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OLTRE OGNI LIMITE Prerequisiti: Intorno di un punto Intorno di infinito Punto di accumulazione Le funzioni elementari.

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Presentazione sul tema: "OLTRE OGNI LIMITE Prerequisiti: Intorno di un punto Intorno di infinito Punto di accumulazione Le funzioni elementari."— Transcript della presentazione:

1 OLTRE OGNI LIMITE Prerequisiti: Intorno di un punto Intorno di infinito Punto di accumulazione Le funzioni elementari

2 Scheda1 : “SPACCA E SCAPPA” approccio al concetto di limite e relativa definizione Entra anche tu nel mondo di Crazystone. Crazystone è il paradiso dei teppisti e dei vetrai. Il passatempo dei teppisti è lanciare sassi e rompere vetri indisturbati. Ma che noia! Che monotonia!Basta moti parabolici. Così il Ministero della ricerca di Crazysone ha bandito un concorso:una fornitura di vetri a chi avesse inventato qualcosa per spezzare la monotonia della forza di gravità. Un’equipe di scienziati pazzi (nota come “Banda di Zeroallazero”)ha inventato una barriera elettromagnetica dalla interessante proprietà:quando un sasso,lanciato verticalmente da terra, urta contro una barriera, viene deviato ad angolo retto e procedein linea retta,senza ricadere, fino a che non urta contro un ostacolo, come in figura

3 La barriera è stata istallata sopra il Viale senzafine di Grazystone: una via che inizia dalla casa del sindaco e prosegue diritta senza mai terminare. Il Sindaco però ha alcune fissazioni: 1) È convinto che per avere la migliore visione panoramica della sua città, la si debba osservare da esattamente 10 metri di altezza. Per questo ha fatto costruire una finestra centrata attorno ai 10 metri di quota dalla strada 2) Proprio perché i 10 metri di altezza è la quota perfetta, anche

4 Anche la barriera elettromagnetica deve avvicinarsi sempre di più a questa altezza”aurea”, ma non la deve toccare,per non toccare la visuale. Ecco come è stata realizzata la barriera Ma…il sindaco deve vedersela con alcuni cittadini scontenti del suo operato,i quali ingaggiano qualche teppista di Crazystone,esperto nel tiro del sasso, perché rompa la finestra del sindaco “Guardando il disegno,dove ti posizionerestiper colpire il bersaglio?C’è una sola possibilità o di più?”

5 Ma il sindaco stanco di tanta delinquenza,ha chiesto ai muratori di rimpicciolire l’apertura della finestra “Così facendo il sindaco ha risolto i suoi problemi?O credi che sarà ancora possibile rompere il vetro della finestra?E se si riducesse ulteriormente l’apertura(sempre centrata attorno alla altezza aurea)avrebbe vinta la battaglia? (tieni presente che su Crazystone esistono sassi piccolissimi come granelli di polvere che lanciati con forza potrebbero rompere un vetro)

6 Comincia la discussione in classe. …….per concludere che: 1) “ qualunque sia l’apertura della finestra centrata attorno all’altezza aurea, esiste una zona di lancio ( a destra di un certo punto)tale che,in qualunque posizione ci si metta,basta essere nella zona di lancio che allora il sasso raggiungerà un’altezza giusta per entrare nella finestra” Ciò è equivalente a dire: 2) “ la barriera si avvicina sempre di più all’altezza aurea” In simboli: 1) 2)

7 Continuiamo la storia …. Il sindaco, in preda ad un eusarurimento, non si presenta alle elezioni Viene eletto un suo oppositore,il quale, in nome della libertà di espressione artistica, cavallo di battaglia durante la campagna elettorale,chiama i migliori artisti di Crazystone e fa progettare una nuova barriera non più vincolata all’altezza aurea. Il nuovo sindaco ha una debolezza : l’astronomia e fa montare il suo telescopio ultimo modello su un piedistallo davanti alla finestra :Ma la barriera riveste un ruolo strategico. Al sindaco gli è concesso al massimo un foro più piccolo di quello che si potrebbe ottenere con la punta di un ago. Praticamente … un punto.

