ = 90° e il triangolo di vertici A (0,0), B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’. A’ (x A’, y A’ ) = (x A cos θ - y A sin θ, x A sinθ + y A cos θ) = (0, 0) B’ (x B’, y B’ ) = (x B cos θ - y B sin θ, x B sinθ + y B cos θ) = (0, 1) C’ (x C’, y C’ ) = (x C cos θ - y C sin θ, x C sinθ + y C cos θ) = (-3, 0)

24 Si definisce simmetria centrale S c rispetto a C la corrispondenza biunivoca tra punti del piano che associa a ogni punto P il punto P’ tale che C sia il punto medio di PP’ Si definisce simmetria centrale S c rispetto a C la corrispondenza biunivoca tra punti del piano che associa a ogni punto P il punto P’ tale che C sia il punto medio di PP’ x’ = 2 x C - x y’ = 2 y C - y La cui matrice associata risulta: det A = 1 2 x C 2 y C E il suo vettore:

25 det A = Matrice: Vettore:

26 ESERCIZIO Dati la simmetria centrale di vettore e il triangolo di vertici A (0,0), B (1,0) e D (0,3), trovare i vertici di A’B’D’. C (½ 8, ½ 4) = (4, 2) A’ (x A’, y A’ ) = (2 x C - x A, 2 y C - y A ) = (8, 4) B’ (x B’, y B’ ) = (2 x C - x B, 2 y C - y B ) = (7, 4) D’ (x D’, y D’ ) = (2 x C - x D, 2 y C - y D ) = (8, 1) 8484

27 Si definisce simmetria rispetto a r l’affinità S r che lascia uniti i punti P che appartengono ad r e che trasforma ogni punto P che non appartiene ad r in P’ tale che r sia l’asse di PP’. Si definisce simmetria rispetto a r l’affinità S r che lascia uniti i punti P che appartengono ad r e che trasforma ogni punto P che non appartiene ad r in P’ tale che r sia l’asse di PP’. Di matrice: det A = -1 e vettore:

28 x’ = x y’ = - y + 2 k det A = -1 x’ = - x + 2 k y’ = y det A = k 0

29 x’ = y y’ = x det A =

30 ESERCIZIO Dati la simmetria assiale di asse x = 4 e il triangolo di vertici A (0,0), B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’. A’ (x A’, y A’ ) = (- x A + 8, y A ) = (8, 0) B’ (x B’, y B’ ) = (- x B + 8, y B ) = (7, 0) C’ (x C’, y C’ ) = (- x C + 8, y C ) = (8, 3)

31 La composizione o prodotto di due affinità T 1 e T 2, rispettivamente di matrici A 1 e A 2 e vettori u 1 e u 2, è l’affinità T 2 T 1, la cui matrice è A = A 2 A 1 e il cui vettore è u = A 2 u 1 +u 2. La composizione o prodotto di due affinità T 1 e T 2, rispettivamente di matrici A 1 e A 2 e vettori u 1 e u 2, è l’affinità T 2 T 1, la cui matrice è A = A 2 A 1 e il cui vettore è u = A 2 u 1 +u 2. T 1 : x’= A 1 x + u 1 e T 2 : x’= A 2 x + u 2 x  Applico T 1 : x’= A 1 x + u 1  Applico T 2 : x’’= A 2 (A 1 x + u 1 ) + u 2 = A 2 A 1 x + A 2 u 1 + u 2 MATRICE VETTORE

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34 ESERCIZIO Trasformare la circonferenza x²+y²-2x=0 applicando prima T: e poi T’:. Ripetere l’esercizio applicando prima T’ e poi T. x’ = 3x y’ = 2y x’ = 2x y’ = -y

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36 L’inversa di un’affinità T di matrice A e vettore u è l’affinità di matrice A -1 e vettore v = -A -1 u. L’inversa di un’affinità T di matrice A e vettore u è l’affinità di matrice A -1 e vettore v = -A -1 u. x’= A x + u  Moltiplico per A -1 A -1 x’= A -1 A x + A -1 u  A -1 A = I A -1 x’= I x + A -1 u  Isolo x x = A -1 x’ - A -1 u MATRICEVETTORE

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