8 Il sindaco è così contento ma….. l’ex sindaco organizza un movimento di protesta contro il suo … caro collega: assolda esperti teppisti perché colpiscano la finestra. “Se tu fossi un teppista, dove ti posizioneresti, per colpire il bersaglio?c’è una sola posizione possibile o più di una? Se il sindaco decidesse di ridurre le dimensioni della finestra ( sempre centrata attorno all’altezza aurea) riuscirebbe a proteggersi dai sassi?o credi che sarà ancora possibile rompere il vetro? Comincia la discussione in classe…….Per concludere che…

9 A 1 area approssimata per eccesso a 1 area approssimata per difetto SCHEDA2 Il LIMITE “strumento per calcolare l’area di una figura piana”

10 A 2 area approssimata per eccesso a 2 area approssimata per difetto A 2 a 1

11 due successioni a n : aree approssimate per difettoa 1, a 2, a 3,... A n : aree approssimate per eccessoA 1, A 2, A 3,... a 1 < a 2 < a 3 <... an A 2 > A 3 >... An>a1An>a1

12 A n  a n si può rendere piccola a piacere

13 Le due successioni tendono allo stesso limite Si definisce area della figura a contorno curvilineo il limite comune alle due successioni

14 ?

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20 a b

21 La successioneè decrescente e limitata inferiormente La successioneè crescente e limitata superiormente La differenza Le due successioni convergono allo stesso limite si può rendere piccola a piacere

22 l'area T del trapezoide T è data da

23 Un po’ di teoria… ALCUNE DEFINIZIONI a) FUNZIONE INFINITESIMA: “ una funzione f(x) si dice infinitesima per se b)FUNZIONE INFINITA: “una funzione si dice infinita per se

24 c) INFINITESIMI( infiniti ) SIMULTANEI: “ se f(x) e g(x) sono INFINITESIME( infinite )per allora f e g si dicono infinitesimi (infiniti) simultanei d)INFINITESIMI( infiniti) EQUIVALENTI: “ dati due infinitesimi (infiniti) f(x)e g(x)simultanei per si dicono equivalenti se Osservazione: Nel calcolo dei limiti forme del tipo:

25 dette INDETERMINATE sono “da risolvere” nel senso che non c’è una “formula” che ti permette di trovare “ il risultato” ma questo cambia a seconda dell’esercizio e, pertanto per risolvere tali forme sarà necessario utilizzare opportune tecniche e pian piano impareremo qualcuna…. Una di queste tecniche consisterà nell’utilizzo opportuno di infinitesimi ( infiniti) equivalenti. Purtroppo questa tecnica non consente di risolvere qualsiasi forma indeterminata. Per risolvere qualsiasi forma di indeterminazione è necessario utilizzare altri teoremi ( Hopital, Taylor..)

26 CERCHIAMO infinitesimi equivalenti Esercizio1 “Utilizzando Geogebra rappresenta in un unico sistema di assi cartesiani le funzioni: f(x)=senx e g(x) y=x e rispondi: a) f e g sono infinitesimi simultanei per b) cosa puoi osservare se “zummi”le fz. nell’intorno dell’origine? c)è possibile ipotizzare nell’intorno dell’origine di sostituire un”pezzo” della funzione senx con x? ?

27 d) Si può dire che senx ed x sono due infinitesimi equivalenti? e) È esatto scrivere senx = x oppure senx cioè : senx = x + “qualcosa” dove questo qualcosa rappresenta una infinitesimo che tende a zero “più velocemente” di x? x Esercizio2 Seguendo le indicazioni dell’es.1 fai lo stesso per le seguenti funzioni:

28 Riassumiamo quanto osservato:

29 INFIITESIMI EQUIVALENTI e LIMITI NOTEVOLI

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33 Sempre nell’intorno dell’origine…

34 Un PRINCIPIO che utilizzeremo per il calcolo dei limiti PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE degli infinitesimi:

35 ALTRI ESEMPI ….

36 GERARCHIA DEGLI INFINITI Il teorema garantisce che le funzioni logaritmiche tendono all’infinito molto lentamente. vediamolo graficamente

37 PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE degli INFINITI


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